Pilih Atur & Gabungan Latihan

Q: Adakah 0! benar-benar 1?

Ya. Mengikut takrif 0!=10!=10!=1, yang mengekalkan nC0=1{}^{n}C_{0}=1nC0=1 dan nCn=1{}^{n}C_{n}=1nCn=1 konsisten, terdapat tepat satu cara untuk memilih tiada apa-apa, dan satu cara untuk memilih semuanya.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada satu pilihan berturutan hingga jawatankuasa $\text{``sekurang-kurangnya''}$ yang memerlukan beberapa kes. Beri diri anda kira-kira empat hingga tujuh minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, mula-mula tentukan sama ada susunan penting, kemudian petik ${}^{n}P_{r}$ atau ${}^{n}C_{r}$ , gantikan, dan nyatakan bilangannya.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, penetapan yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir, jadi sentiasa tulis pilih atur atau gabungan yang sedang dikira sebelum anda mencapai kalkulator.

Enam soalan latihan

Q1[2 marks]

Sebuah kelab mempunyai $7$ ahli. Seorang presiden dan seorang setiausaha hendak dipilih, dan tiada ahli boleh memegang kedua-dua jawatan.

Dalam berapa cara ini boleh dilakukan?

Show worked solution

Kedua-dua jawatan berbeza, jadi susunan penting dan ini ialah pilih atur. Melalui prinsip pendaraban terdapat $7$ pilihan untuk presiden dan kemudian $6$ untuk setiausaha, iaitu ${}^{7}P_{2}$ :

{}^{7}P_{2}=\frac{7!}{(7-2)!}=\frac{7!}{5!}=7\times 6=42

Jawapan

Terdapat $42$ cara. Semak dengan prinsip pendaraban terus: $7$ cara memilih presiden, $6$ cara berbaki untuk setiausaha, memberi $7\times 6=42$ .

Q2[3 marks]

Cari bilangan susunan berbeza bagi kesemua $5$ huruf perkataan $\text{PLANT}$ dalam satu baris. (Kelima-lima huruf berlainan.)

Show worked solution

Menyusun kesemua $n$ objek berbeza dalam satu baris memberi $n!$ susunan.

Dengan $5$ huruf berlainan, $n=5$ :

5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120

Jawapan

Terdapat $120$ susunan. Semak melalui prinsip pendaraban: $5$ pilihan untuk huruf pertama, $4$ untuk kedua, dan seterusnya, $5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$ .

Q3[3 marks]

Sebuah jawatankuasa $3$ orang hendak dipilih daripada $8$ pelajar. Dalam berapa cara jawatankuasa itu boleh dibentuk?

Show worked solution

Jawatankuasa tiada jawatan berpangkat, jadi susunan tidak penting dan ini ialah gabungan, ${}^{n}C_{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Gantikan $n=8$ , $r=3$ :

{}^{8}C_{3}=\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\frac{336}{6}=56

Jawapan

Terdapat $56$ jawatankuasa. Semak: ${}^{8}C_{3}={}^{8}C_{5}$ , dan kedua-duanya sama dengan $56$ , suatu semakan simetri yang berguna untuk aritmetik.

Q4[4 marks]

Cari bilangan susunan bagi kesemua $6$ huruf perkataan $\text{NATURE}$ dalam satu baris supaya tiga huruf vokal $(A, U, E)$ sentiasa bersebelahan. (Kesemua enam huruf berlainan.)

Show worked solution

Kekalkan tiga vokal itu bersama dengan menganggapnya sebagai satu blok. Blok itu, bersama tiga konsonan $N$ , $T$ , $R$ , membentuk $4$ unit untuk disusun dalam satu baris:

4!=24 \quad\text{cara menyusun unit}

Dalam blok itu, tiga vokal boleh disusun dalam $3!$ cara.

Darabkan kedua-dua bilangan:

4!\times 3!=24\times 6=144

Jawapan

Terdapat $144$ susunan. Idea utamanya ialah sekatan $\text{``mesti bersama''}$ menjadikan beberapa objek satu blok, kemudian anda menyusun semula di dalam blok itu.

Q5[4 marks]

Sebuah pasukan $4$ orang hendak dipilih daripada $5$ lelaki dan $3$ perempuan. Dalam berapa cara pasukan itu boleh dipilih jika ia mesti mengandungi tepat $2$ lelaki dan $2$ perempuan?

