排列与组合例题（简单）| SPM Add Math

Q: 我怎么知道该用排列还是组合？

问所选物件的顺序重不重要。如果把同样的物件重新排列会产生真正不同的结果，例如一排座位或比赛名次，就用排列 nPr{}^{n}P_{r}nPr。如果顺序没有区别，例如委员会成员，就用组合 nCr{}^{n}C_{r}nCr。

Q: 乘法原理到底在说什么？

如果一个任务分步完成而各步骤互不影响，方法总数就是各步骤选法数目的乘积。四种面包、三种馅料、两种酱料，得 4×3×2=244 \times 3 \times 2 = 244×3×2=24 种三明治。

Q: 为什么 {}^{n}C_{r} 比 {}^{n}P_{r} 小？

因为每组 rrr 个物件可以有 r!r!r! 种排序，这些都算作不同的排列，却只算作一个组合。所以 nCr=nPrr!{}^{n}C_{r} = \frac{{}^{n}P_{r}}{r!}nCr=r!nPr，当 r≥2r \ge 2r≥2 时它总是更小。

这些例题涵盖什么

这组简单的排列与组合例题帮你打好整章赖以立足的四个动作：用乘法原理一步一步地数出结果、用阶乘把一整组不同物件排成一行、当顺序有关时用 ${}^{n}P_{r}$ 只排其中一部分，以及当顺序无关时用 ${}^{n}C_{r}$ 选出一组。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

请诚实地用这组题：先盖住解答，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照。凡是你的算法与我们分岔的地方，就找出分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应解答，并不断追问决定整章走向的那个问题：物件的顺序重要吗？

若重要，你在做排列；若不重要，你在做组合。

Q1[2 marks]

一家三明治店让你自选一款三明治：从 $4$ 种面包中选一种、从 $3$ 种馅料中选一种、从 $2$ 种酱料中选一种。一共有多少种不同的三明治？

Show worked solution

三明治分三个互不影响的步骤组成，某一步的选择不会改变其他步骤的选择。乘法原理指出，结果的总数等于各步骤选法数目的乘积。

4 \times 3 \times 2 = 24

答案

共有 $24$ 种不同的三明治。分步验证： $4$ 种面包各配 $3$ 种馅料，得 $12$ 种面包–馅料搭配；每种搭配再配 $2$ 种酱料，得 $12 \times 2 = 24$ 。

Q2[2 marks]

把 $6$ 枚不同的奖牌排成一行放在展示架上，共有多少种排法？

Show worked solution

六个物件全部不同且全部用上，所以这是 $6$ 个不同物件的全排列。第一个位置有 $6$ 种填法，第二个有 $5$ 种，如此递减到 $1$ ；总数为 $6!$ （六的阶乘）。

6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

答案

共有 $720$ 种排法。留意规律：每填一个位置就少一枚奖牌，所以各位置的选法逐一递减为 $6, 5, 4, 3, 2, 1$ ，其乘积为 $720$ 。

Q3[3 marks]

从 $6$ 本不同的书中取 $3$ 本排成一行放在书架上，共有多少种排法？

Show worked solution

这里顺序有关，同样三本书排法不同就算不同，但只用 $6$ 本书中的 $3$ 本。这是从 $6$ 中取 $3$ 的排列，记作 ${}^{6}P_{3}$ 。

Given in the exam

{}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}

代入 $n=6$ ， $r=3$ ：

{}^{6}P_{3} = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120

答案

共有 $120$ 种排法。快速检验：直接填三个书架位置， $6$ 种、再 $5$ 种、再 $4$ 种，得 $6 \times 5 \times 4 = 120$ 。

Q4[3 marks]

从一班 $7$ 名学生中选出 $3$ 人组成委员会，共有多少种选法？

Show worked solution

委员会只是一个小组，把同样三名学生换个次序说出来并不产生新的委员会，所以顺序无关。这是从 $7$ 中取 $3$ 的组合，记作 ${}^{7}C_{3}$ 。

Given in the exam

{}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

代入 $n=7$ ， $r=3$ ：

{}^{7}C_{3} = \frac{7!}{3!\,(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35

答案

共有 $35$ 个委员会。用有序计数检验：把 $3$ 人从 $7$ 中排出为 ${}^{7}P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ ，而每个委员会被重复数了 $3!= 6$ 次，所以 $210 \div 6 = 35$ 。

Q5[2 marks]

一间食堂午餐提供 $3$ 种饭餐套餐或 $4$ 种面食套餐。一名学生只选一份套餐，饭餐或面食二选一。

这名学生一共有多少种选套餐的方法？

Show worked solution

这两个菜单是互斥的选择，学生只从其中一个菜单选一份套餐，不能两个都要，所以这里用的是加法原理，而不是乘法原理。把两个菜单各自的选法数目相加即可。

3 + 4 = 7

答案

一共有 $7$ 种选法。对比乘法情境：如果学生要同时选一份饭餐套餐和一杯饮料，两者的选法就该相乘；这里只是从两个独立菜单中选一道菜，所以选法相加。

Q6[3 marks]

