Contoh Pilih Atur & Gabungan (Mudah)

Q: Mengapa {}^{n}C_{r} lebih kecil daripada {}^{n}P_{r}?

Kerana setiap kumpulan rrr objek boleh disusun dalam r!r!r! cara, yang semuanya dikira sebagai pilih atur berasingan tetapi sebagai satu gabungan sahaja. Jadi nCr=nPrr!{}^{n}C_{r} = \frac{{}^{n}P_{r}}{r!}nCr=r!nPr, yang lebih kecil untuk r≥2r \ge 2r≥2.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pilih Atur dan Gabungan mudah ini membina empat gerak yang membuka seluruh bab: mengira hasil peringkat demi peringkat dengan prinsip pendaraban, menyusun satu set penuh objek berbeza dalam satu baris menggunakan faktorial, menyusun hanya sebahagian daripadanya apabila susunan penting dengan ${}^{n}P_{r}$ , dan memilih satu kumpulan apabila susunan tidak penting dengan ${}^{n}C_{r}$ . Setiap soalan menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda boleh mengikuti setiap baris tanpa bergantung pada kalkulator.

Gunakan set ini secara jujur: tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris. Di tempat kerja anda berbeza daripada kami, cari langkah tepat yang bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan terus tanya satu soalan yang menentukan segalanya dalam bab ini: adakah susunan objek penting?

Jika penting, anda melakukan pilih atur; jika tidak, anda melakukan gabungan.

Q1[2 marks]

Sebuah kedai sandwic membenarkan anda membina satu sandwic dengan memilih satu daripada $4$ roti, satu daripada $3$ inti, dan satu daripada $2$ sos. Berapakah bilangan sandwic berbeza yang mungkin?

Show worked solution

Sandwic dibina dalam tiga peringkat tak bersandar, dan pilihan pada satu peringkat tidak mengubah pilihan pada peringkat lain. Prinsip pendaraban menyatakan bilangan hasil keseluruhan ialah hasil darab bilangan pilihan pada setiap peringkat.

4 \times 3 \times 2 = 24

Jawapan

Terdapat $24$ sandwic berbeza. Semak idea itu peringkat demi peringkat: setiap satu daripada $4$ roti berpasangan dengan $3$ inti untuk memberi $12$ pasangan roti–inti, dan setiap pasangan itu dengan $2$ sos, memberi $12 \times 2 = 24$ .

Q2[2 marks]

Dalam berapa cara $6$ pingat berbeza boleh disusun dalam satu baris pada rak pameran?

Show worked solution

Kesemua enam objek berbeza dan setiap satu digunakan, jadi ini ialah susunan penuh $6$ objek berbeza. Kedudukan pertama boleh diisi dalam $6$ cara, seterusnya $5$ cara, dan begitulah sehingga $1$ ; jumlahnya ialah $6!$

(enam faktorial).

6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

Jawapan

Terdapat $720$ susunan. Perhatikan coraknya: mengisi kedudukan satu demi satu membuang satu pingat setiap kali, jadi bilangannya menurun $6, 5, 4, 3, 2, 1$ dan hasil darabnya ialah $720$ .

Q3[3 marks]

Daripada $6$ buku berbeza, dalam berapa cara $3$ daripadanya boleh disusun dalam satu baris pada rak?

Show worked solution

Di sini susunan penting, susunan berbeza bagi tiga buku yang sama dikira berasingan, tetapi hanya $3$ daripada $6$ buku digunakan. Ini ialah pilih atur $3$ objek dipilih daripada $6$ , ditulis ${}^{6}P_{3}$ .

Given in the exam

{}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}

Gantikan $n=6$ dan $r=3$ :

{}^{6}P_{3} = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120

Jawapan

Terdapat $120$ susunan. Semakan pantas: isi tiga kedudukan rak secara terus, $6$ pilihan, kemudian $5$ , kemudian $4$ , memberi $6 \times 5 \times 4 = 120$ .

