Taburan Kebarangkalian Latihan

Q: Apakah cara terpantas untuk mencari P(X\ge 1)?

Guna pelengkap: P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)P(X≥1)=1−P(X=0). Daripada menambah setiap kes dari 111 ke atas, anda mengira sebutan tunggal P(X=0)=q nP(X=0)=q^{\,n}P(X=0)=qn dan menolaknya daripada 111. Inilah jalan pintas piawai “sekurang-kurangnya satu”\text{``sekurang-kurangnya satu''}“sekurang-kurangnya satu”.

Q: Bagaimana saya membaca jadual apabila nilai Z negatif?

Lengkung normal piawai simetri terhadap 000, jadi P(Z<−a)=P(Z>a)P(Z<-a)=P(Z>a)P(Z<−a)=P(Z>a). Cari nilai positif aaa dalam jadual dan gunakannya terus. Sentiasa lakar lengkung dan lorekkan rantau yang dikehendaki sebelum membaca sebarang nombor.

Q: Apakah min dan varians taburan binomial?

Bagi X∼B(n,p)X\sim B(n,p)X∼B(n,p), min ialah μ=np\mu=npμ=np dan varians ialah σ2=npq\sigma^{2}=npqσ2=npq, dengan q=1−pq=1-pq=1−p. Sisihan piawai ialah σ=npq\sigma=\sqrt{npq}σ=npq; ambil punca kuasa dua hanya pada penghujung sekali.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada satu kebarangkalian binomial hingga mencari min taburan normal yang tidak diketahui. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, taburan dan parameternya, rumus yang digunakan, penggantian yang jelas, kemudian kebarangkalian akhir.

Sediakan jadual taburan normal piawai di sisi anda bagi soalan normal, dan tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, rumus yang dipetik dengan betul dan nilai $Z$ yang betul masih memperoleh markah walaupun pembundaran akhir tergelincir, jadi tulis rumus sebelum anda menggantikan, dan ingat setiap kebarangkalian mesti terletak antara $0$ dan $1$ .

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak diskret $X$ mengikut taburan binomial dengan $n=5$ dan $p=0.2$ , ditulis $X\sim B(5,\,0.2)$ . Cari $P(X=2)$ .

Show worked solution

Guna rumus binomial $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}\,q^{\,n-r}$ , dengan $q=1-p=0.8$ . Gantikan $n=5$ , $r=2$ :

P(X=2)={}^{5}C_{2}\,(0.2)^{2}\,(0.8)^{3}

=10\times 0.04\times 0.512=0.2048

Jawapan

$P(X=2)=0.2048$ . Semak bahagiannya: ${}^{5}C_{2}=10$ , $(0.2)^{2}=0.04$ , $(0.8)^{3}=0.512$ ; hasil darabnya $0.2048$ , yang terletak antara $0$ dan $1$ sebagaimana kebarangkalian mesti.

Q2[3 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak diskret $X$ mengikut $X\sim B(25,\,0.2)$ . Cari min dan sisihan piawai bagi $X$ .

Show worked solution

Bagi taburan binomial, min ialah $\mu=np$ dan varians ialah $\sigma^{2}=npq$ , dengan $q=1-p=0.8$ . Mula-mula min:

\mu=np=25\times 0.2=5

Kini varians, kemudian ambil punca kuasa dua untuk sisihan piawai:

\sigma^{2}=npq=25\times 0.2\times 0.8=4

\sigma=\sqrt{4}=2

Jawapan

Minnya ialah $5$ dan sisihan piawainya ialah $2$ . Sebagai semakan, sisihan piawai di sini lebih kecil daripada min, yang biasa bagi binomial dengan parameter sebegini.

Q3[4 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak diskret $X$ mengikut $X\sim B(5,\,0.4)$ . Cari $P(X\ge 1)$ .

Show worked solution

Menambah $P(X=1)$ hingga $P(X=5)$ memakan masa, jadi guna pelengkap: $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ . Dengan $q=1-0.4=0.6$ :

P(X=0)={}^{5}C_{0}\,(0.4)^{0}\,(0.6)^{5}=(0.6)^{5}=0.07776

P(X\ge 1)=1-0.07776=0.92224

Jawapan

$P(X\ge 1)=0.9222$ (empat tempat perpuluhan). Pelengkap ialah jalan pantas apabila soalan meminta $\text{``sekurang-kurangnya satu''}$ : kira sebutan tunggal $P(X=0)$ dan tolak daripada $1$ .

Q4[4 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak selanjar $X$ tertabur secara normal dengan min $50$ dan sisihan piawai $10$ , iaitu $X\sim N(50,\,10^{2})$ . Cari $P(X>65)$ .

Show worked solution

Piawaikan dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ , menukar $X=65$ kepada nilai $Z$ menggunakan $\mu=50$ dan $\sigma=10$ :

Z=\frac{65-50}{10}=\frac{15}{10}=1.5

P(X>65)=P(Z>1.5)

Daripada jadual taburan normal piawai, $P(Z>1.5)=0.0668$ .

Jawapan

$P(X>65)=0.0668$ . Oleh sebab $65$ terletak di atas min, kebarangkalian hujung ini jauh di bawah $0.5$ , iaitu saiz yang munasabah.

