Contoh Pilih Atur & Gabungan (Sederhana)

Q: Apabila objek berulang, mengapa saya bahagi dan bukan darab?

Kerana objek serupa menjadikan sebahagian daripada n!n!n! susunan tidak dapat dibezakan. Menukar 333 cakera merah serupa menghasilkan baris yang sama 3!3!3! kali, jadi membahagi dengan 3!3!3! membuang pendua. Secara umum kiraannya ialah n!p! q!⋯\frac{n!}{p!\,q!\cdots}p!q!⋯n!.

Q: Bagaimana saya tentukan antara mendarab dan membahagi?

Peringkat tak bersandar yang membina satu hasil didarab; objek serupa yang mencipta susunan pendua dibahagi keluar. Membaca syarat dengan teliti memberitahu anda keadaan yang mana anda berada.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pilih Atur dan Gabungan sederhana ini bergerak melepasi rumus semata-mata kepada syarat yang benar-benar dilekatkan oleh pemeriksa: ‘dua ini mesti bersebelahan’, ‘sebahagian objek serupa’, dan ‘pasukan mesti mengandungi sekian banyak setiap jenis’. Alatnya ialah prinsip pendaraban, ${}^{n}P_{r}$ dan ${}^{n}C_{r}$ yang sama daripada set mudah, kini digabungkan dalam dua atau tiga langkah.

Nombor kekal kecil dan kemas supaya kaedah, bukan aritmetik, yang anda latih. Tutup setiap penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris; di mana kerja anda bercapah daripada kami, asingkan langkah tepat itu, kerana di situlah teknik itu benar-benar diuji.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu melapiskan syarat pada kiraan asas, jadi baca soalan dua kali dan tentukan apa yang diubah oleh syarat sebelum anda menggunakan rumus.

Q1[3 marks]

Dalam berapa cara $6$ buku berbeza boleh disusun dalam satu baris jika dua buku tertentu mesti diletakkan bersebelahan?

Show worked solution

Ikat dua buku tertentu itu bersama dan anggap sebagai satu blok. Maka terdapat $5$ item untuk disusun dalam satu baris, blok itu bersama $4$ buku lain, yang boleh dilakukan dalam $5!$

cara.

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

Di dalam blok, kedua-dua buku itu sendiri boleh disusun dalam $2!$ cara.

Dengan prinsip pendaraban, darabkan kedua-dua kiraan:

5! \times 2! = 120 \times 2 = 240

Jawapan

Terdapat $240$ susunan. Kaedah blok berkesan kerana mengikat pasangan itu bersama menjamin ia bersebelahan; mendarab dengan $2!$

kemudian memulihkan dua susunan dalaman yang kita sembunyikan sementara.

Q2[3 marks]

Satu baris dibuat daripada $6$ cakera berwarna: $3$ merah, $2$ biru dan $1$ hijau. Cakera yang sama warna adalah serupa.

Berapakah bilangan susunan berbeza yang mungkin?

Show worked solution

Jika kesemua enam cakera berbeza, terdapat $6!$ susunan.

Tetapi $3$ cakera merah adalah serupa, jadi sebarang susunan berulang $3!$ kali dengan menukar cakera merah sesama sendiri; begitu juga $2$ cakera biru mengulanginya $2!$

kali. Bahagikan jumlah dengan ulangan ini:

\frac{6!}{3!\,2!\,1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60

Jawapan

Terdapat $60$ susunan berbeza. Semakan munasabah: dengan lebih sedikit cakera serupa akan ada lebih banyak baris berbeza, dan jika kesemua enam serupa hanya ada satu, membahagikan $720$ dengan $12$ mendarat munasabah antara kedua-dua hujung itu.

Q3[3 marks]

Sebuah jawatankuasa $4$ orang hendak dipilih daripada $6$ murid lelaki dan $4$ murid perempuan. Dalam berapa cara ia boleh dibentuk jika ia mesti mengandungi tepat $2$ lelaki dan $2$ perempuan?

Show worked solution

Kedua-dua keperluan itu ialah pilihan tak bersandar, jadi kira setiap satu dan darabkan. Pilih $2$ lelaki daripada $6$ , susunan tidak penting, jadi guna gabungan:

{}^{6}C_{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

Pilih $2$ perempuan daripada $4$ dengan cara yang sama:

{}^{4}C_{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

Dengan prinsip pendaraban, darabkan kedua-dua pemilihan:

{}^{6}C_{2} \times {}^{4}C_{2} = 15 \times 6 = 90

Jawapan

Terdapat $90$ jawatankuasa. Setiap pilihan $2$ lelaki boleh dipasangkan dengan setiap pilihan $2$ perempuan, dan itulah tepat yang dikira oleh pendaraban $15$ dengan $6$ .

