Pengaturcaraan Linear, Matematik Tambahan SPM Tingkatan 5

Pengaturcaraan Linear ialah bab Add Math yang paling terbuka tentang membuat keputusan. Diberi satu situasi dengan sumber yang terhad, wang, masa, bahan, ruang, dan satu kuantiti yang anda mahu jadikan sebesar atau sekecil mungkin, bab ini memberi anda cara bersistem untuk mencari pilihan terbaik.

Dalam Matematik Tambahan SPM, keseluruhan kaedah ini dijalankan secara bergraf: anda melukis kekangan pada satu set paksi, melorek rantau pilihan yang benar-benar dibenarkan, kemudian membaca jawapan optimum daripada rantau itu.

Ini ialah bab ketujuh Tingkatan 5, dan ia tergolong dalam bidang aplikasi dan penyelesaian masalah bagi kursus ini. Ia dibina daripada hanya dua standard kandungan yang diambil terus daripada DSKP KSSM: Model Pengaturcaraan Linear dan Aplikasi Pengaturcaraan Linear.

Yang pertama mengajar anda menukar perkataan kepada satu model matematik, satu set ketaksamaan linear yang dilukis pada graf. Yang kedua mengajar anda menggunakan model itu untuk menyelesaikan soalan sebenar: mencari nilai maksimum atau minimum bagi fungsi objektif.

Aliran kerja bab ini pendek dan boleh diulang. Mula-mula anda menentukan apakah dua kuantiti yang tidak diketahui dan menamakannya $x$ dan $y$.

Kemudian anda membaca soalan baris demi baris, menukar setiap syarat, "sekurang-kurangnya", "paling banyak", "tidak lebih daripada dua kali", kepada satu ketaksamaan linear. Anda melukis garis sempadan bagi setiap ketaksamaan, memutuskan bahagian mana untuk dikekalkan, dan melorek rantau yang memenuhi kesemuanya sekali gus.

Akhirnya anda membentuk fungsi objektif $k=ax+by$ dan mencari bucu rantau di mana nilainya paling baik.

Pengaturcaraan Linear luar biasa dalam dua hal, dan kedua-duanya berbaloi diketahui dari awal. Pertama, senarai rumus SPM tidak membekalkan apa-apa untuk bab ini, setiap ketaksamaan dan fungsi objektif ialah perkara yang anda bina sendiri daripada perkataan soalan.

Kedua, inilah satu-satunya bab yang kerap menuntut graf yang kemas dan berskala tepat, jadi pensel yang tajam, pembaris dan skala yang munasabah sama pentingnya dengan algebranya.

Guru kami gemar mengajar Pengaturcaraan Linear kerana ia memberi ganjaran kepada pembacaan yang teliti, bukan pengiraan yang berat. Tiada rumus panjang untuk dihafal dan tiada helah kalkulator, hanya penukaran berdisiplin daripada bahasa kepada ketaksamaan, satu graf yang kemas, dan pemeriksaan bucu yang berfikiran jernih.

Murid yang memperlahan pada peringkat membaca dan mempercepat pada peringkat melukis biasanya cemerlang di sini, menjadikannya bab yang memuaskan untuk menutup silibus Tingkatan 5.

Pengaturcaraan Linear disusun kepada dua standard kandungan. Kod dan tajuk ini datang terus daripada DSKP, dan melihatnya membantu anda membezakan dua bahagian bab ini, membina model, kemudian menggunakannya.

Kedua-dua standard ialah sepasang, dimaksudkan untuk dibaca mengikut urutan. Standard 7.1 ialah peringkat penukaran dan melukis, ia menghasilkan rantau berlorek tetapi belum menjawab apa-apa.

Standard 7.2 ialah tempat rantau itu membuktikan nilainya: anda meletakkan fungsi objektif di atasnya dan mengeluarkan satu keputusan terbaik. Sesuatu soalan hampir selalu menguji kedua-duanya bersekali, jadi model yang goyah dalam 7.1 secara senyap menghadkan markah yang boleh anda capai dalam 7.2.

Dua pemboleh ubah keputusan membawa keseluruhan masalah. Setiap soalan menyembunyikan dua kuantiti yang bebas anda pilih, bilangan meja dan kerusi untuk dibuat, liter dua jenis minuman untuk dicampur, jam yang diluangkan pada dua tugas.

