排列与组合

排列与组合属于中五 Add Math（KSSM 3472）统计学习领域中的一章。它教你在不逐一写出每一种可能的情况下，数出某件事可以发生的方法数。

你不再一个一个地列出排法，而是学会一套简短的计数工具，乘法原理、阶乘、排列与组合，并为每种情境选出正确的工具。

本章最重要的技能是判断顺序是否重要。当物件的顺序会改变结果时（第一、第二、第三名奖；围桌而坐的座位；密码），你数的是排列。

当顺序不影响结果时（三人委员会；一手牌；所选的科目），你数的是组合。本章的一切都从这一个判断出发。

这一章篇幅不长，但价值很高。方法很好陈述，计算量很轻，两条主要公式在考卷中已经印给你。

决定满分与失分的，是仔细阅读每道题目的条件，「必须相邻」「不可相邻」「至少两名女生」「围成一圈」，并把这些文字翻译成正确的分情况相乘。

本章还直接连接到下一章「概率分布」。组合公式 ${}^{n}C_{r}$ 会再次出现在二项概率公式里，所以在这里花的时间可以用上两次。

我们的授课以英文进行，而 SPM 考卷以马来文与英文双语命题，因此你会同时熟悉两种语文的术语。

Add Math 是一门选修科，本章只需很轻的基础：熟练的算术，以及你早前在学校接触过的「列出结果」的观念。如果你能用手数出一个小例子的结果，你其实已经具备直觉。

本章只是给你公式，让你不必再把很大的情形一个一个列出来，同时训练你辨认一道题目其实属于少数几种标准型中的哪一种。

DSKP 把本章分成两项内容标准。以下是每一项的内容。

在这些标准之下，DSKP 列出六项学习标准：

• 4.1.1 探究并归纳乘法原理。
• 4.1.2 求 $n$ 个不同物件、从 $n$ 个不同物件中取 $r$ 个，以及含相同物件的 $n$ 个物件的排列数。
• 4.1.3 解决带一个条件的排列问题，包括相同物件或围圈排列。
• 4.2.1 比较排列与组合的异同。
• 4.2.2 求从 $n$ 个不同物件中选取 $r$ 个的组合数。
• 4.2.3 解决带条件的组合问题。

乘法原理

若一件工作能以 $m$ 种方式完成，第二件互不影响的工作能以 $n$ 种方式完成，则两者合起来能以 $m \times n$ 种方式完成。这是整章的引擎：把计数问题拆成若干阶段，数出每个阶段的选择，然后相乘。

$$m \times n \times p \times \cdots$$

阶乘记号 $n!$

$n!$（读作「n 阶乘」）指从 $n$ 到 1 所有整数的乘积，并规定 $0! = 1$。

它数出把 $n$ 个不同物件排成一列的方法数。

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$

排列：当顺序重要时

排列是有顺序的排法。从 $n$ 个不同物件中取 $r$ 个、且顺序重要时的排法数，由下面的公式给出。

这条公式印在考试公式表里，所以你不必背，但你必须知道何时使用它。

$${}^{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$$

组合：当顺序不重要时

组合是不计顺序的选取。由于每一组无序的 $r$ 个物件本身可以排成 $r!$

种，组合数就是排列数除以 $r!$。这条公式在考试中也已给出。

$${}^{n}C_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}$$

排列与组合如何相连

两者由 ${}^{n}P_{r} = {}^{n}C_{r} \times r!$ 相连。

读出来会有帮助：要造出一个有序排法，先选出 $r$ 个物件（${}^{n}C_{r}$ 种），再把它们排列（$r!$ 种）。

由此得出两个有用的事实：${}^{n}C_{0} = {}^{n}C_{n} = 1$ 与 ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$。

含相同物件的排列

当部分物件相同时，交换它们不会产生新的排法，所以要除以每一组重复物件个数的阶乘。$n$ 个物件中一种重复 $p$ 次、另一种重复 $q$ 次时，不同排法数由下式给出。

这条要背。

$$\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}$$

围圈排列

围着圆桌没有固定的起始座位，所以我们固定一个人，再排其余的人。$n$ 个不同物件的不同围圈排法数是 $(n-1)!$。

DSKP 把围圈题限制在一个条件之内，例如两人必须坐在一起。

$$(n-1)!$$

把条件化为分情况

大部分分数来自条件。「必须在一起」，把这一组捆成一个整体，先排各整体，再排整体内部。

「不可在一起」，先数全部，再减去他们在一起的排法。「至少」，把允许的各情况相加，或从总数中减去不合条件的情况。

附加数学以两份笔试评估，两份都使用不可编程的科学计算器作答，并以分析式评分，因此即使最后答案出错，也会一步一步给出方法分。

卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分。甲部有 12题，全部作答（64分）；乙部有 3题，作答其中 2题（16分）。

本章的计数题很适合卷一，因为它们简短而自成一体。

卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分。它有三个部分：甲部 7题全部作答（50分），乙部 4题作答其中 3题（30分），丙部 4题作答其中 2题（20分）。

在这里，排列或组合的概念可能作为一道较长的多步骤题目中的一部分出现。

在两份卷子中，题目为有限作答主观题与结构式题目；整体难度分布为 低 : 中 : 高 = 5 : 3 : 2。我们无法事先知道哪一章占哪些分，也没有人能预测确切的题目，所以要把方法练透，而不是去追某些特定题目。

两个简短范例

这两个简短的例子展示你最常做的两个动作，先认出排列，再处理带条件的组合。两题都按考试的风格编写，并非取自任何一份考卷。

以下是我们最常见到的错误，以及避免每一个错误的方法。

混淆排列与组合

这是头号错误。如果交换所选的两个物件会得到真正不同的结果，则顺序重要，你要用 ${}^{n}P_{r}$；如果交换毫无改变，就用 ${}^{n}C_{r}$。

纠正：动计算器之前，在题目旁写下一个词，「顺序？」，并回答是或否。

把 $0!$ 当作 0

学生常写 $0! = 0$，这会破坏像 ${}^{n}C_{n} = \dfrac{n!}{0!\,n!}$