排列与组合，例题（KBAT）

一个数是偶数，取决于它的个位是偶数，所以先处理这个最受限制的位置。个位必须是 $2, 4, 6$ 之一，有 $3$ 种选择。

个位定下后，还剩 $5$ 个数字填另外两个位置，且顺序有关。先填百位（$5$ 种），再填十位（$4$ 种）：

由乘法原理，把三个位置的选法相乘：

‘至少 $3$ 名女士’意味着队伍恰好有 $3$ 名女士，或者恰好有 $4$ 名女士。这两种情形不能同时发生，所以各数一次再相加。

先看恰好 $3$ 名女士和 $1$ 名男士：

再看恰好 $4$ 名女士和 $0$ 名男士（全队都是女士）：

这些情形互斥，所以把它们相加：

把任务拆成两步：先选出评审组（顺序无关），再让选中的三人就座（顺序有关）。从 $5$ 名资深成员中选 $2$ 名，从 $3$ 名初级成员中选 $1$ 名：

对这 $30$ 个评审组中的每一个，选中的 $3$ 人排成一行就座有 $3!$ 种方式：

由乘法原理，把选取数目与排列数目相乘：

由于主席和秘书必须坐在一起，先把他们捆绑成一个单位。连同其余 4 名成员，一共有 5 个单位要围着圆桌排列。

这样算时，捆绑在一起的两人内部次序是固定的。其实主席和秘书在这个单位内还可以互换位置，所以要乘以单位内部的排法数目：

由乘法原理，把单位的圆形排列数与单位内部的互换数相乘：

这 7 个字符并非全部不同，所以这是含有重复对象的排列问题。先处理条件：由于只有 1 个字母 R，把它固定在第一位只有 1 种方式，剩下 6 个位置留给 4 个 P 和 2 个 Q 填入。

把剩下的 4 个 P 和 2 个 Q 排入另外 6 个位置。由于这些 P 彼此相同、这些 Q 彼此相同，要把普通的 $6!$

除以各自重复个数的阶乘，使相同字母之间的互换不会被重复计算：

与其直接数出符合条件的排法，不如先数出所有排法，再减去违反条件的排法。7 名不同的选手排成一行，顺序始终重要，所以先求出排法总数：

接着数出不符合条件的排法，即 P 和 Q 相邻的情形。把 P 和 Q 捆绑成一个单位，得到 6 个单位排成一行，并让这两名选手在单位内部互换位置：

用总数减去不符合条件的排法，剩下的就是 P 和 Q 不相邻的排法：

‘A 和 B 不可以同时入选’这个条件把选法拆成三种互不相容的情形：A 和 B 都不入选、只有 A 入选、或只有 B 入选。把每种情形数出来再相加。

情形 1, A 和 B 都不入选：从剩下的 8 人中选出全部 5 人：

情形 2, A 入选但 B 不入选：A 已占一个名额，所以从其余 8 人中（不含 B）再选 4 人：

情形 3, B 入选但 A 不入选，按同样的道理也得到 ${}^{8}C_{4} = 70$。这三种情形互斥，所以把三者相加：

这是把学生分成小组，而不是普通的选取，因为两辆巴士完全相同，不存在‘第一组’或‘第二组’的分别。先像平常一样，从 8 名学生中选出 4 人作为一组，剩下的 4 人自动归入另一辆巴士：

但这样每一种分法都被数了两次。选出 $\{1,2,3,4\}$ 作为‘被选中的一组’，会把 $\{5,6,7,8\}$ 留给另一辆巴士；反过来选出 $\{5,6,7,8\}$ 作为‘被选中的一组’，又会把 $\{1,2,3,4\}$ 留下，但因为两辆巴士完全相同，这两种选法描述的其实是同一种分组。

每一种分组都恰好被数了两次，所以要除以 $2!$：

这个除以 2 的步骤，只有在两组扮演完全相同的角色时才需要。如果两辆巴士改成编号为 1 号车和 2 号车，上面两种选法就会被视为不同的结果，也就不需要除以 $2!$

了。