Namakannya $x$ dan $y$ pada mula sekali dan tuliskan dengan tepat apa yang diwakili oleh setiap satu. Segala-galanya yang lain dalam bab ini dibina atas dua huruf ini, jadi takrifkannya dengan jelas sebelum apa-apa yang lain.

Setiap syarat menjadi satu ketaksamaan linear. Kemahiran teras ialah penukaran.

"Sekurang-kurangnya" dan "tidak kurang daripada" memberi $\ge$; "paling banyak" dan "tidak lebih daripada" memberi $\le$; "lebih daripada" dan "kurang daripada" memberi $>$ atau $<$ tegas. Perbandingan perlu berhati-hati: "terdapat sekurang-kurangnya dua kali ganda $x$ berbanding $y$" menjadi $x \ge 2y$, bukan $2x \ge y$.

Baca setiap ayat perlahan-lahan dan tukarkannya kepada tepat satu ketaksamaan.

$$ax + by \le c \quad\text{atau}\quad ax + by \ge c$$

Kuantiti tidak boleh negatif. Oleh sebab $x$ dan $y$ biasanya membilang benda sebenar, hampir setiap masalah membawa kekangan senyap $x \ge 0$ dan $y \ge 0$.

Terlupa kekangan ini meninggalkan rantau anda terbuka di sebelah kiri atau bawah dan boleh menghantar nilai optimum ke jawapan negatif yang mustahil, jadi tuliskannya walaupun soalan tidak menyatakannya.

Lukis setiap sempadan sebagai garis, kemudian pilih bahagian. Tukar setiap ketaksamaan kepada garis sempadannya dengan menggantikan tanda ketaksamaan dengan $=$, dan lukiskannya.

Gunakan garis penuh untuk $\le$ atau $\ge$ (sempadan termasuk) dan garis putus-putus untuk $<$ atau $>$ tegas (sempadan tidak termasuk). Untuk memutuskan bahagian mana untuk dikekalkan, gantikan satu titik ujian, asalan $(0,0)$ paling mudah apabila garis tidak melaluinya, dan lihat sama ada ketaksamaan itu benar di situ.

Rantau tersaur ialah tempat semua kekangan bertindih. Rantau $R$ yang memenuhi setiap ketaksamaan pada masa yang sama ialah persilangan semua bahagian yang dipilih.

Lorekkannya dengan jelas dan labelkannya $R$; poligon cembung ini ialah set setiap keputusan yang dibenarkan. Putuskan sekali sama ada anda melorek rantau yang dikekalkan atau melorek keluar rantau yang ditolak, kemudian kekal konsisten, graf yang tidak berlabel atau separuh berlorek ialah tempat banyak markah bocor senyap.

Fungsi objektif ialah kuantiti yang anda optimumkan. Perkara yang sebenarnya dikehendaki soalan, untung, kos, jumlah bilangan, masa, ditulis sebagai $k=ax+by$, satu ungkapan linear dalam dua pemboleh ubah anda.

Anda diminta menjadikan $k$ sebesar mungkin (maksimum) atau sekecil mungkin (minimum) sambil kekal di dalam $R$. Membentuk fungsi ini dengan betul ialah separuh daripada Standard 7.2.

$$k = ax + by$$

Nilai optimum sentiasa terletak di bucu. Oleh sebab kedua-dua rantau dan objektif adalah linear, nilai terbesar dan terkecil bagi $k$ ditemui di bucu-bucu $R$.

Dua kaedah yang boleh dipercayai mencapainya. Dalam kaedah garis luncur anda melukis garis $ax+by=k$ bagi satu nilai cubaan $k$ yang mudah dan meluncurkannya selari, mengekalkan kecerunannya $-\tfrac{a}{b}$, sehingga ia terakhir menyentuh $R$; titik sentuhan akhir itu ialah nilai optimum.

Dalam kaedah menguji bucu anda mencari koordinat setiap bucu dan hanya menilai $k$ di setiap satu, kemudian memilih yang terbaik.

$$y = -\frac{a}{b}\,x + \frac{k}{b}$$

Jawapan selalunya nombor bulat. Apabila $x$ dan $y$ membilang benda yang tak boleh dibahagi, orang, kerusi, perjalanan lengkap, nilai optimum mesti satu titik dalam $R$ dengan koordinat integer.

