Contoh Pilih Atur & Gabungan (KBAT)

Q: Bila saya tambah kes dan bila saya darab?

Tambah apabila kes itu alternatif yang tidak boleh berlaku serentak, seperti ‘tepat 3 perempuan’ atau ‘tepat 4 perempuan’. Darab apabila peringkat tak bersandar bergabung untuk membina satu hasil, seperti memilih lelaki dan memilih perempuan bagi pasukan yang sama.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pilih Atur dan Gabungan sukar ini meminta anda memegang dua idea pada masa yang sama. Yang pertama membentuk nombor genap daripada satu set digit, jadi digit sa ditetapkan dahulu dan selebihnya disusun di sekelilingnya.

Yang kedua mengira jawatankuasa yang memenuhi syarat ‘sekurang-kurangnya’, yang berpecah kepada kes berasingan yang ditambah, bukan didarab. Yang ketiga memilih kumpulan dengan kekangan kemudian menyusun ahli yang dipilih, menggabungkan gabungan dan pilih atur dalam satu masalah.

Tiada apa-apa di sini memerlukan rumus baharu, hanya susunan pemikiran yang teliti. Cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris dan pastikan langkah tepat di mana laluan anda berbeza daripada kami.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya secara perlahan. Kemahiran yang diuji ialah urutan: syarat mana yang perlu dipenuhi dahulu, dan sama ada bahagian berasingan itu perlu ditambah atau didarab.

Q1[4 marks]

Berapakah bilangan nombor genap $3$ -digit yang boleh dibentuk daripada digit $1, 2, 3, 4, 5, 6$ jika tiada digit boleh diulang?

Show worked solution

Sesuatu nombor genap apabila digit sa-nya genap, jadi uruskan kedudukan yang paling terkekang itu dahulu. Digit sa mesti salah satu daripada $2, 4, 6$ , memberi $3$ pilihan.

\text{digit sa: } 3 \text{ pilihan}

Selepas digit sa ditetapkan, $5$ digit tinggal untuk dua kedudukan lain, dan susunan penting. Isi tempat ratus ( $5$ pilihan), kemudian tempat puluh ( $4$ pilihan):

\text{ratus dan puluh: } 5 \times 4 = 20

Dengan prinsip pendaraban, darabkan pilihan bagi ketiga-tiga kedudukan:

3 \times 5 \times 4 = 60

Jawapan

Terdapat $60$ nombor sebegini. Semak dengan simetri: terdapat ${}^{6}P_{3} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ nombor tiga digit tanpa digit berulang, dan tepat separuh berakhir dengan digit genap kerana $3$ daripada $6$ digit adalah genap, jadi $120 \div 2 = 60$ .

Q2[4 marks]

Sebuah pasukan $4$ orang dipilih daripada $5$ lelaki dan $4$ perempuan. Dalam berapa cara pasukan itu boleh dibentuk jika ia mesti mengandungi sekurang-kurangnya $3$ perempuan?

Show worked solution

‘Sekurang-kurangnya $3$ perempuan’ bermaksud pasukan itu mempunyai sama ada tepat $3$ perempuan atau tepat $4$ perempuan. Kes-kes ini tidak boleh berlaku serentak, jadi kira setiap satu dan tambah.

Pertama, tepat $3$ perempuan dan $1$ lelaki:

{}^{4}C_{3} \times {}^{5}C_{1} = 4 \times 5 = 20

Seterusnya, tepat $4$ perempuan dan $0$ lelaki (seluruh pasukan perempuan):

{}^{4}C_{4} \times {}^{5}C_{0} = 1 \times 1 = 1

Kes-kes itu saling eksklusif, jadi tambahkannya:

20 + 1 = 21

Jawapan

Terdapat $21$ pasukan. Gerak utama ialah mengenali bahawa ‘sekurang-kurangnya’ membuka dua kes berasingan: menambah meliputi ‘kes ini atau kes itu’, manakala mendarab sebelumnya meliputi ‘pilihan ini dan pilihan itu’.

Q3[4 marks]

Daripada $5$ ahli kanan dan $3$ ahli muda, sebuah panel $3$ orang dipilih kemudian didudukkan dalam satu baris $3$ kerusi. Panel itu mesti mengandungi tepat $2$ ahli kanan dan $1$ ahli muda.

Dalam berapa cara ini boleh dilakukan?

