例题 · 线性规划
线性规划，例题（简单）
这组简单的线性规划例题带你演练本章的日常动作：把文字条件化为不等式、代入一点判断区域落在直线哪一侧，以及直接在顶点读出目标函数 的最大值或最小值。请先在纸上做每一题，再逐行对照我们的完整解答。
这些例题涵盖什么
这组简单的线性规划例题帮你打好整章赖以立足的三个习惯：把文字条件化为正确的不等式、判断一个区域落在某条直线的哪一侧，以及直接从顶点读出目标函数的最大值或最小值。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。
最好的用法是先把解答盖住，在纸上把题目完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。
把区域随手画一张不必按比例的草图，就能把不等式和顶点在脑中理清。
例题解析
四题按顺序全部做完。前两题建立本章的语言，不等式与区域，后两题则展示回报：一旦知道区域的顶点，最优答案只差几次代入。
一家工坊一周制作 张木椅与 张木桌。请为下列每个条件写出一个不等式。
(a) 至少制作 10 张椅子。(b) 制作的桌子不超过 8 张。
(c) 物件总数最多 20 件。(d) 椅子数量至少是桌子数量的两倍。
Show worked solution
一句一句地翻译，关键在于把措辞对应到符号：「至少」表示 ，「不超过」与「最多」都表示 ，「两倍」表示乘以 。
(a)「至少 10 张椅子」为 设下下限：
(b)「桌子不超过 8 张」为 设下上限：
(c)「物件总数最多 20 件」把两个量相加并加以限制：
(d)「椅子数量至少是桌子数量的两倍」表示 必须达到或超过 ：
答案
四个不等式是 、、 与 。再加上自然条件 与 ，椅子和桌子不可能为负，这些直线便围出这家工坊的区域。
直线 把平面分成两个区域。请通过代入原点，判断由 所描述的区域是否包含原点，并说明该区域落在直线的哪一侧。
Show worked solution
要判断一个不等式描述的是哪一侧，就代入一个不在直线上的点的坐标。只要直线不经过原点，原点 就是最省事的选择。
现在把这个值与不等式 比较。由于 并不大于或等于 ，原点不满足这个不等式。
答案
原点不在区域内。所以 是直线 远离原点的那一侧，右上方。
涂阴影时，要把边界线本身也包含进去，因为不等式用的是 而不是严格的 。
某可行区域的顶点为 、、 与 。目标函数为 。
求 的最大值以及它出现的位置。
Show worked solution
线性目标函数在直边区域上的最大值（与最小值）总是落在顶点。因此把 逐个代入每个顶点，再比较结果。
比较这四个值，最大的是 。
答案
最大值为 ，出现在 。快速检验： 的 与 都不小，而 对两者都给予奖励，所以它胜过落在坐标轴上的那些顶点。
某成本问题的阴影可行区域顶点为 、 与 。成本（以令吉计）为 。
求使成本最小的点，并说明该成本。
Show worked solution
最小成本与最大利润一样，都在区域的顶点处取得。把每个顶点代入 。
三个成本中最小的是 。
答案
最小成本为 ，在 。留意最便宜的顶点是最靠近原点的那个，这很合理，因为 会随 与 增大而增大。
在一个线性规划问题中，某个约束由直线 表示。求这条直线与 轴以及 轴相交的点的坐标。
Show worked solution
直线与 轴相交时 ，与 轴相交时 。依次代入即可。
所以直线与 轴的交点是 。
答案
直线 与 轴相交于 ，与 轴相交于 。检验：，，两者都正确。
某可行区域由约束 、 与 定义。判断点 是否落在这个可行区域内。
Show worked solution
要判断一个点是否落在可行区域内，把它的坐标代入每一个约束，逐一检查是否成立。
由于 ，第一个约束成立。
由于 ，第二个约束 也成立。第三个约束 同样成立，因为 。
答案
三个约束都成立，所以 落在可行区域内。像这样逐一代入每个约束做一次快速检验，就足以确认一个候选点，之后才需要去比较各个顶点。
某线性规划问题的目标函数为 ，其中 为常数。已知 的最大值为 ，出现在点 ，求 的值。
Show worked solution
的最大值出现在 ，因此把 、 与 代入目标函数。
化简并求解 。
答案
的值为 。检验：当 时，，与所给的最大值相符。
某目标函数为 。把这个方程改写成 的形式，说明当 取不同数值时， 所代表的这组平行直线的斜率。
Show worked solution
把目标函数重新排列，使 成为主项，暂时把 当作常数处理。
把这个式子与 比较， 的系数就是斜率。
答案
斜率为 。这个值不受 影响，这正是为什么 这组直线彼此平行，随着 改变的只有 轴截距 。
四道题贯穿的纪律都一样：把条件读准、一次写一行干净的算式，让顶点去挑重担。正是这份稳定，把线性规划变成一整块可靠的分数，而不是粗心失误的温床。
关键方法要点
这四道例题演练的是几乎每道 Add Math 线性规划题都要用到的动作。多做练习时，记住以下几点。
- 把措辞对应到符号：「至少」是 ；「最多」与「不超过」是 ；「两倍」乘以 。
- 当 与 是数量或实物量时，补上自然条件 与 。
- 要判断区域落在直线哪一侧，就把一点，原点最省事，代入不等式。
- 当不等式是 或 时边界被包含（实线），当它是严格的 或 时边界不包含（虚线）。
- 线性目标函数 的最大值与最小值总是出现在可行区域的顶点。
- 在每个顶点求目标函数值再比较：最大的是最大值，最小的是最小值。
- 由于采用分析式评分，即使某一行算术出错，每个顶点一行清楚的代入仍能拿到方法分。
老师如何帮忙
学生在这里丢分，很少是大概念出错，多半是某句读得太快，把「至少」写成了 ，或比较时漏掉了一个顶点。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。
我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么最优值一定落在顶点」而不只是「怎么去代入」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。
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预约试课常见问题
我该如何在 与 之间选择？
读关键措辞。「至少」「最少」「不少于」都表示 ；「最多」「不超过」「至多」都表示 。
如果某个量必须作为一个计数存在，还要补上 与 。
为什么最优值总是出现在顶点？
线性目标函数 在整个区域上以恒定速率变化，所以它的极值被推到边界上，而在直边区域里，边界上最极端的点就是顶点。这就是为什么检查每个顶点就足够了。
我是否总要写上 与 ？
当 与 是计数或实物量（不能为负）时就要写上。题目也许没用文字说明，但这些条件是模型的一部分，会决定区域的形状。
如果两个顶点给出相同的目标函数值怎么办？
那么这两个顶点，事实上连接它们那条边上的每一点，都给出同一个最优值。你可以把任一顶点作为答案；真正得分的是那个数值。
来源:SRC-DSKP-EN