Pilih Atur dan Gabungan

Q: Adakah rumus pilih atur dan gabungan diberi dalam peperiksaan SPM?

Ya. Kedua-dua nPr=n!(n−r)!{}^{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}nPr=(n−r)!n! dan nCr=n!(n−r)! r!{}^{n}C_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}nCr=(n−r)!r!n! dicetak dalam senarai rumus di hadapan kertas. Apa yang anda masih perlu bekalkan ialah pertimbangan yang mana diperlukan soalan, serta fakta faktorial dan susunan bulatan yang tiada dalam senarai.

Q: Perlukah saya menghafal apa-apa jika rumus diberi?

Ya. Senarai yang diberi hanya mempunyai nPr{}^{n}P_{r}nPr dan nCr{}^{n}C_{r}nCr. Anda perlu menghafal n!n!n!, 0!=10! = 10!=1, petua susunan bulatan (n−1)!(n-1)!(n−1)!, dan petua objek serupa n!p! q!⋯\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}p!q!⋯n!, serta cara mengendalikan syarat.

Apa bab ini

Bab Pilih Atur dan Gabungan terletak dalam bidang pembelajaran Statistik bagi Add Math Tingkatan 5 (KSSM 3472). Bab ini mengajar anda mengira bilangan cara sesuatu boleh berlaku tanpa menulis setiap kemungkinan satu per satu.

Daripada menyenaraikan susunan satu demi satu, anda belajar satu set alat pengiraan yang ringkas, petua pendaraban, faktorial, pilih atur dan gabungan, dan memilih alat yang betul untuk situasi berkenaan.

Kemahiran paling penting dalam bab ini ialah menentukan sama ada tertib penting. Apabila tertib objek mengubah keputusan (hadiah pertama, kedua dan ketiga; tempat duduk mengelilingi meja; kod PIN), anda mengira pilih atur.

Apabila tertib tidak mengubah keputusan (jawatankuasa tiga orang; sekumpulan kad; subjek yang dipilih), anda mengira gabungan. Segala-galanya dalam bab ini bermula daripada satu keputusan itu.

Bab ini pendek tetapi bernilai tinggi. Kaedahnya mudah dinyatakan, pengiraannya ringan, dan dua rumus utama dicetak untuk anda dalam peperiksaan.

Apa yang membezakan markah penuh daripada markah yang hilang ialah pembacaan syarat yang teliti dalam setiap soalan,'mesti duduk bersama', 'tidak boleh bersebelahan', 'sekurang-kurangnya dua perempuan', 'dalam bulatan', dan menterjemah perkataan itu kepada pendaraban kes yang betul.

Bab ini juga menyambung terus kepada bab berikutnya, Taburan Kebarangkalian. Rumus gabungan ${}^{n}C_{r}$ muncul semula di dalam rumus kebarangkalian binomial, jadi masa yang dilaburkan di sini berbaloi dua kali.

Pengajaran kami disampaikan dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dwibahasa BM dan Inggeris, jadi anda akan biasa dengan istilah dalam kedua-dua bahasa.

Add Math ialah mata pelajaran elektif, dan bab ini hanya memerlukan latar belakang yang ringan: pengiraan asas yang selesa, dan idea menyenaraikan hasil yang telah anda temui lebih awal di sekolah. Jika anda boleh membilang hasil bagi contoh kecil dengan tangan, anda sudah mempunyai intuisinya.

Bab ini sekadar memberi anda rumus supaya anda tidak lagi perlu menyenaraikan kes yang besar satu per satu, dan ia melatih anda mengenal pasti bentuk piawai yang mana sebenarnya diminta oleh sesuatu soalan.

Standard kandungan

DSKP membahagikan bab ini kepada dua standard kandungan. Berikut ialah kandungan setiap satu.

Kod	Standard kandungan	Apa yang anda pelajari
4.1	Pilih Atur	Petua pendaraban, tatatanda faktorial $n!$ , dan ${}^{n}P_{r}$ untuk menyusun objek, termasuk susunan dengan objek serupa dan mengelilingi bulatan, dengan satu syarat.
4.2	Gabungan	Membandingkan pilih atur dengan gabungan, mencari ${}^{n}C_{r}$ apabila tertib tidak penting, dan menyelesaikan masalah pemilihan yang mempunyai syarat.

Dalam standard ini, DSKP menyenaraikan enam standard pembelajaran:

4.1.1 Menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban.
4.1.2 Menentukan bilangan pilih atur bagi $n$ objek berbeza, $n$ objek diambil $r$ pada satu masa, dan $n$ objek yang melibatkan objek serupa.
4.1.3 Menyelesaikan masalah pilih atur dengan satu syarat, termasuk objek serupa atau susunan dalam bulatan.
4.2.1 Membanding dan membeza pilih atur dan gabungan.
4.2.2 Menentukan bilangan gabungan $r$ objek yang dipilih daripada $n$ objek berbeza.
4.2.3 Menyelesaikan masalah gabungan yang mempunyai syarat.