Show worked solution

Pecahkan tugasan kepada dua peringkat: pertama pilih panel (susunan tidak penting), kemudian dudukkan tiga yang dipilih (susunan penting). Pilih $2$ ahli kanan daripada $5$ dan $1$ ahli muda daripada $3$ :

{}^{5}C_{2} \times {}^{3}C_{1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 3 = 10 \times 3 = 30

Bagi setiap satu daripada $30$ panel ini, $3$ ahli yang dipilih boleh didudukkan dalam satu baris dalam $3!$ cara:

3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

Dengan prinsip pendaraban, darabkan kiraan pemilihan dengan kiraan susunan:

30 \times 6 = 180

Jawapan

Terdapat $180$ cara. Struktur dua peringkat itulah intinya: gabungan dahulu untuk menentukan siapa dalam panel, kemudian pilih atur untuk menentukan susunan mereka duduk, memilih dan menyusun ialah soalan berbeza dan setiap satu perlukan kiraannya sendiri.

Q4[5 marks]

Enam ahli jawatankuasa akan duduk mengelilingi sebuah meja bulat untuk suatu mesyuarat. Pengerusi dan setiausaha berkeras untuk duduk bersebelahan antara satu sama lain.

Dalam berapa cara enam ahli itu boleh diduduk?

Show worked solution

Oleh sebab pengerusi dan setiausaha mesti duduk bersama, gabungkan mereka sebagai satu unit terlebih dahulu. Bersama 4 ahli lain, ini memberi 5 unit untuk disusun mengelilingi meja.

\text{5 unit mengelilingi meja bulat: } (5-1)! = 4! = 24

Ini menganggap pasangan yang digabungkan mempunyai satu susunan dalaman tetap. Pengerusi dan setiausaha masih boleh bertukar tempat dalam unit mereka, jadi darabkan dengan bilangan susunan dalam unit itu:

2! = 2

Dengan prinsip pendaraban, gabungkan susunan bulatan bagi unit-unit itu dengan pertukaran dalaman:

24 \times 2 = 48

Jawapan

Terdapat 48 cara duduk. Semak: dengan 6 orang berlainan mengelilingi meja bulat, terdapat $(6-1)!= 120$ susunan kesemuanya, dan dua orang yang dipilih duduk bersebelahan dalam tepat $\frac{2}{6-1} = \frac{2}{5}$ daripadanya, memberi $120 \times \frac{2}{5} = 48$ \u2014 jawapan yang sama.

Q5[4 marks]

Satu kod dibentuk dengan menyusun kesemua 7 aksara P, P, P, P, Q, Q, R dalam satu baris \u2014 iaitu 4 huruf P yang sama, 2 huruf Q yang sama, dan 1 huruf R. Berapakah bilangan kod berlainan yang boleh dibentuk jika kod itu mesti bermula dengan huruf R?

Show worked solution

Ketujuh-tujuh aksara ini tidak semuanya berbeza, jadi ini ialah pilih atur dengan objek berulang. Uruskan syarat itu dahulu: oleh sebab hanya ada 1 huruf R, menetapkannya di hadapan baris boleh dilakukan dalam tepat 1 cara, meninggalkan 6 kedudukan lain untuk diisi oleh 4 huruf P dan 2 huruf Q.

\text{kedudukan 1: ditetapkan sebagai R, 1 cara}

Susun 4 huruf P dan 2 huruf Q yang tinggal dalam 6 kedudukan lain. Oleh sebab huruf P adalah sama antara satu sama lain dan huruf Q juga sama, bahagikan $6!$

biasa dengan faktorial bagi setiap bilangan berulang supaya pertukaran antara huruf yang sama tidak dikira dua kali:

\frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = 15

Jawapan

Terdapat 15 kod berlainan. Semak akal: menukar kedudukan 4 huruf P sesama sendiri ( $4!$

cara) atau 2 huruf Q sesama sendiri ( $2!$ cara) tidak pernah menghasilkan kod yang kelihatan baharu, jadi membahagikan $720$ dengan $4!\times 2!$ membetulkan pengiraan berlebihan itu.

Q6[5 marks]

Tujuh pelari akan disusun dalam satu baris 7 lorong untuk suatu larian latihan. Dua daripada pelari itu, P dan Q, tidak boleh diletakkan dalam lorong yang bersebelahan.

Dalam berapa cara ketujuh-tujuh pelari itu boleh disusun dalam baris tersebut?

