排列与组合练习题

Q: 怎样区分排列和组合？

问自己顺序是否重要。如果是排成一行，或填补像主席、秘书这样分级的职位，顺序重要，用 nPr{}^{n}P_{r}nPr。如果只是选出一组、无人担任特殊角色，顺序不重要，用 nCr{}^{n}C_{r}nCr。

Q: 必须相邻的字母该怎么处理？

把它们粘成一个块，先数由此得到的各单元的排法，再乘以块内部字母的排法数目。三个字母相邻时，内部因子是 3!=63!=63!=6。

Q: 计数题里的「至少」是什么意思？

它指从所说的最小值往上的每一种情况。列出每一种符合条件的情况，用组合计数，再把结果相加。情况很多时，往往先算总数、再减去不需要的情况更快。

Q: 0! 真的等于 1 吗？

是的。按定义 0!=10!=10!=1，这样才能使 nC0=1{}^{n}C_{0}=1nC0=1 与 nCn=1{}^{n}C_{n}=1nCn=1 保持一致，选取「什么都不选」恰好有一种方式，选取「全部」也只有一种方式。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从单次有序选取，一直到需要分几种情况的「至少」型委员会问题，逐题加深。每题给自己大约四到七分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，先判断顺序是否重要，再写出 ${}^{n}P_{r}$ 或 ${}^{n}C_{r}$ ，代入，写出个数。

忍住偷看的冲动。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使算术出错，正确的列式仍能拿分，所以在按计算器之前，务必先写出你正在计算的排列或组合。

六道练习题

Q1[2 marks]

某俱乐部有 $7$ 名成员。要选出一名主席和一名秘书，且没有成员可同时担任两职。

有多少种选法？

Show worked solution

两个职位不同，所以顺序重要，这是排列。由乘法原理，主席有 $7$ 种选择，秘书则有 $6$ 种，即 ${}^{7}P_{2}$ ：

{}^{7}P_{2}=\frac{7!}{(7-2)!}=\frac{7!}{5!}=7\times 6=42

答案

共有 $42$ 种。直接用乘法原理检验：选主席有 $7$ 种，剩下选秘书有 $6$ 种，得 $7\times 6=42$ 。

Q2[3 marks]

求单词 $\text{PLANT}$ 全部 $5$ 个字母排成一行的不同排法数目。（五个字母互不相同。）

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把全部 $n$ 个不同的对象排成一行有 $n!$ 种排法。

$5$ 个不同字母，即 $n=5$ ：

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120

答案

共有 $120$ 种排法。用乘法原理检验：第一个字母有 $5$ 种选择，第二个有 $4$ 种，依此类推， $5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ 。

Q3[3 marks]

要从 $8$ 名学生中选出 $3$ 人组成委员会。有多少种组法？

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委员会没有分级职位，所以顺序不重要，这是组合， ${}^{n}C_{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ 。

代入 $n=8$ 、 $r=3$ ：

{}^{8}C_{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\frac{336}{6}=56

答案

共有 $56$ 个委员会。检验： ${}^{8}C_{3}={}^{8}C_{5}$ ，两者都等于 $56$ ，这是一个好用的对称性检验。

Q4[4 marks]

求单词 $\text{NATURE}$ 全部 $6$ 个字母排成一行，且三个元音 $(A, U, E)$ 始终相邻的排法数目。（六个字母互不相同。）

Show worked solution

把三个元音当作一个整体（一个块）以保持相邻。这个块连同三个辅音 $N$ 、 $T$ 、 $R$ ，共 $4$ 个单元排成一行：

4!=24 \quad\text{种单元排法}

在块内部，三个元音自身可以有 $3!$ 种排法。

把两个个数相乘：

4!\times 3!=24\times 6=144

答案

共有 $144$ 种排法。关键思路是：「必须相邻」的限制把几个对象变成一个块，然后你再在块内部重新排列。

Q5[4 marks]

要从 $5$ 名男生和 $3$ 名女生中选出 $4$ 人组队。若队伍必须恰好包含 $2$ 名男生和 $2$ 名女生，有多少种选法？

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由于两次选取互相独立，分别选男生和女生，再相乘。从 $5$ 名男生中选 $2$ 名，从 $3$ 名女生中选 $2$ 名：

{}^{5}C_{2}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10 \qquad {}^{3}C_{2}=\frac{3\times 2}{2\times 1}=3

{}^{5}C_{2}\times{}^{3}C_{2}=10\times 3=30

答案

共有 $30$ 支队伍。由于队伍不讲顺序，每一部分都是组合，而互相独立的选取由乘法原理相乘。

Q6[5 marks]

要从 $6$ 名男士和 $4$ 名女士中组成一个 $4$ 人委员会。求至少含 $3$ 名男士的委员会数目。

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在 $4$ 人委员会中「至少 $3$ 名男士」意味着：恰好 $3$ 名男士（与 $1$ 名女士），或恰好 $4$ 名男士（与 $0$ 名女士）。分别计数，再相加。

恰好 $3$ 名男士：

{}^{6}C_{3}\times{}^{4}C_{1}=20\times 4=80

恰好 $4$ 名男士（故不选女士，且 ${}^{4}C_{0}=1$ ）：

{}^{6}C_{4}\times{}^{4}C_{0}=15\times 1=15

两种情况不能同时发生，所以相加：

80+15=95

答案

共有 $95$ 个委员会。检验各部分： ${}^{6}C_{3}=20$ 、 ${}^{6}C_{4}=15$ 、 ${}^{4}C_{1}=4$ 、 ${}^{4}C_{0}=1$ ；两种情况相加得 $80+15=95$ 。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看关于顺序的判断是否正确、列式是否正确、最终个数是否清楚。

判断分：你是否正确判断顺序是否重要，分级职位或排队用排列 ${}^{n}P_{r}$ ，无序选取用组合 ${}^{n}C_{r}$ ？
列式分：在代入任何数字之前，是否先写出表达式，并放对了 $n$ 与 $r$ ？
对「相邻」限制：你是否把它们组成一个块，对单元计 $k!$ ，再乘以块内部的排法？
对「至少」问题：你是否列出了每一种符合条件的情况并相加（或从总数中减去不需要的情况）？
答案分：最终的整数是否清楚写出？计数不可能是分数，所以任何非整数答案都提示有错误要找出来。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，职位其实分级却用了组合、「相邻」块忘了乘内部的 $3!$ ，或某个「至少」的情况被悄悄漏掉，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是能讲清楚为什么这题看顺序、下一题却不看的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎样区分排列和组合？

问自己顺序是否重要。如果是排成一行，或填补像主席、秘书这样分级的职位，顺序重要，用 ${}^{n}P_{r}$ 。

如果只是选出一组、无人担任特殊角色，顺序不重要，用 ${}^{n}C_{r}$ 。

必须相邻的字母该怎么处理？

把它们粘成一个块，先数由此得到的各单元的排法，再乘以块内部字母的排法数目。三个字母相邻时，内部因子是 $3!=6$ 。

计数题里的「至少」是什么意思？

它指从所说的最小值往上的每一种情况。列出每一种符合条件的情况，用组合计数，再把结果相加。

情况很多时，往往先算总数、再减去不需要的情况更快。

0!

真的等于

1

吗？

是的。按定义 $0!=1$ ，这样才能使 ${}^{n}C_{0}=1$ 与 ${}^{n}C_{n}=1$ 保持一致，选取「什么都不选」恰好有一种方式，选取「全部」也只有一种方式。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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