Jika bucu itu bukan titik nombor bulat, cari titik kekisi berhampiran yang masih terletak dalam rantau dan pilih yang terbaik antaranya, bukannya melaporkan jawapan pecahan seperti "separuh kerusi".

Pengaturcaraan Linear muncul dalam kertas bertulis. Kertas 1 (3472/1) berlangsung selama 2 jam dan membawa 80 markah: Bahagian A mempunyai 12 soalan bernilai 64 markah yang anda jawab semua, dan Bahagian B mempunyai 3 soalan bernilai 16 markah yang anda jawab 2 daripadanya.

Kertas 2 (3472/2) berlangsung selama 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah merentasi Bahagian A (7 soalan, 50 markah, jawab semua), Bahagian B (4 soalan, 30 markah, jawab 3) dan Bahagian C (4 soalan, 20 markah, jawab 2).

Oleh sebab pengaturcaraan linear meminta anda melukis graf yang tepat, melorek rantau dan membaca nilai optimum daripadanya, bab ini terletak secara semula jadi dalam item aplikasi yang lebih panjang bagi Kertas 2, di mana satu soalan boleh membawa keseluruhan tugas pemodelan daripada ayat sehingga jawapan. Item dalam kedua-dua kertas ialah soalan subjektif respons terhad dan berstruktur, ia diperiksa menggunakan permarkahan analitik, dan anda mendudukinya dengan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara.

Secara keseluruhan kertas diimbangkan merentasi kesukaran dalam nisbah rendah-ke-sederhana-ke-tinggi 5 : 3 : 2, jadi jangkakan penyediaan yang mudah sebelum soalan beralih kepada pengoptimuman yang lebih tajam. Kami tidak meramal berapa markah yang dibawa oleh mana-mana bab tunggal, kerana ia berubah dari tahun ke tahun.

Permarkahan analitik bermakna kaedah anda memperoleh markah langkah demi langkah, jadi jadikan kerja anda kelihatan: nyatakan dua pemboleh ubah, senaraikan setiap ketaksamaan, lukis dan labelkan garis sempadan dan rantau $R$, tulis fungsi objektif, dan tunjukkan sama ada garis luncur atau nilai $k$ di setiap bucu. Kelas kami disampaikan dalam bahasa Inggeris manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi anda akan menemui istilah penting, kekangan, rantau tersaur, fungsi objektif, maksimum, minimum, dalam kedua-dua bahasa dan boleh mengenali tugas itu walau bagaimana soalan diungkapkan.

Kebanyakan markah yang hilang dalam Pengaturcaraan Linear datang daripada penukaran dan graf, bukan daripada matematik yang sukar. Setiap tersilap di bawah mudah dielakkan sebaik anda dapat menamakannya, jadi baca sebelum setiap set latihan sehingga memeriksanya menjadi automatik.

• Memilih arah ketaksamaan yang salah. "Sekurang-kurangnya" ialah $\ge$ dan "paling banyak" ialah $\le$, mencampurnya menyongsangkan rantau dan jawapan. Gariskan perkataan perbandingan dalam setiap ayat dan putuskan tandanya dengan sengaja sebelum menulis apa-apa.
• Salah menukar perbandingan antara pemboleh ubah. "Dua kali ganda $x$ berbanding $y$" bermaksud $x = 2y$, dan "$x$ sekurang-kurangnya dua kali $y$" bermaksud $x \ge 2y$, bukan $2x \ge y$. Uji ketaksamaan anda dengan sepasang nombor mudah untuk mengesahkan ia menyatakan apa yang ayat itu maksudkan.
• Melorek bahagian yang salah, atau melorek secara tidak konsisten. Putuskan sekali sama ada anda mengekalkan rantau yang memenuhi ketaksamaan atau melorek keluar rantau yang ditolak, kemudian terapkan konvensyen itu pada setiap garis. Sentiasa uji satu titik seperti asalan daripada meneka bahagian mana untuk dikekalkan.
• Menggunakan garis penuh untuk ketaksamaan tegas. Sempadan $\le$ atau $\ge$ dilukis penuh kerana ia termasuk; sempadan $<$ atau $>$ tegas dilukis putus-putus kerana ia tidak termasuk. Tersilap di sini boleh tersalah memasukkan atau mengecualikan bucu yang justeru memberi nilai optimum.
• Terlupa $x \ge 0$ dan $y \ge 0$. Apabila pemboleh ubah membilang kuantiti sebenar ia tidak boleh negatif, jadi rantau mesti dikurung dalam sukuan pertama. Meninggalkannya membuka rantau dan boleh menghasilkan nilai optimum negatif yang mustahil.
• Membaca nilai optimum daripada titik yang salah. Nilai terbaik terletak di bucu $R$, jadi uji setiap bucu (atau luncurkan garis objektif ke sentuhan terakhirnya) daripada memandang satu titik di tengah, dan apabila jawapan mesti nombor bulat, periksa titik kekisi terdekat di dalam rantau.