Idea utama

Petua pendaraban

Jika satu tugas boleh dilakukan dalam $m$ cara dan satu tugas kedua yang tak bersandar dalam $n$ cara, kedua-duanya boleh dilakukan dalam $m \times n$ cara. Inilah enjin seluruh bab ini: pecahkan masalah pengiraan kepada peringkat, kira pilihan pada setiap peringkat, kemudian darab.

Petua pendarabanMust memorise

m \times n \times p \times \cdots

Darabkan bilangan pilihan pada setiap peringkat tak bersandar.

Tatatanda faktorial $n!$

$n!$ (dibaca 'n faktorial') bermaksud hasil darab semua nombor bulat dari $n$ hingga 1, dan mengikut takrif $0!= 1$ . Ia mengira bilangan cara menyusun $n$ objek berbeza dalam satu baris.

FaktorialMust memorise

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

Pilih atur: apabila tertib penting

Pilih atur ialah susunan bertertib. Bilangan cara menyusun $r$ objek yang dipilih daripada $n$ objek berbeza, apabila tertib penting, diberi oleh rumus di bawah.

Rumus ini dicetak dalam senarai rumus peperiksaan, jadi anda tidak perlu menghafalnya, tetapi anda perlu tahu bila menggunakannya.

Pilih aturGiven in the exam

{}^{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}

Diberi dalam senarai rumus SPM.

Gabungan: apabila tertib tidak penting

Gabungan ialah pemilihan yang tidak mengambil kira tertib. Oleh sebab setiap kumpulan tak bertertib $r$ objek boleh disusun dalam $r!$

cara, bilangan gabungan ialah bilangan pilih atur dibahagi $r!$ . Rumus ini juga dibekalkan dalam peperiksaan.

GabunganGiven in the exam

{}^{n}C_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}

Diberi dalam senarai rumus SPM.

Bagaimana pilih atur dan gabungan berhubung

Kedua-duanya berhubung melalui ${}^{n}P_{r} = {}^{n}C_{r} \times r!$ . Membacanya membantu: untuk membina susunan bertertib, mula-mula pilih $r$ objek ( ${}^{n}C_{r}$ cara), kemudian susunnya ( $r!$

cara). Dua fakta berguna terhasil: ${}^{n}C_{0} = {}^{n}C_{n} = 1$ dan ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ .

Susunan dengan objek serupa

Apabila sebahagian objek serupa, menukar tempatnya tidak menghasilkan susunan baharu, jadi anda bahagikan dengan faktorial bagi setiap kumpulan berulang. Bilangan susunan berbeza bagi $n$ objek, apabila satu jenis berulang $p$ kali dan satu lagi berulang $q$ kali, diberi di bawah.

Rumus ini perlu dihafal.

Susunan dengan pengulanganMust memorise

\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}

Bahagikan n! dengan faktorial setiap kumpulan berulang.

Susunan dalam bulatan

Mengelilingi meja bulat tiada tempat duduk permulaan yang tetap, jadi kita tetapkan satu orang dan susun yang lain. Bilangan susunan bulatan berbeza bagi $n$ objek berbeza ialah $(n-1)!$ .

DSKP mengehadkan soalan bulatan kepada satu syarat, seperti dua orang yang mesti duduk bersama.

Pilih atur bulatanMust memorise

(n-1)!

Menukar syarat kepada kes

Kebanyakan markah datang daripada syarat. 'Mesti bersama', gabungkan kumpulan menjadi satu blok, susun blok, kemudian susun dalam blok.

'Tidak boleh bersama', kira semua, kemudian tolak susunan di mana mereka bersama. 'Sekurang-kurangnya', sama ada jumlahkan kes yang dibenarkan atau tolak kes yang tidak dikehendaki daripada jumlah.

Amalan yang baik ialah menggariskan setiap syarat dalam soalan dahulu, kemudian menangani satu syarat pada satu masa supaya tiada kes tertinggal atau terkira dua kali.

Cara ia diperiksa

Matematik Tambahan dinilai melalui dua kertas bertulis, kedua-duanya dijawab menggunakan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara dan diperiksa dengan permarkahan analitik, jadi markah kaedah diberi langkah demi langkah walaupun jawapan akhir tergelincir.

Kertas 1 (3472/1) berjalan selama 2 jam dan membawa 80 markah. Bahagian A mempunyai 12 soalan yang anda jawab semua (64 markah); Bahagian B mempunyai 3 soalan yang anda jawab dua (16 markah).