Q4[3 marks]

Daripada sebuah kelas $7$ murid, sebuah jawatankuasa $3$ orang hendak dipilih. Dalam berapa cara jawatankuasa itu boleh dibentuk?

Show worked solution

Jawatankuasa hanyalah satu kumpulan, menamakan tiga murid yang sama dalam susunan berbeza tidak membentuk jawatankuasa baharu, jadi susunan tidak penting. Ini ialah gabungan $3$ dipilih daripada $7$ , ditulis ${}^{7}C_{3}$ .

Given in the exam

{}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Gantikan $n=7$ dan $r=3$ :

{}^{7}C_{3} = \frac{7!}{3!\,(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35

Jawapan

Terdapat $35$ jawatankuasa. Semak dengan kiraan bersusun: menyusun $3$ daripada $7$ memberi ${}^{7}P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ , dan setiap jawatankuasa telah dikira $3!= 6$ kali, jadi $210 \div 6 = 35$ .

Q5[2 marks]

Sebuah kantin menawarkan $3$ jenis set nasi atau $4$ jenis set mi untuk makan tengah hari. Seorang murid memilih tepat satu set makanan, sama ada set nasi atau set mi.

Dalam berapa cara murid itu boleh memilih set makanannya?

Show worked solution

Kedua-dua menu itu ialah pilihan yang saling eksklusif, murid memilih satu set makanan daripada satu menu atau menu yang satu lagi, bukan kedua-duanya, jadi ini ialah prinsip penambahan, bukan prinsip pendaraban. Tambahkan bilangan pilihan daripada setiap menu.

3 + 4 = 7

Jawapan

Terdapat $7$ cara untuk memilih set makanan. Bandingkan dengan situasi pendaraban: jika murid itu memilih set nasi DAN minuman, pilihan itu akan didarab; di sini, satu hidangan dipilih daripada dua menu berasingan, jadi pilihan itu ditambah.

Q6[3 marks]

Menggunakan kesemua digit $2, 2, 3$ dan $5$ , berapakah bilangan nombor $4$ -digit berbeza yang boleh dibentuk?

Show worked solution

Jika keempat-empat digit itu berbeza, ia boleh disusun dalam $4!$ cara.

Tetapi digit $2$ muncul dua kali, jadi menukar kedudukan kedua-dua $2$ itu menghasilkan nombor yang sama persis, setiap susunan telah dikira dua kali.

4! = 24

Bahagikan dengan $2!$ untuk membuang kiraan berulang yang disebabkan oleh kedua-dua $2$ yang serupa:

\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12

Jawapan

Terdapat $12$ nombor $4$ -digit berbeza. Tiada satu pun digit itu ialah $0$ , jadi setiap satu daripada $12$ susunan itu ialah nombor $4$ -digit yang sah, tiada susunan perlu dibuang.

Q7[3 marks]

Sebuah kotak mengandungi $4$ gula-gula merah berbeza dan $3$ gula-gula hijau berbeza. Dalam berapa cara satu pilihan $2$ gula-gula merah dan $1$ gula-gula hijau boleh dibuat?

Show worked solution

Dalam setiap warna, satu pilihan hanyalah satu kumpulan, susunan tidak penting, jadi guna gabungan bagi setiap warna secara berasingan. Memilih gula-gula merah dan memilih gula-gula hijau ialah peringkat tak bersandar, jadi darabkan kedua-dua kiraan itu (prinsip pendaraban).

{}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{1}

Nilaikan setiap gabungan, kemudian darabkan:

\frac{4!}{2!\,2!} \times \frac{3!}{1!\,2!} = 6 \times 3 = 18

Jawapan

Terdapat $18$ cara untuk membuat pilihan itu. Semak faktor pertama sahaja: memilih $2$ gula-gula daripada $4$ memberi ${}^{4}C_{2}=6$ pasangan gula-gula merah, dan setiap pasangan boleh berpadanan dengan mana-mana $3$ gula-gula hijau, memberi $6 \times 3 = 18$ .