Show worked solution

Daripada mengira susunan yang dibenarkan secara terus, kira semua susunan dan tolak susunan yang melanggar syarat. Dengan 7 pelari berlainan dalam satu baris, susunan penting sepanjangnya, jadi cari dahulu jumlah bilangan susunan:

7! = 5040

Sekarang kira susunan yang tidak dikehendaki, iaitu apabila P dan Q bersebelahan. Gabungkan P dan Q sebagai satu unit, memberi 6 unit untuk disusun dalam satu baris, dan biarkan kedua-dua pelari bertukar tempat dalam unit itu:

6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440

Tolak susunan yang tidak dikehendaki daripada jumlah, meninggalkan hanya susunan yang mana P dan Q tidak bersebelahan:

5040 - 1440 = 3600

Jawapan

Terdapat 3600 susunan yang sah. Semak akal: dalam satu baris 7 orang berlainan, dua orang yang dipilih bersebelahan dalam tepat $\frac{2}{7}$ daripada semua susunan, jadi bilangan \u2018tidak bersebelahan\u2019 sepatutnya $5040 \times \left(1 - \frac{2}{7}\right) = 5040 \times \frac{5}{7} = 3600$ \u2014 sepadan.

Q7[5 marks]

Satu pasukan 5 pemain akan dipilih daripada 10 pemain untuk mewakili sebuah sekolah dalam suatu pertandingan. Pemain A dan B tidak boleh kedua-duanya dipilih ke dalam pasukan yang sama kerana jadual latihan mereka bertindih.

Dalam berapa cara pasukan 5 orang itu boleh dipilih?

Show worked solution

Syarat \u2018A dan B tidak boleh kedua-duanya dalam pasukan\u2019 memecahkan pemilihan kepada tiga kes yang tidak boleh berlaku serentak: A dan B kedua-duanya tidak dipilih, hanya A dipilih, atau hanya B dipilih. Kira setiap kes dan tambahkannya.

Kes 1 \u2014 A dan B kedua-duanya tidak dipilih: pilih kesemua 5 pemain daripada 8 pemain yang tinggal:

{}^{8}C_{5} = 56

Kes 2 \u2014 A dipilih tetapi B tidak: A sudah mengisi satu tempat, jadi pilih 4 pemain lagi daripada 8 pemain lain (tidak termasuk B):

{}^{8}C_{4} = 70

Kes 3 \u2014 B dipilih tetapi A tidak, yang dengan alasan sama juga memberi ${}^{8}C_{4} = 70$ . Ketiga-tiga kes itu saling eksklusif, jadi tambahkan kesemuanya:

56 + 70 + 70 = 196

Jawapan

Terdapat 196 pasukan yang sah. Semak dengan pelengkap: memilih mana-mana 5 daripada 10 memberi ${}^{10}C_{5} = 252$ pasukan kesemuanya, dan pasukan yang tidak dikehendaki yang mengandungi A dan B kedua-duanya memerlukan 3 lagi pemain daripada 8 yang tinggal, memberi ${}^{8}C_{3} = 56$ ; jadi $252 - 56 = 196$ \u2014 jawapan yang sama.

Q8[6 marks]

8 orang pelajar dalam satu kelas akan dibahagikan kepada dua kumpulan yang masing-masing terdiri daripada 4 orang untuk menaiki dua van yang serupa dalam suatu lawatan kelas \u2014 van-van itu tidak diberi sebarang nombor. Dalam berapa cara 8 pelajar itu boleh dibahagikan kepada dua kumpulan tersebut?

Show worked solution

Ini ialah pembahagian kepada kumpulan, bukan pemilihan biasa, kerana kedua-dua van itu serupa \u2014 tiada \u2018kumpulan pertama\u2019 atau \u2018kumpulan kedua\u2019 untuk membezakannya. Mulakan seolah-olah memilih satu kumpulan 4 orang daripada 8 pelajar, yang secara automatik meninggalkan 4 orang lagi untuk van yang satu lagi:

{}^{8}C_{4} = 70

Ini mengira setiap pembahagian dua kali. Memilih pelajar $\{1,2,3,4\}$ sebagai \u2018kumpulan yang dipilih\u2019 meninggalkan $\{5,6,7,8\}$ untuk van yang satu lagi, dan memilih $\{5,6,7,8\}$ sebagai \u2018kumpulan yang dipilih\u2019 meninggalkan $\{1,2,3,4\}$ \u2014 tetapi oleh sebab kedua-dua van itu serupa, kedua-duanya menerangkan pembahagian pelajar yang sama sepenuhnya.

