例题 · 排列与组合
排列与组合，例题（中等）
这组中等的排列与组合例题加入了让本章变得有趣的条件：当两个物件必须相邻时如何排列（捆绑法）、当部分物件相同时用 数出不同排法，以及在两部分条件下用 选出一组。
请先在纸上做每一题，再逐行对照我们的解答。
这些例题涵盖什么
这组中等的排列与组合例题从单纯的公式，走到出题人真正会附加的条件：‘这两个必须相邻’、‘部分物件相同’，以及‘队伍必须包含各类多少人’。用到的工具还是简单一组里的乘法原理、 和 ，只是现在要分两三步组合起来。
数字仍然小而干净，让你练的是方法而不是算术。盖住每份解答，在纸上完整做一遍，再逐行对照；凡是你的算法与我们分岔处，就把那一步单独找出来，因为真正被考的技巧就在那里。
例题解析
三题全部做完。每一题都在基本计数上叠加一个条件，所以把题目读两遍，先想清楚这个条件改变了什么，再去用公式。
把 本不同的书排成一行，若其中两本特定的书必须相邻，共有多少种排法？
Show worked solution
把这两本特定的书捆在一起，当作一个整体（一个块）。于是要排的对象共有 个，这个块加上其余 本书，可以有
种排法。
在块的内部，这两本书自己还能有 种排序。
由乘法原理，把两个数目相乘：
答案
共有 种排法。捆绑法之所以有效，是因为把两本书捆在一起就保证它们相邻；再乘以 ，把我们暂时藏起来的两种内部次序补回来。
用 个彩色圆片排成一行： 个红、 个蓝、 个绿。同色的圆片彼此相同。
共有多少种不同的排法？
Show worked solution
如果六个圆片全不同，会有 种排法。
但 个红片相同，所以每一种排法会因红片彼此对调而被重复数 次；同理 个蓝片把它重复
次。用这些重复次数去除总数：
答案
共有 种不同排法。合理性检验：相同的圆片越少，不同的排法越多；若六个全相同则只有一种，把 除以 落在这两个极端之间，合乎情理。
要从 名男生和 名女生中选出 人组成委员会。若必须恰好包含 名男生和 名女生，共有多少种选法？
Show worked solution
这两个要求是互不影响的选择，所以各数一次再相乘。从 名男生中选 名，顺序无关，用组合：
同样地从 名女生中选 名：
由乘法原理，把两次选取相乘：
答案
共有 个委员会。每一种选 名男生的方式都能与每一种选 名女生的方式搭配，这正是 乘以 所数的。
把 名学生排成一行，若其中两名特定的学生不愿意相邻而坐，共有多少种排法？
Show worked solution
先数出不受限制的全部排法，再减去这两名特定学生相邻而坐的排法。不受限制的总数为
= 120。要数‘相邻’的情形，把这两名学生捆成一个整体，变成 个对象要排，再乘以块内
种次序：
用总数减去相邻的情形，剩下的就是让两人分开而坐的排法：
答案
共有 种排法。这正好与‘必须相邻’相反：不是把两人捆成一块去加，而是把捆绑的排法从总数中减去，因为每一种排法要么相邻、要么分开，二者必居其一。
用数字 ，每个数字只用一次，能排出多少个 位奇数？
Show worked solution
一个数是奇数，当且仅当个位数字是奇数，所以先确定这个位置：个位必须是 之一，共 种选择。其余三个位置（千位、百位、十位）再从剩下的 个数字中按顺序排出：
由乘法原理，把个位数字的 种选择乘以其余三个位置的 种排法：
答案
共有 个奇数。当条件只限制排列中的某一个位置时，标准做法就是先固定受限制的位置（这里是个位），再排其余自由的位置。
位朋友要围着一张圆桌就座。若其中两位特定的朋友必须相邻而坐，共有多少种坐法？
Show worked solution
把这两位特定的朋友捆成一个整体，剩下 个对象要围圆桌排，这个整体加上其余 位朋友。对围成一圈的 个对象来说，旋转后相同的坐法不算不同，所以坐法数为 ：
在这个整体内部，两位朋友仍然可以有 种次序。
把两个数目相乘：
答案
共有 种坐法。捆绑法在圆桌上和在一行中用法相同，唯一的分别是外层排列用
而不是 ，因为圆圈没有固定的起点。
要从 名男生和 名女生中选出 人组队。若队伍必须至少包含 名女生，共有多少种选法？
Show worked solution
‘至少 名女生’用补集法最简单：先求不受限制的总数，再减去完全没有女生的那一种情形。从全部 人中任选 人，得 。
被排除的情形是这 人全部来自 名男生：
从总数中减去这个全是男生的情形，剩下的就是至少含一名女生的队伍：
答案
共有 支队伍。‘至少’类条件几乎总是用补集法比逐一相加每种可能的分配（ 名女生、 名女生、 名女生）来得快。
从 名参加甄选的学生中选出 人组成辩论队，再从这 人中委任 人为队长。共有多少种选法？
Show worked solution
先从 名学生中选出 人组队，队内顺序无关，所以这是组合：
再从这 名队员中选出 人担任队长；被选中的 人中任何一人都能担任这个角色。把两个数目相乘：
答案
共有 种方法。选队伍是组合，因为这 名队员没有次序之分；但从中指定一人为队长，是在此之上真正增加的一次选择，所以最后这一步要相乘，而不是并入 里面。
留意三题共有的习惯：先说清条件，判断它是把问题拆成步骤（相乘）还是藏了重复（相除），然后才代入。条件不会改变有哪条公式，它改变的是你用它几次。
关键方法要点
这三道例题演练的是把普通计数变成典型考题的那些条件。多做练习时，记住以下几点。
- ‘必须相邻’，把物件捆成一个块，先排各个块，再乘以块内部的排法（捆绑法）。
- 排 个物件而其中部分相同时，得 ；对每组相同物件的个数取阶乘去除。
- ‘每类各选若干’，每次互不影响的选取都用 来数，再把结果相乘。
- 当所选一组内部的顺序无关时用组合，委员会和队伍通常就是这种情形。
- 把带条件的问题拆成清楚的步骤；乘法原理把这些步骤串起来。
- 由于采用分析式评分，通向最终答案的每一行正确的选取或排列都能拿到方法分。
老师如何帮忙
中等题绊倒学生的不是公式，而是条件，忘了把块乘以 ，或在物件重复时除错了阶乘。在一对一的课堂上，我们的老师会在读到条件的那一刻放慢，让学生在写下任何数字之前先用话说出这个条件改变了什么。
我们的老师经验丰富，所以你遇到的是见过这些具体失误许多次、懂得如何纠正习惯的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，所以你的解题过程可以干净地搬到任何一份试卷上。
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预约试课常见问题
捆绑法里为什么要乘以 ？
把两个物件捆成一个块能强制它们相邻，却暂时藏起了它们在块内部的两种排序。把块的排法乘以 ，就把这两种内部次序补回来，得到正确的总数。
物件重复时，为什么是除而不是乘？
因为相同的物件会让 种排法中的一部分无法区分。
把 个相同的红片对调会产生同一行 次，所以除以
去掉重复。一般地，计数为
在‘每类各选若干’的题里，为什么把两个组合相乘？
因为这些选择互不影响：每一种选男生的方式都能与每一种选女生的方式搭配。于是乘法原理给出 。
我怎么判断该乘还是该除？
构成一个结果的互不影响的步骤要相乘；造成重复排法的相同物件要除掉。仔细读条件就能告诉你身处哪一种情形。
来源:SRC-DSKP-EN