Pengaturcaraan Linear Contoh Kerja (Mudah)

Q: Mengapa nilai terbaik sentiasa berlaku pada bucu?

Fungsi objektif linear k=ax+byk=ax+byk=ax+by berubah pada kadar tetap merentasi rantau, jadi nilai melampaunya ditolak ke sempadan, dan pada rantau bertepi lurus titik sempadan paling melampau ialah bucu. Itulah sebabnya menyemak setiap bucu sudah memadai.

Q: Adakah saya sentiasa memasukkan x\ge 0 dan y\ge 0?

Masukkannya apabila xxx dan yyy ialah bilangan atau amaun fizikal, yang tidak boleh negatif. Soalan mungkin tidak menyatakannya dengan perkataan, tetapi syarat ini sebahagian daripada model dan membentuk rantau.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pengaturcaraan Linear mudah ini membina tiga tabiat yang menjadi asas seluruh bab: menukar syarat berayat kepada ketaksamaan yang betul, menentukan sebelah mana garis suatu rantau berada, dan membaca nilai terbesar atau terkecil bagi fungsi objektif terus daripada titik bucu. Setiap contoh menggunakan nombor kecil dan kemas, supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, kerjakan soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami. Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar menunggu.

Lakaran ringkas rantau itu, tanpa mengikut skala tertentu, membantu mengemaskan ketaksamaan dan bucu dalam fikiran anda.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya mengikut susunan. Dua yang pertama membina bahasa bab ini, ketaksamaan dan rantau, manakala dua yang terakhir menunjukkan ganjarannya: setelah bucu suatu rantau diketahui, jawapan terbaik hanya beberapa penggantian sahaja jauhnya.

Q1[4 marks]

Sebuah bengkel membuat $x$ kerusi kayu dan $y$ meja kayu dalam seminggu. Tulis satu ketaksamaan bagi setiap syarat di bawah.

(a) Sekurang-kurangnya 10 kerusi dibuat. (b) Tidak lebih daripada 8 meja dibuat.

Show worked solution

Terjemahkan setiap ayat satu frasa pada satu masa. Kuncinya ialah memadankan perkataan dengan simbol: 'sekurang-kurangnya' bermaksud $\ge$ , manakala 'tidak lebih daripada' dan 'paling banyak' kedua-duanya bermaksud $\le$ , dan 'dua kali' bermaksud darab dengan $2$ .

(a) 'Sekurang-kurangnya 10 kerusi' menetapkan had bawah pada $x$ :

x\ge 10

(b) 'Tidak lebih daripada 8 meja' menetapkan had atas pada $y$ :

y\le 8

x+y\le 20

(d) 'Bilangan kerusi sekurang-kurangnya dua kali bilangan meja' bermaksud $x$ mesti mencapai atau melebihi $2y$ :

x\ge 2y

Jawapan

Empat ketaksamaan itu ialah $x\ge 10$ , $y\le 8$ , $x+y\le 20$ dan $x\ge 2y$ . Bersama syarat semula jadi $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ , kerusi dan meja tidak boleh negatif, garis-garis ini akan mengehadkan rantau bagi bengkel tersebut.

Q2[3 marks]

Garis lurus $x+2y=8$ membahagi satah kepada dua rantau. Dengan menguji asalan, tentukan sama ada rantau yang diwakili oleh $x+2y\ge 8$ mengandungi asalan, dan nyatakan di sebelah mana garis itu rantau tersebut berada.

Show worked solution

Untuk mencari sebelah mana garis suatu ketaksamaan mewakili, gantikan koordinat satu titik yang tidak berada pada garis. Asalan $(0,0)$ ialah pilihan termudah apabila garis tidak melalui asalan.

x+2y=0+2(0)=0

Sekarang bandingkan nilai ini dengan ketaksamaan $x+2y\ge 8$ . Oleh sebab $0$ tidak lebih besar daripada atau sama dengan $8$ , asalan tidak memenuhi ketaksamaan itu.

Jawapan

Asalan tidak terletak dalam rantau. Jadi $x+2y\ge 8$ ialah sebelah garis $x+2y=8$ yang jauh daripada asalan, sebelah atas-kanan.

Semasa melorek, kekalkan garis sempadan itu sendiri, kerana ketaksamaan menggunakan $\ge$ dan bukan $>$ tegas.

Q3[3 marks]

Suatu rantau tersaur mempunyai titik bucu $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(4,3)$ dan $D(0,5)$ . Fungsi objektifnya ialah $k=2x+3y$ .

Cari nilai maksimum $k$ dan titik tempat ia berlaku.