用数字 $2, 2, 3$ 和 $5$ ，可以组成多少个不同的 $4$ 位数？

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如果这四个数字全部不同，它们可以排成 $4!$ 种排法。

但数字 $2$ 出现了两次，交换这两个 $2$ 的位置会得到完全相同的数，所以每种排法都被重复算了两次。

4! = 24

除以 $2!$ 以消去两个相同的 $2$ 造成的重复计数：

\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12

答案

一共可以组成 $12$ 个不同的 $4$ 位数。这些数字中没有 $0$ ，所以这 $12$ 种排法全都是有效的 $4$ 位数，不需要剔除任何一种。

Q7[3 marks]

一个盒子里有 $4$ 颗互不相同的红色糖果和 $3$ 颗互不相同的绿色糖果。若要选出 $2$ 颗红色糖果和 $1$ 颗绿色糖果，一共有多少种选法？

Show worked solution

在同一种颜色之中，选取只是组成一组，顺序无关，所以每种颜色分别用组合来计数。选红色糖果和选绿色糖果是两个互不影响的步骤，所以把两个结果相乘（乘法原理）。

{}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{1}

分别算出两个组合，再相乘：

\frac{4!}{2!\,2!} \times \frac{3!}{1!\,2!} = 6 \times 3 = 18

答案

一共有 $18$ 种选法。单看第一个因数即可验证：从 $4$ 颗糖果中选 $2$ 颗得 ${}^{4}C_{2}=6$ 组红色糖果组合，每一组都可以搭配 $3$ 颗绿色糖果中的任一颗，得 $6 \times 3 = 18$ 。

Q8[2 marks]

不使用计算器，求 $\dfrac{8!}{6!}$ 的值。

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把 $8!$ 写成 $8 \times 7 \times 6!$ ，就能与分母的 $6!$

互相抵消，两个阶乘都不必完整算出来。

\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7

8 \times 7 = 56

答案

$\dfrac{8!}{6!} = 56$ 。这与 ${}^{8}P_{2} = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!}$ 的形式相同，所以这个值也等于从 $8$ 个物件中选 $2$ 个来排列的方法数。

看清区分这四题的那一个决定：乘法原理把计数的框架搭好之后，唯一要问的就是顺序是否重要。对 ${}^{n}P_{r}$ 和全排列，顺序重要；对 ${}^{n}C_{r}$ ，顺序无关。

把这个决定判断对，本章大部分容易的分数就会跟着到手。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 排列与组合题都要用到的日常技能。多做练习时，记住以下几点。

当任务分成互不影响的步骤完成时，用乘法原理：把各步骤的选法数目相乘。
把全部 $n$ 个不同物件排成一行，得 $n!$ 种排法。
顺序有关且从 $n$ 中用 $r$ 个时，用 ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ 。
顺序无关时，用 ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ ；每个组合在排列里被数了 $r!$ 次。
选公式前先判断‘顺序重要吗’，这一个问题就把排列和组合分开了。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行正确的公式加清楚的代入仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这里丢分，几乎总是把顺序这个问题判断反了，在排座位的题上用了 ${}^{n}C_{r}$ ，或在选委员会的题上用了 ${}^{n}P_{r}$ 。在一对一的课堂上，我们的老师会停在这个关键判断处，让学生在写任何公式之前先出声说出顺序是否重要。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚道理、而不只给答案的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我怎么知道该用排列还是组合？

问所选物件的顺序重不重要。如果把同样的物件重新排列会产生真正不同的结果，例如一排座位或比赛名次，就用排列 ${}^{n}P_{r}$ 。

如果顺序没有区别，例如委员会成员，就用组合 ${}^{n}C_{r}$ 。

乘法原理到底在说什么？

如果一个任务分步完成而各步骤互不影响，方法总数就是各步骤选法数目的乘积。四种面包、三种馅料、两种酱料，得 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 种三明治。

为什么

{}^{n}C_{r}

比

{}^{n}P_{r}

小？

因为每组 $r$ 个物件可以有 $r!$ 种排序，这些都算作不同的排列，却只算作一个组合。

所以 ${}^{n}C_{r} = \frac{{}^{n}P_{r}}{r!}$ ，当 $r \ge 2$ 时它总是更小。

考试会给

{}^{n}P_{r}

和

{}^{n}C_{r}

的公式吗？

两条公式都印在 SPM 公式页上，所以你不必从零背起。即便如此，把它们记熟能帮你快速选对公式、代入时也不迟疑。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

排列与组合，例题（简单）

这些例题涵盖什么

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关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

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