Q4[3 marks]

Dalam berapa cara $5$ orang murid boleh didudukkan dalam satu baris jika dua murid tertentu enggan duduk bersebelahan?

Show worked solution

Kira dahulu semua susunan tanpa sekatan, kemudian tolak susunan di mana kedua-dua murid tertentu itu duduk bersebelahan. Jumlah tanpa sekatan ialah $5!= 120$ . Untuk kiraan ‘bersebelahan’, ikat kedua-dua murid itu menjadi satu blok, menjadikan $4$ item untuk disusun, kemudian darabkan dengan $2!$

susunan di dalam blok:

4! \times 2! = 24 \times 2 = 48

Tolak kiraan bersebelahan daripada jumlah tanpa sekatan untuk mendapatkan hanya susunan yang mengekalkan kedua-dua murid itu berjauhan:

120 - 48 = 72

Jawapan

Terdapat $72$ susunan. Ini ialah cerminan kepada ‘mesti bersebelahan’: bukannya mengikat kedua-dua murid menjadi satu blok, kita menolak kiraan blok itu daripada jumlah tanpa sekatan, kerana setiap susunan sama ada bersebelahan atau berjauhan.

Q5[4 marks]

Menggunakan digit $1, 2, 3, 4, 5, 6$ tanpa ulangan, berapakah bilangan nombor $4$ -digit ganjil yang boleh dibentuk?

Show worked solution

Sesuatu nombor adalah ganjil hanya jika digit sa-nya ganjil, jadi tetapkan kedudukan itu dahulu: digit sa mestilah salah satu daripada $1, 3, 5$ , memberi $3$ pilihan. Tiga kedudukan yang tinggal (ribuan, ratusan, puluhan) kemudian diisi, mengikut susunan, daripada $5$ digit yang berbaki:

{}^{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60

Dengan prinsip pendaraban, darabkan $3$ pilihan untuk digit sa dengan $60$ cara menyusun tiga kedudukan lain:

3 \times {}^{5}P_{3} = 3 \times 60 = 180

Jawapan

Terdapat $180$ nombor ganjil. Menetapkan kedudukan bersyarat (digit sa) dahulu, sebelum menyusun kedudukan bebas, adalah langkah biasa apabila syarat hanya dikenakan pada satu kedudukan dalam susunan.

Q6[4 marks]

$6$ orang rakan hendak diduduk-aturkan di sebuah meja bulat. Dalam berapa cara mereka boleh diduduk-aturkan jika dua rakan tertentu mesti duduk bersebelahan?

Show worked solution

Ikat dua rakan tertentu itu menjadi satu blok, meninggalkan $5$ item untuk disusun mengelilingi meja, blok itu bersama $4$ rakan lain. Bagi $n$ item yang diduduk-aturkan dalam bulatan, putaran susunan yang sama tidak dikira berbeza, jadi kiraannya ialah $(n-1)!$ :

(5-1)! = 4! = 24

Di dalam blok, kedua-dua rakan itu masih boleh disusun dalam $2!$ cara.

Darabkan kedua-dua kiraan:

4! \times 2! = 24 \times 2 = 48

Jawapan

Terdapat $48$ susunan. Kaedah blok berfungsi sama seperti di meja bulat mahupun dalam baris, satu-satunya perbezaan ialah menggunakan $(n-1)!$

dan bukan $n!$ untuk susunan luar, kerana bulatan tidak mempunyai titik permulaan tetap.

Q7[3 marks]

Satu pasukan $4$ orang hendak dipilih daripada $5$ murid lelaki dan $3$ murid perempuan. Dalam berapa cara pasukan itu boleh dibentuk jika ia mesti mengandungi sekurang-kurangnya $1$ murid perempuan?

Show worked solution

‘Sekurang-kurangnya $1$ perempuan’ paling mudah dikira melalui pelengkap: cari jumlah tanpa sekatan, kemudian tolak satu kes yang tiada langsung murid perempuan. Memilih mana-mana $4$ daripada kesemua $8$ murid memberi ${}^{8}C_{4} = 70$ .

Kes yang dikecualikan ialah memilih kesemua $4$ ahli daripada $5$ murid lelaki sahaja:

{}^{5}C_{4} = \frac{5!}{4!\,1!} = 5

Tolak kes semua lelaki ini daripada jumlah tanpa sekatan untuk mendapatkan hanya pasukan yang mengandungi sekurang-kurangnya seorang perempuan:

70 - 5 = 65

Jawapan

Terdapat $65$ pasukan. Syarat ‘sekurang-kurangnya satu’ hampir selalu lebih pantas dikira melalui pelengkap berbanding menjumlahkan setiap pecahan yang mungkin ( $1$ perempuan, $2$ perempuan, $3$ perempuan) secara berasingan.