Tiada satu pun daripada ini berkaitan bakat, setiap satu hanyalah tabiat kecil membaca dengan teliti dan melukis dengan kemas. Murid yang cemerlang dalam bab ini ialah yang bersengaja sahaja: perkataan perbandingan digaris, ketaksamaan disemak dengan sepasang nombor ujian, konvensyen lorekan yang konsisten, garis penuh dan putus-putus digunakan dengan betul, dan setiap bucu diperiksa sebelum jawapan ditulis.

Anggap setiap tersilap sebagai maklum balas, maka ketepatan anda meningkat dengan cepat.

Pengaturcaraan Linear memberi ganjaran kepada rutin yang mantap, takrif pemboleh ubah, tukar setiap syarat, lukis dan lorek rantau, kemudian optimumkan di bucu. Kerjakan langkah-langkah di bawah, kemudian gunakan sumber yang menyusul untuk mengulang kaji dan menguji diri.

Kekalkan sesi anda pendek dan kerap, bukan satu sesi panjang, dan sentiasa bekerja atas kertas graf supaya lukisan menjadi lumrah. Dua kemahiran yang menentukan markah anda, menukar perkataan kepada ketaksamaan dan membaca nilai optimum daripada bucu, dibina melalui pengulangan, jadi dua soalan pemodelan penuh sehari lebih baik daripada maraton sekali-sekala.

Apabila penukaran terasa automatik, luangkan masa tambahan anda pada graf yang kemas dan berskala tepat.

1. 1

   Latih penukaran perkataan kepada ketaksamaan

   Ambil syarat pendek, "sekurang-kurangnya", "paling banyak", "dua kali ganda", "tidak lebih daripada separuh", dan tukarkan setiap satu kepada satu ketaksamaan, menyemaknya dengan sepasang nombor ujian sehingga ayat tidak pernah memperdaya anda.

2. 2

   Berlatih melukis dan melorek rantau tersaur

   Bagi satu set kekangan penuh, lukis setiap garis sempadan (penuh atau putus-putus), uji satu titik untuk memilih bahagian, dan lorek rantau $R$ dengan satu konvensyen yang jelas dan konsisten.

3. 3

   Kuasai kedua-dua kaedah pengoptimuman

   Pada rantau yang sama, cari nilai optimum dua kali, sekali dengan meluncurkan garis objektif $k=ax+by$ ke titik sentuhan terakhirnya, dan sekali dengan menguji nilai $k$ di setiap bucu, supaya anda boleh memilih mana yang lebih pantas dalam peperiksaan.

4. 4

   Kendalikan jawapan nombor bulat dengan teliti

   Apabila $x$ dan $y$ mesti integer, belajar mencari titik kekisi terdekat dengan bucu optimum yang masih terletak dalam rantau, dan mewajarkan jawapan nombor bulat yang anda pilih.

5. 5

   Buat soalan penuh bergaya Kertas 2 ikut masa

   Kerjakan soalan pemodelan lengkap atas kertas graf, daripada ayat sehingga keputusan akhir, dengan jam berjalan, kemudian semak contoh kerja selepasnya untuk memperkemas kaedah dan pilihan skala anda.

• Pengaturcaraan Linear, Nota Ringkas
• Pengaturcaraan Linear, Kesilapan Lazim
• Pengaturcaraan Linear, Soalan Latihan
• Pengaturcaraan Linear, Panduan Menjawab Kertas 2
• Pengaturcaraan Linear, Istilah Penting
• Pengaturcaraan Linear, Contoh Kerja (Mudah)
• Pengaturcaraan Linear, Contoh Kerja (Sederhana)
• Pengaturcaraan Linear, Contoh Kerja (KBAT)