Show worked solution

Pilih lelaki dan perempuan secara berasingan, kerana kedua-dua pemilihan tidak bersandar, kemudian darab. Pilih $2$ lelaki daripada $5$ dan $2$ perempuan daripada $3$ :

{}^{5}C_{2}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10 \qquad {}^{3}C_{2}=\frac{3\times 2}{2\times 1}=3

{}^{5}C_{2}\times{}^{3}C_{2}=10\times 3=30

Jawapan

Terdapat $30$ pasukan. Oleh sebab pasukan tidak berturutan, setiap bahagian ialah gabungan, dan pilihan tak bersandar didarabkan bersama melalui prinsip pendaraban.

Q6[5 marks]

Sebuah jawatankuasa $4$ orang hendak dibentuk daripada $6$ lelaki dan $4$ perempuan. Cari bilangan jawatankuasa yang mengandungi sekurang-kurangnya $3$ lelaki.

Show worked solution

$\text{``Sekurang-kurangnya }3\text{ lelaki''}$ daripada jawatankuasa $4$ orang bermaksud sama ada tepat $3$ lelaki (dan $1$ perempuan) atau tepat $4$ lelaki (dan $0$ perempuan). Kira setiap kes, kemudian tambah.

Tepat $3$ lelaki:

{}^{6}C_{3}\times{}^{4}C_{1}=20\times 4=80

Tepat $4$ lelaki (jadi tiada perempuan dipilih, dan ${}^{4}C_{0}=1$ ):

{}^{6}C_{4}\times{}^{4}C_{0}=15\times 1=15

Kedua-dua kes tidak boleh berlaku serentak, jadi tambahkannya:

80+15=95

Jawapan

Terdapat $95$ jawatankuasa. Semak bahagiannya: ${}^{6}C_{3}=20$ , ${}^{6}C_{4}=15$ , ${}^{4}C_{1}=4$ dan ${}^{4}C_{0}=1$ ; menambah kedua-dua kes memberi $80+15=95$ .

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari keputusan yang betul tentang susunan, penetapan yang tepat, dan bilangan akhir yang jelas.

Markah keputusan: adakah anda menentukan dengan betul sama ada susunan penting, pilih atur ${}^{n}P_{r}$ bagi jawatan berpangkat atau susunan, gabungan ${}^{n}C_{r}$ bagi pemilihan tidak berturutan?
Markah penetapan: adakah ungkapan ditulis sebelum sebarang nombor dikira, dengan $n$ dan $r$ yang betul di tempatnya?
Bagi sekatan $\text{``bersama''}$ : adakah anda membentuk satu blok, mengira $k!$ bagi unit, dan mendarab dengan susunan dalaman?
Bagi soalan $\text{``sekurang-kurangnya''}$ : adakah anda menyenaraikan setiap kes yang layak dan menambahnya (atau menolak kes yang tidak dikehendaki daripada jumlah)?
Markah jawapan: adakah nombor bulat akhir dinyatakan dengan jelas? Suatu bilangan tidak boleh menjadi pecahan, jadi jawapan bukan integer menandakan kesilapan yang perlu dicari.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, gabungan digunakan sedangkan jawatan sebenarnya berpangkat, blok $\text{``bersama''}$ yang terlupa $3!$

dalamannya, atau kes $\text{``sekurang-kurangnya''}$ yang senyap tertinggal, dan membetulkan tabiat itu serta-merta. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa susunan penting dalam satu soalan dan tidak dalam yang lain.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membezakan pilih atur daripada gabungan?

Tanya sama ada susunan penting. Jika menyusun dalam satu baris, atau mengisi jawatan berpangkat seperti presiden dan setiausaha, susunan penting dan anda guna ${}^{n}P_{r}$ .

Jika anda hanya memilih satu kumpulan di mana tiada sesiapa mempunyai peranan khas, susunan tidak penting dan anda guna ${}^{n}C_{r}$ .

Bagaimana saya mengendalikan huruf yang mesti kekal bersama?

Cantumkannya menjadi satu blok dan kira susunan unit yang terhasil, kemudian darab dengan bilangan cara menyusun huruf di dalam blok itu. Bagi tiga huruf yang dikekalkan bersama, faktor dalaman itu ialah $3!=6$ .

Apakah maksud

\text{``sekurang-kurangnya''}

dalam soalan pembilangan?

Ia bermaksud setiap kes dari minimum yang dinyatakan ke atas. Senaraikan setiap kes yang layak, kira dengan gabungan, dan tambahkan hasilnya.

Apabila terdapat banyak kes, selalunya lebih pantas mengira jumlah dan menolak kes yang tidak dikehendaki.

Adakah

0!

benar-benar

1

Ya. Mengikut takrif $0!=1$ , yang mengekalkan ${}^{n}C_{0}=1$ dan ${}^{n}C_{n}=1$ konsisten, terdapat tepat satu cara untuk memilih tiada apa-apa, dan satu cara untuk memilih semuanya.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pilih Atur dan Gabungan, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?