Show worked solution

Nilai maksimum (dan minimum) bagi fungsi objektif linear atas rantau bertepi lurus sentiasa berada pada titik bucu. Maka nilaikan $k=2x+3y$ pada setiap bucu secara bergilir dan bandingkan hasilnya.

\text{Di } A(0,0):\quad k=2(0)+3(0)=0

\text{Di } B(6,0):\quad k=2(6)+3(0)=12

\text{Di } C(4,3):\quad k=2(4)+3(3)=8+9=17

\text{Di } D(0,5):\quad k=2(0)+3(5)=15

Membandingkan empat nilai itu, yang terbesar ialah $17$ .

Jawapan

Nilai maksimum ialah $k=17$ , berlaku di $C(4,3)$ . Semakan ringkas: $C$ membawa $x$ dan $y$ yang sihat, dan kerana $k$ memberi ganjaran kepada kedua-duanya, ia mengatasi bucu yang terletak pada paksi.

Q4[3 marks]

Rantau tersaur berlorek bagi suatu masalah kos mempunyai titik bucu $P(2,6)$ , $Q(8,2)$ dan $R(3,1)$ . Kos, dalam ringgit, ialah $C=4x+5y$ .

Cari titik yang memberi kos minimum dan nyatakan kos itu.

Show worked solution

Kos minimum, sama seperti untung maksimum, dicari pada bucu rantau. Gantikan setiap bucu ke dalam $C=4x+5y$ .

\text{Di } P(2,6):\quad C=4(2)+5(6)=8+30=38

\text{Di } Q(8,2):\quad C=4(8)+5(2)=32+10=42

\text{Di } R(3,1):\quad C=4(3)+5(1)=12+5=17

Yang terkecil daripada tiga kos itu ialah $17$ .

Jawapan

Kos minimum ialah $C=\text{RM}\,17$ di $R(3,1)$ . Perhatikan bahawa bucu termurah ialah yang paling hampir dengan asalan, yang masuk akal kerana $C$ bertambah apabila $x$ dan $y$ bertambah.

Q5[2 marks]

Satu kekangan dalam masalah pengaturcaraan linear diwakili oleh garis lurus $3x+4y=24$ . Cari koordinat titik tempat garis ini memotong paksi- $x$ dan paksi- $y$ .

Show worked solution

Garis memotong paksi- $x$ apabila $y=0$ , dan memotong paksi- $y$ apabila $x=0$ . Gantikan setiap nilai secara bergilir.

y=0:\quad 3x=24\quad\Rightarrow\quad x=8

Jadi garis itu memotong paksi- $x$ di $(8,0)$ .

x=0:\quad 4y=24\quad\Rightarrow\quad y=6

Jawapan

Garis $3x+4y=24$ memotong paksi- $x$ di $(8,0)$ dan paksi- $y$ di $(0,6)$ . Semakan: $3(8)+4(0)=24$ dan $3(0)+4(6)=24$ , kedua-duanya betul.

Q6[3 marks]

Suatu rantau tersaur ditakrifkan oleh kekangan $x+y\le 10$ , $y\le 2x$ dan $x\ge 1$ . Tentukan sama ada titik $(3,5)$ terletak dalam rantau tersaur itu.

Show worked solution

Untuk menguji sama ada satu titik terletak dalam rantau tersaur, gantikan koordinatnya ke dalam setiap kekangan dan semak sama ada setiap satu dipenuhi.

x+y=3+5=8

Oleh sebab $8\le 10$ , kekangan pertama dipenuhi.

y=5,\quad 2x=2(3)=6

Oleh sebab $5\le 6$ , kekangan kedua $y\le 2x$ turut dipenuhi. Kekangan ketiga $x\ge 1$ juga dipenuhi, kerana $3\ge 1$ .

Jawapan

Ketiga-tiga kekangan dipenuhi, jadi $(3,5)$ terletak dalam rantau tersaur. Semakan pantas sebegini, satu penggantian bagi setiap kekangan, sudah memadai untuk mengesahkan satu titik calon sebelum anda beralih kepada bucu.

Q7[3 marks]

Fungsi objektif bagi suatu masalah pengaturcaraan linear ialah $k=ax+4y$ , dengan $a$ ialah pemalar. Diberi nilai maksimum $k$ ialah $32$ dan ia berlaku di titik $(4,4)$ , cari nilai $a$ .

Show worked solution

Nilai maksimum $k$ berlaku di $(4,4)$ , maka gantikan $x=4$ , $y=4$ dan $k=32$ ke dalam fungsi objektif.

32=a(4)+4(4)

Permudahkan dan selesaikan bagi $a$ .