Q8[3 marks]

Satu pasukan debat $4$ orang murid dipilih daripada $9$ murid yang menyertai saringan, dan seorang daripada $4$ itu kemudian dilantik sebagai kapten pasukan. Dalam berapa cara pasukan dan kapten boleh dipilih?

Show worked solution

Pilih dahulu pasukan $4$ ahli daripada $9$ murid, susunan tidak penting dalam pasukan itu, jadi ini adalah gabungan:

{}^{9}C_{4} = \frac{9!}{4!\,5!} = 126

Kemudian pilih yang mana satu daripada $4$ ahli pasukan itu menjadi kapten; mana-mana daripada $4$ murid yang dipilih boleh mengisi peranan itu. Darabkan kedua-dua kiraan:

126 \times 4 = 504

Jawapan

Terdapat $504$ cara. Memilih pasukan adalah gabungan kerana $4$ ahli itu tidak bersusunan, tetapi menamakan seorang daripada mereka sebagai kapten menambah pilihan sebenar di atasnya, jadi langkah akhir itu didarab dan bukan dilipat masuk ke dalam ${}^{9}C_{4}$ .

Perhatikan tabiat sepunya merentas ketiga-tiganya: namakan syarat, tentukan sama ada ia membahagi masalah kepada peringkat (darab) atau menyembunyikan ulangan (bahagi), dan barulah gantikan. Syarat tidak mengubah rumus yang wujud, ia mengubah berapa kali anda menggunakannya.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih syarat yang menukar kiraan biasa kepada soalan peperiksaan tipikal. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

‘Mesti bersebelahan’, ikat objek menjadi satu blok, susun blok itu, kemudian darab dengan susunan dalaman blok.
Menyusun $n$ objek apabila sebahagian serupa memberi $\frac{n!}{p!\,q!\cdots}$ ; bahagikan dengan faktorial setiap kumpulan objek serupa.
‘Pilih sekian banyak setiap jenis’, kira setiap pemilihan tak bersandar dengan ${}^{n}C_{r}$ dan darabkan hasilnya.
Gabungan digunakan apabila susunan dalam kumpulan yang dipilih tidak penting, iaitu keadaan biasa bagi jawatankuasa dan pasukan.
Pecahkan masalah bersyarat kepada peringkat yang jelas; prinsip pendaraban menghubungkan peringkat itu.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, setiap baris pemilihan atau susunan yang betul boleh memperoleh markah kaedah dalam perjalanan ke jumlah akhir.

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana menjatuhkan pelajar bukan pada rumus tetapi pada syarat, lupa mendarab blok dengan $2!$ , atau membahagi dengan faktorial yang salah apabila objek berulang. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami melambatkan saat syarat itu dibaca, dan meminta pelajar menyatakan dengan kata-kata apa yang diubahnya sebelum sebarang nombor ditulis.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat seseorang yang telah melihat kesilapan tepat ini berkali-kali dan tahu cara membetulkan tabiat itu. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kerja itu beralih dengan kemas ke mana-mana kertas.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa saya darab dengan

2!

dalam kaedah blok?

Mengikat dua objek menjadi satu blok memaksanya bersebelahan, tetapi ia sementara menyembunyikan dua cara ia boleh disusun di dalam blok. Mendarab susunan blok dengan $2!$

mengembalikan dua susunan dalaman itu, memberi jumlah yang betul.

Apabila objek berulang, mengapa saya bahagi dan bukan darab?

Kerana objek serupa menjadikan sebahagian daripada $n!$ susunan tidak dapat dibezakan.

Menukar $3$ cakera merah serupa menghasilkan baris yang sama $3!$ kali, jadi membahagi dengan $3!$

membuang pendua. Secara umum kiraannya ialah $\frac{n!}{p!\,q!\cdots}$ .

Dalam masalah ‘sekian banyak setiap jenis’, mengapa saya darab kedua-dua gabungan?

Kerana pilihan itu tak bersandar: setiap cara memilih lelaki boleh dipasangkan dengan setiap cara memilih perempuan. Prinsip pendaraban kemudian memberi ${}^{6}C_{2} \times {}^{4}C_{2} = 90$ .

Bagaimana saya tentukan antara mendarab dan membahagi?

Peringkat tak bersandar yang membina satu hasil didarab; objek serupa yang mencipta susunan pendua dibahagi keluar. Membaca syarat dengan teliti memberitahu anda keadaan yang mana anda berada.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pilih Atur dan Gabungan, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?