Soalan pengiraan daripada bab ini sesuai dengan Kertas 1 kerana ia pendek dan lengkap dengan sendiri.

Kertas 2 (3472/2) berjalan selama 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah. Ia mempunyai tiga bahagian: Bahagian A dengan 7 soalan untuk dijawab semua (50 markah), Bahagian B dengan 4 soalan yang anda jawab tiga (30 markah), dan Bahagian C dengan 4 soalan yang anda jawab dua (20 markah).

Di sini idea pilih atur atau gabungan mungkin muncul sebagai satu bahagian dalam soalan berbilang langkah yang lebih panjang.

Merentas kertas, item ialah subjektif respons terhad dan berstruktur, dan taburan kesukaran keseluruhan ialah Rendah : Sederhana : Tinggi = 5 : 3 : 2. Kami tidak tahu terlebih dahulu bab mana membawa markah mana, dan tiada siapa boleh meramal soalan tepat, jadi sediakan kaedah dengan menyeluruh dan bukannya mengejar item tertentu.

Dua contoh ringkas

Dua contoh pendek ini menunjukkan dua langkah yang paling kerap anda buat, mengenal pasti pilih atur, kemudian gabungan bersyarat. Kedua-duanya ditulis dalam gaya peperiksaan, bukan diambil daripada mana-mana kertas.

Q1[3 marks]

Lima pelajar duduk dalam satu baris lima kerusi. Dalam berapa cara mereka boleh diduduk jika dua pelajar tertentu mahu duduk bersebelahan?

Show worked solution

Tertib penting dalam satu baris, jadi ini pilih atur. Anggap dua rakan itu sebagai satu blok, memberi empat item, blok itu dan tiga pelajar lain, untuk disusun: $4!= 24$ cara. Dua rakan itu boleh bertukar dalam blok itu dalam $2!= 2$ cara. Jumlah $= 4!\times 2! = 24 \times 2 = 48$ cara.

Q2[4 marks]

Sebuah jawatankuasa tiga orang dipilih daripada lima guru dan empat ibu bapa. (a) Berapa jawatankuasa mungkin tanpa sekatan?

(b) Berapa jawatankuasa mengandungi sekurang-kurangnya dua guru?

Show worked solution

Tertib tidak penting dalam jawatankuasa, jadi gunakan gabungan. (a) Pilih 3 daripada 9: ${}^{9}C_{3} = 84$ .

(b) 'Sekurang-kurangnya dua guru' bermaksud dua guru dengan satu ibu bapa, atau tiga guru tanpa ibu bapa: ${}^{5}C_{2}\times{}^{4}C_{1} + {}^{5}C_{3}\times{}^{4}C_{0} = (10)(4) + (10)(1) = 40 + 10 = 50$ jawatankuasa.

Dalam peperiksaan

Rumus pilih atur ${}^{n}P_{r}$ dan rumus gabungan ${}^{n}C_{r}$ kedua-duanya dicetak dalam senarai rumus di hadapan kertas. Anda masih perlu menentukan yang mana diperlukan oleh soalan, senarai itu tidak memberitahu anda sama ada tertib penting.

Kesilapan lazim

Inilah kesilapan yang paling kerap kami lihat, dan cara mengelakkan setiap satu.

Mengelirukan pilih atur dan gabungan

Inilah ralat nombor satu. Jika anda boleh menukar dua objek yang dipilih dan mendapat keputusan yang benar-benar berbeza, tertib penting dan anda mahukan ${}^{n}P_{r}$ ; jika pertukaran tidak mengubah apa-apa, gunakan ${}^{n}C_{r}$ .

Pembetulan: sebelum menyentuh kalkulator, tulis satu perkataan di sebelah soalan,'tertib?', dan jawab ya atau tidak.

Menganggap $0!$ sebagai 0

Pelajar sering menulis $0! = 0$ , yang merosakkan rumus seperti ${}^{n}C_{n} = \dfrac{n!}{0!\,n!}$ . Mengikut takrif $0!= 1$ . Pembetulan: hafal $0!= 1$ dan ${}^{n}C_{0} = {}^{n}C_{n} = 1$ sebagai fakta tetap.

Menggunakan $n!$ untuk bulatan

Dalam bulatan tiada tempat duduk pertama, jadi $n!$ mengira berlebihan disebabkan putaran.

Kiraan yang betul ialah $(n-1)!$ . Pembetulan: tetapkan tempat duduk satu orang dahulu, kemudian susun $n-1$ orang yang tinggal berhubung dengannya.

Lupa membahagikan objek berulang

Menyusun huruf perkataan yang mempunyai huruf berulang, contohnya membilang susunan perkataan lima huruf dengan dua huruf serupa, pelajar menggunakan $5!$ dan mengira berlebihan.