32=4a+16\quad\Rightarrow\quad 4a=16\quad\Rightarrow\quad a=4

Jawapan

Nilai $a$ ialah $4$ . Semakan: dengan $a=4$ , $k=4(4)+4(4)=16+16=32$ , sepadan dengan nilai maksimum yang diberi.

Q8[2 marks]

Suatu fungsi objektif diberikan oleh $k=3x+2y$ . Dengan menulis persamaan ini dalam bentuk $y=mx+c$ , nyatakan kecerunan bagi keluarga garis selari yang diwakili oleh $k=3x+2y$ apabila $k$ mengambil nilai yang berlainan.

Show worked solution

Susun semula fungsi objektif supaya $y$ menjadi objek, dengan menganggap $k$ sebagai pemalar buat sementara.

2y=-3x+k

y=-\frac{3}{2}x+\frac{k}{2}

Bandingkan ini dengan $y=mx+c$ ; pekali $x$ memberikan kecerunan.

Jawapan

Kecerunannya ialah $-\frac{3}{2}$ . Nilai ini tidak bergantung kepada $k$ , dan itulah sebabnya setiap garis dalam keluarga $k=3x+2y$ selari antara satu sama lain, hanya pintasan- $y$ , iaitu $\frac{k}{2}$ , berubah apabila $k$ berubah.

Merentasi keempat-empatnya, disiplinnya sama: baca syarat dengan tepat, tulis satu baris kemas pada satu masa, dan biarkan titik bucu melakukan kerja berat. Kestabilan itulah yang menukar Pengaturcaraan Linear menjadi sumber markah yang boleh dipercayai, bukan tempat kesilapan cuai.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih gerak yang membuka hampir setiap soalan Pengaturcaraan Linear dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Padankan perkataan dengan simbol: 'sekurang-kurangnya' ialah $\ge$ ; 'paling banyak' dan 'tidak lebih daripada' ialah $\le$ ; 'dua kali' mendarab dengan $2$ .
Tambah syarat semula jadi $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ apabila kuantiti ialah bilangan atau amaun fizikal.
Untuk menentukan sebelah mana garis suatu rantau berada, uji satu titik, asalan paling mudah, dalam ketaksamaan.
Sempadan disertakan (garis penuh) apabila ketaksamaan ialah $\le$ atau $\ge$ , dan tidak disertakan (garis putus) apabila ia tegas, $<$ atau $>$ .
Maksimum dan minimum bagi fungsi objektif linear $k=ax+by$ sentiasa berlaku pada titik bucu rantau tersaur.
Nilaikan objektif pada setiap bucu dan bandingkan: nilai terbesar ialah maksimum, nilai terkecil ialah minimum.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu penggantian yang jelas pada setiap bucu memperoleh markah kaedah walaupun satu baris aritmetik tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah di sini, ia jarang idea besar, ia frasa yang dibaca terlalu cepat, sehingga 'sekurang-kurangnya' bertukar menjadi $\le$ , atau satu bucu tertinggal daripada perbandingan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi tabiat.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa nilai terbaik mesti berada pada bucu, bukan hanya cara mengujinya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menentukan antara

\ge

dan

\le

Baca frasa kunci. 'Sekurang-kurangnya', 'minimum', dan 'tidak kurang daripada' semuanya bermaksud $\ge$ ; 'paling banyak', 'tidak lebih daripada', dan 'maksimum' semuanya bermaksud $\le$ .

Jika suatu kuantiti mesti wujud sebagai bilangan, tambah $x\ge 0$ dan $y\ge 0$ juga.

Mengapa nilai terbaik sentiasa berlaku pada bucu?

Fungsi objektif linear $k=ax+by$ berubah pada kadar tetap merentasi rantau, jadi nilai melampaunya ditolak ke sempadan, dan pada rantau bertepi lurus titik sempadan paling melampau ialah bucu. Itulah sebabnya menyemak setiap bucu sudah memadai.

Adakah saya sentiasa memasukkan

x\ge 0

dan

y\ge 0

Masukkannya apabila $x$ dan $y$ ialah bilangan atau amaun fizikal, yang tidak boleh negatif. Soalan mungkin tidak menyatakannya dengan perkataan, tetapi syarat ini sebahagian daripada model dan membentuk rantau.

Bagaimana jika dua bucu memberi nilai objektif yang sama?

Maka kedua-dua bucu, malah setiap titik pada tepi yang menyambungkannya, memberi optimum yang sama itu. Anda boleh menyatakan mana-mana bucu sebagai jawapan; nilai itulah yang memperoleh markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengaturcaraan Linear, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?