Q8[2 marks]

Tanpa menggunakan kalkulator, nilaikan $\dfrac{8!}{6!}$ .

Show worked solution

Menulis $8!$ sebagai $8 \times 7 \times 6!$

membolehkan faktor sepunya $6!$ dibatalkan dengan $6!$

pada penyebut, jadi tiada satu pun faktorial perlu dikira sepenuhnya.

\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7

8 \times 7 = 56

Jawapan

$\dfrac{8!}{6!} = 56$ . Ini corak yang sama seperti ${}^{8}P_{2} = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!}$ , jadi nilai itu juga sama dengan bilangan cara menyusun $2$ objek yang dipilih daripada $8$ .

Lihat satu keputusan yang memisahkan keempat-empat ini: selepas prinsip pendaraban menyediakan kiraan, satu-satunya soalan ialah sama ada susunan penting. Susunan penting bagi ${}^{n}P_{r}$ dan bagi susunan penuh; ia tidak penting bagi ${}^{n}C_{r}$ .

Betulkan keputusan itu dan kebanyakan markah mudah dalam bab ini akan menyusul.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran harian yang membuka hampir setiap soalan Pilih Atur dan Gabungan dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Guna prinsip pendaraban apabila tugasan dilakukan dalam peringkat tak bersandar: darabkan bilangan pilihan pada setiap peringkat.
Menyusun semua $n$ objek berbeza dalam satu baris memberi $n!$ susunan.
Apabila susunan penting dan anda guna $r$ daripada $n$ objek, guna ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ .
Apabila susunan tidak penting, guna ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ ; setiap gabungan dikira $r!$ kali dalam kalangan pilih atur.
Tentukan ‘adakah susunan penting?’ sebelum memilih rumus, satu soalan itu mengasingkan pilih atur daripada gabungan.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris rumus yang betul dengan penggantian yang jelas boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah di sini, hampir selalu soalan susunan dijawab dengan cara yang salah, menggunakan ${}^{n}C_{r}$ pada masalah tempat duduk, atau ${}^{n}P_{r}$ pada jawatankuasa. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami berhenti pada keputusan tepat itu dan meminta pelajar menyebut dengan kuat sama ada susunan penting sebelum sebarang rumus ditulis.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan penaakulan, bukan sekadar jawapan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-duanya.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu sama ada hendak guna pilih atur atau gabungan?

Tanya sama ada susunan objek yang dipilih itu penting. Jika menyusun semula objek yang sama menghasilkan hasil yang benar-benar berbeza, seperti tempat duduk dalam satu baris atau kedudukan dalam perlumbaan, guna pilih atur ${}^{n}P_{r}$ .

Jika susunan tidak membezakan apa-apa, seperti ahli jawatankuasa, guna gabungan ${}^{n}C_{r}$ .

Apa sebenarnya yang dinyatakan oleh prinsip pendaraban?

Jika sesuatu tugasan dilakukan dalam peringkat dan peringkat itu tak bersandar, jumlah bilangan cara ialah hasil darab bilangan pilihan pada setiap peringkat. Empat roti, tiga inti dan dua sos memberi $4 \times 3 \times 2 = 24$ sandwic.

Mengapa

{}^{n}C_{r}

lebih kecil daripada

{}^{n}P_{r}

Kerana setiap kumpulan $r$ objek boleh disusun dalam $r!$ cara, yang semuanya dikira sebagai pilih atur berasingan tetapi sebagai satu gabungan sahaja.

Jadi ${}^{n}C_{r} = \frac{{}^{n}P_{r}}{r!}$ , yang lebih kecil untuk $r \ge 2$ .

Adakah rumus

{}^{n}P_{r}

dan

{}^{n}C_{r}

diberi dalam peperiksaan?

Kedua-dua rumus muncul pada senarai rumus SPM, jadi anda tidak perlu menghafalnya dari kosong. Walaupun begitu, mengetahuinya dengan baik membantu anda memilih yang betul dengan pantas dan menggantikan tanpa teragak-agak.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pilih Atur dan Gabungan, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?