Setiap pembahagian telah dikira tepat dua kali, jadi bahagikan dengan $2!$ :

\frac{70}{2!} = \frac{70}{2} = 35

Langkah membahagi dua ini hanya diperlukan kerana kedua-dua kumpulan itu memainkan peranan yang serupa. Sekiranya van itu dinomborkan sebagai Van 1 dan Van 2, dua pemilihan di atas akan dikira sebagai hasil yang berbeza, dan pembahagian dengan $2!$

tidak lagi terpakai.

Jawapan

Terdapat 35 cara untuk membahagikan pelajar itu. Semak akal: bagi kes lebih kecil 4 pelajar dibahagikan kepada dua kumpulan serupa yang masing-masing 2 orang, kaedah yang sama memberi $\frac{{}^{4}C_{2}}{2!} = \frac{6}{2} = 3$ , yang sepadan dengan 3 gandingan yang boleh disenaraikan secara manual, mengesahkan langkah membahagi dua itu adalah sah.

Merentas ketiga-tiga ini, kemahiran yang menentukan bukan rumus tetapi rancangan: tetapkan syarat paling ketat dahulu, tambah apabila kes itu alternatif, dan darab apabila peringkat itu bergabung. Tulis rancangan itu dalam kata-kata sebelum nombor, dan walaupun soalan panjang kekal terkawal.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih kemahiran merancang yang memisahkan jawapan soalan sukar yang kukuh daripada yang bertuah. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Bagi masalah membentuk nombor, penuhi kedudukan paling terkekang dahulu (selalunya digit sa bagi syarat genap atau ganjil), kemudian isi selebihnya.
Syarat ‘sekurang-kurangnya’ dan ‘paling banyak’ berpecah kepada kes berasingan; kira setiap kes dan tambah hasilnya.
Peringkat tak bersandar bagi satu hasil didarab; kes saling eksklusif ditambah, mengelirukan kedua-duanya ialah kesilapan soalan sukar yang paling biasa.
Tugasan ‘pilih kemudian susun’ memerlukan kedua-dua alat: gabungan untuk memilih kumpulan, kemudian pilih atur untuk menyusunnya.
Sentiasa semak sama ada susunan penting secara berasingan pada setiap peringkat, ia boleh penting pada satu peringkat dan tidak pada peringkat lain.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, setiap kes atau peringkat yang dikira betul memperoleh markah kaedah walaupun sebelum penambahan atau pendaraban akhir.

Bagaimana guru membantu

Soalan pilih atur sukar jarang hilang pada aritmetik; ia hilang pada rancangan, menambah apabila kes sepatutnya didarab, atau menyusun apabila soalan hanya meminta memilih. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membina rancangan dahulu, menulis kes dan peringkat dalam kata-kata sebelum satu nombor pun muncul, supaya strukturnya betul dari mula.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda belajar cara yang boleh diulang untuk memecahkan soalan panjang, bukan helah bagi satu soalan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi rancangan yang sama berkesan pada mana-mana kertas.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya tambah kes dan bila saya darab?

Tambah apabila kes itu alternatif yang tidak boleh berlaku serentak, seperti ‘tepat 3 perempuan’ atau ‘tepat 4 perempuan’. Darab apabila peringkat tak bersandar bergabung untuk membina satu hasil, seperti memilih lelaki dan memilih perempuan bagi pasukan yang sama.

Mengapa tetapkan digit sa dahulu apabila membentuk nombor genap?

Kerana ‘genap’ ialah syarat pada digit sa sahaja, dan ia kedudukan paling terkekang. Menetapkannya dahulu, di sini $3$ pilihan genap, meninggalkan kedudukan yang lebih bebas untuk diisi kemudian tanpa melanggar peraturan.

Dalam ‘pilih kemudian susun’, mengapa saya guna kedua-dua gabungan dan pilih atur?

Memilih siapa dalam panel ialah pemilihan yang susunan tidak penting (gabungan). Mendudukkan ahli yang dipilih dalam satu baris ialah susunan yang susunan penting (pilih atur).

Oleh sebab dua peringkat itu tak bersandar, kiraannya didarab: $30 \times 6 = 180$ .

Bagaimana saya boleh semak jawapan ‘sekurang-kurangnya’?

Satu cara ialah pelengkap: kira semuanya dan tolak kes yang tidak dikehendaki. Cara lain, yang digunakan di sini, ialah menyenaraikan kes yang dibenarkan secara terus dan menambahnya.

Jika kedua-dua laluan bersetuju, jawapan itu kukuh.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pilih Atur dan Gabungan, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?