Q5[4 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak selanjar $X$ tertabur secara normal dengan min $60$ dan sisihan piawai $8$ , iaitu $X\sim N(60,\,8^{2})$ . Cari $P(52<X<76)$ .

Show worked solution

Piawaikan kedua-dua hujung dengan $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ , menggunakan $\mu=60$ dan $\sigma=8$ :

Z_{1}=\frac{52-60}{8}=-1 \qquad Z_{2}=\frac{76-60}{8}=2

P(52<X<76)=P(-1<Z<2)

Daripada jadual $P(Z>2)=0.0228$ dan $P(Z>1)=0.1587$ . Tulis selang itu sebagai $P(Z<2)-P(Z<-1)$ , dan guna simetri $P(Z<-1)=P(Z>1)$ :

P(-1<Z<2)=\big(1-0.0228\big)-0.1587

=0.9772-0.1587=0.8185

Jawapan

$P(52<X<76)=0.8185$ . Selang itu merentangi min dan meliputi julat yang luas, jadi kebarangkalian yang besar memang seperti yang dijangka.

Q6[5 marks]

Suatu pemboleh ubah rawak selanjar $X$ tertabur secara normal dengan min $\mu$ dan sisihan piawai $5$ . Diberi $P(X>30)=0.1587$ , (a) cari $\mu$ , dan (b) seterusnya cari $P(X<20)$ .

Show worked solution

(a) Mula-mula cari nilai $Z$ yang mana $P(Z>z)=0.1587$ . Daripada jadual normal piawai, ini ialah $z=1$ .

Kini piawaikan $X=30$ dan tetapkan nilai $Z$ -nya sama dengan $1$ :

\frac{30-\mu}{5}=1 \;\Rightarrow\; 30-\mu=5 \;\Rightarrow\; \mu=25

(b) Dengan $\mu=25$ dan $\sigma=5$ , piawaikan $X=20$ , kemudian guna simetri:

Z=\frac{20-25}{5}=-1

P(X<20)=P(Z<-1)=P(Z>1)=0.1587

Jawapan

$\mu=25$ dan $P(X<20)=0.1587$ . Ini sama dengan $P(X>30)$ yang diberi, yang munasabah: $20$ dan $30$ masing-masing $5$ unit, satu sisihan piawai, daripada min $25$ , satu di setiap sisi, jadi kebarangkalian hujungnya sepadan.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari taburan yang betul, rumus atau nilai $Z$ yang tepat, dan kebarangkalian akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda memetik rumus yang betul, binomial $P(X=r)={}^{n}C_{r}\,p^{r}q^{\,n-r}$ , min $np$ dan varians $npq$ , atau pemiawaian $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ ?
Markah parameter: bagi binomial, adakah $n$ , $p$ dan $q=1-p$ betul, dengan kuasa yang betul pada setiap faktor? Bagi normal, adakah $\sigma$ (bukan $\sigma^{2}$ ) digunakan dalam penyebut?
Bagi $\text{``sekurang-kurangnya satu''}$ : adakah anda menggunakan pelengkap $1-P(X=0)$ dan bukan hasil tambah yang panjang?
Bagi kebarangkalian normal: adakah nilai $Z$ betul, adakah jadual dibaca sebagai hujung $P(Z>z)$ , dan adakah simetri $P(Z<-a)=P(Z>a)$ dikenakan bagi $Z$ negatif?
Markah jawapan: adakah kebarangkalian akhir antara $0$ dan $1$ ? Sebarang nilai di luar julat itu ialah isyarat serta-merta bahawa satu langkah tersasar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, varians digunakan sedangkan sisihan piawai yang diperlukan, hujung jadual dibaca dari sisi yang salah, atau $\text{``sekurang-kurangnya''}$ diselesaikan dengan cara panjang dan bukan melalui pelengkap, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan bila hendak menggunakan binomial dan bila normal. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menentukan antara taburan binomial dan normal?

Guna binomial apabila anda mempunyai bilangan cubaan bebas yang tetap dan anda membilang berapa yang berjaya, bilangan diskret nombor bulat dengan $X\sim B(n,p)$ . Guna normal apabila pemboleh ubah ialah ukuran selanjar yang digambarkan oleh min dan sisihan piawai, $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ .

Apakah cara terpantas untuk mencari

P(X\ge 1)

Guna pelengkap: $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$ . Daripada menambah setiap kes dari $1$ ke atas, anda mengira sebutan tunggal $P(X=0)=q^{\,n}$ dan menolaknya daripada $1$ .

Inilah jalan pintas piawai $\text{``sekurang-kurangnya satu''}$ .

Bagaimana saya membaca jadual apabila nilai

Z

negatif?

Lengkung normal piawai simetri terhadap $0$ , jadi $P(Z<-a)=P(Z>a)$ . Cari nilai positif $a$ dalam jadual dan gunakannya terus.

Sentiasa lakar lengkung dan lorekkan rantau yang dikehendaki sebelum membaca sebarang nombor.

Apakah min dan varians taburan binomial?

Bagi $X\sim B(n,p)$ , min ialah $\mu=np$ dan varians ialah $\sigma^{2}=npq$ , dengan $q=1-p$ . Sisihan piawai ialah $\sigma=\sqrt{npq}$ ; ambil punca kuasa dua hanya pada penghujung sekali.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Taburan Kebarangkalian, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?