Pembetulan: bahagikan $n!$ dengan faktorial setiap kumpulan berulang, memberi $\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}$ .

Salah tafsir 'sekurang-kurangnya' dan 'paling banyak'

'Sekurang-kurangnya dua' bukan sama dengan 'tepat dua'. Pembetulan: senaraikan setiap kes yang dibenarkan oleh syarat dan jumlahkannya, atau kira jumlah dan tolak kes yang melanggar syarat, mana yang lebih pendek.

Menambah sedangkan sepatutnya mendarab

Apabila tugas berlaku dalam peringkat (pilih pengerusi, kemudian setiausaha), kiraan peringkat didarab, bukan ditambah. Tambah hanya apabila anda menggabungkan kes berasingan yang saling eksklusif.

Pembetulan: tanya 'dan kemudian' (darab) berbanding 'atau' (tambah).

Cara mengulang kaji bab ini

Inilah urutan yang guru kami gunakan dengan pelajar, dari prinsip asas hingga kelajuan peperiksaan.

1
Kukuhkan perbendaharaan kata
Pastikan anda boleh mentakrif pilih atur, gabungan, faktorial dan petua pendaraban dengan kata-kata sendiri, dan menyatakan $0! = 1$ .
Halaman istilah utama mengumpulkan semua ini.
2
Tanya 'adakah tertib penting?' setiap kali
Berlatih membaca soalan pendek dan melabelkan setiap satu pilih atur atau gabungan sebelum sebarang pengiraan. Tabiat tunggal ini mengelakkan kebanyakan markah yang hilang.
3
Latih empat bentuk piawai
${}^{n}P_{r}$ , ${}^{n}C_{r}$ , bulatan $(n-1)!$ , dan susunan dengan objek serupa. Buat beberapa setiap satu sehingga persediaannya menjadi automatik.
4
Tambah syarat
Kerjakan soalan 'bersama', 'tidak bersama', dan 'sekurang-kurangnya / paling banyak' menggunakan kaedah blok, penolakan dan kes.
5
Uji masa dengan item gaya peperiksaan
Beralih kepada contoh berjawab dan soalan latihan mengikut masa, kemudian semak dengan halaman kesilapan lazim.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah rumus pilih atur dan gabungan diberi dalam peperiksaan SPM?

Ya. Kedua-dua ${}^{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ dan ${}^{n}C_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!\,r!}$ dicetak dalam senarai rumus di hadapan kertas. Apa yang anda masih perlu bekalkan ialah pertimbangan yang mana diperlukan soalan, serta fakta faktorial dan susunan bulatan yang tiada dalam senarai.

Bagaimana saya tahu untuk menggunakan pilih atur atau gabungan?

Tanya sama ada tertib mengubah keputusan. Hadiah yang disusun pertama, kedua dan ketiga, tempat duduk dalam baris, atau digit dalam kod bergantung pada tertib, jadi gunakan pilih atur.

Jawatankuasa, pasukan, atau sekumpulan kad tidak bergantung pada tertib, jadi gunakan gabungan. Jika ragu, tukar dua item yang dipilih dan lihat sama ada anda mendapat keputusan yang benar-benar berbeza.

Adakah bab ini sukar?

Rumusnya pendek dan pengiraannya ringan, jadi mekaniknya antara bahagian yang lebih mesra dalam Add Math Tingkatan 5. Cabarannya ialah membaca syarat dengan teliti,'mesti duduk bersama', 'sekurang-kurangnya dua', 'dalam bulatan', dan menterjemahkannya kepada pendaraban kes yang betul.

Dengan latihan yang tekun pada syarat, kebanyakan pelajar mendapati ia tempat yang boleh diharap untuk menjaringkan markah.

Perlukah saya menghafal apa-apa jika rumus diberi?

Ya. Senarai yang diberi hanya mempunyai ${}^{n}P_{r}$ dan ${}^{n}C_{r}$ .

Anda perlu menghafal $n!$ , $0! = 1$ , petua susunan bulatan $(n-1)!$ , dan petua objek serupa $\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}$ , serta cara mengendalikan syarat.

Bolehkah saya menggunakan butang nPr dan nCr pada kalkulator?

Boleh. Kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara mempunyai kekunci nPr dan nCr, dan ia dibenarkan.

Kekunci itu mempercepatkan pengiraan, tetapi markah adalah untuk memilih kaedah yang betul dan menunjukkan persediaan anda, jadi sentiasa tulis ungkapan, contohnya ${}^{9}C_{3}$ , sebelum menekan kekunci. Oleh sebab permarkahan bersifat analitik, persediaan yang jelas masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun anda tersilap pada nombor akhir.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026