线性规划，SPM 高级数学（中五）

线性规划是高级数学里最直白地关于“做决定”的一章。给你一个资源有限的情境，金钱、时间、材料、空间，以及一个你希望尽量做大或做小的量，本章给你一套有系统的办法去找出最佳选择。

在 SPM 高级数学里，整套方法都以图解方式进行：你把约束条件画在一组坐标轴上，涂出真正被允许的选择所构成的区域，再从这块区域读出最优答案。

这是中五的第七章，属于本课程中应用与解决问题的一面。它由两项直接取自 KSSM DSKP 的内容标准组成：线性规划模型与线性规划的应用。

前者教你把文字化为一个数学模型，一组画在图上的线性不等式。后者教你用这个模型去解真正的问题：求目标函数的最大值或最小值。

本章的工作流程短而可重复。首先你决定两个未知量是什么，并把它们命名为 $x$ 与 $y$。

接着你逐句读题，把每一个条件，“至少”“至多”“不超过两倍”，化为一条线性不等式。你画出每条不等式的边界线，判断保留哪一侧，并涂出同时满足全部条件的区域。

最后你写出目标函数 $k=ax+by$，并找出区域上使它取得最佳值的那个顶点。

线性规划有两点与众不同，且都值得从一开始就记住。第一，SPM 的公式表在这一章什么都不提供，每一条不等式和目标函数都是你根据题目文字自己建立的。

第二，这是唯一一章经常要求一张干净、比例准确的图，所以一支削尖的铅笔、一把尺，以及一个合理的比例，与代数同样重要。

我们的老师喜欢教线性规划，因为它回报的是仔细的阅读，而不是繁重的计算。没有冗长的公式要背，也没有计算器的花招，只有从语言到不等式的有纪律翻译、一张整洁的图，以及对顶点头脑清醒的检查。

在阅读阶段放慢、在作图阶段加快的学生往往在这里考得很好，这也让它成为收尾中五课纲的一章，颇为令人满足。

线性规划分为两项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，看清它们有助于你分辨本章的两半，先建立模型，再使用它。

这两项标准成对出现，须按顺序阅读。标准 7.1 是翻译与作图阶段，它产生一块涂色的区域，但还没有回答任何问题。

标准 7.2 才是区域发挥作用之处：你把目标函数叠在它上面，抽取出那唯一的最佳决定。一道题几乎总是把两者一起考，所以 7.1 里不稳的模型会悄悄地封住你在 7.2 能拿到的分数。

两个决策变量承载整道题。每道题都藏着两个你可以自由选择的量，要做的桌子和椅子数目、要调配的两种饮料的公升数、花在两项任务上的小时数。

一开始就把它们命名为 $x$ 与 $y$，并写清楚每一个代表什么。本章其余的一切都建在这两个字母之上，所以在做别的之前先把它们定义清楚。

每个条件都变成一条线性不等式。核心技巧是翻译。

“至少”和“不少于”给出 $\ge$；“至多”和“不超过”给出 $\le$；“多于”和“少于”给出严格的 $>$ 或 $<$。比较句要小心：“$x$ 至少是 $y$ 的两倍”写成 $x \ge 2y$，而不是 $2x \ge y$。

慢慢读每一句，把它化成恰好一条不等式。

$$ax + by \le c \quad\text{或}\quad ax + by \ge c$$

数量不能为负。由于 $x$ 与 $y$ 通常在数真实的东西，几乎每道题都带着隐含的约束 $x \ge 0$ 与 $y \ge 0$。

忘了它们会让你的区域在左侧或下方敞开，甚至把最优值送到一个不可能的负答案，所以即使题目没写出来，也要把它们写上。

把每条边界画成直线，再选一侧。把每条不等式的不等号换成 $=$ 得到它的边界线并画出来。

$\le$ 或 $\ge$ 用实线（边界包含在内），严格的 $<$ 或 $>$ 用虚线（边界不包含）。要判断保留哪一侧，代入一个检验点，当直线不经过原点时，原点 $(0,0)$ 最方便，看不等式在那里是否成立。

可行区域是所有约束重叠之处。同时满足每一条不等式的区域 $R$，就是所选各侧的交集。

把它清楚涂出并标上 $R$；这个凸多边形就是每一个被允许的决定所构成的集合。先一次性决定你是涂保留的区域还是涂掉舍弃的区域，然后保持一致，没标记或只涂一半的图，正是许多分数悄悄流失的地方。

目标函数就是你要优化的量。题目真正想要的东西，利润、成本、总数、时间，写成 $k=ax+by$，一个关于你两个变量的线性式。

你被要求在停留于 $R$ 之内的同时，把 $k$ 做到尽量大（最大化）或尽量小（最小化）。正确写出这个函数，是标准 7.2 的一半。

$$k = ax + by$$

最优值总在某个顶点。由于区域与目标都是线性的，$k$ 的最大值与最小值都在 $R$ 的顶点上取得。

有两种可靠的方法能到达它们。平移直线法：为一个方便的试验值 $k$ 画出直线 $ax+by=k$，让它平行滑动，斜率保持 $-\tfrac{a}{b}$，直到它最后一次触及 $R$；那最后的接触点就是最优值。

检验顶点法：求出每个顶点的坐标，逐一算出 $k$，再挑出最佳者。

$$y = -\frac{a}{b}\,x + \frac{k}{b}$$

答案往往是整数。当 $x$ 与 $y$ 在数不可分割的东西，人、椅子、完整的行程，最优值必须是 $R$ 内坐标为整数的一个点。

若那个顶点不是整数点，就在仍落在区域内的邻近格点中搜寻，从中挑出最佳者，而不是报出“半张椅子”这样的分数答案。

线性规划出现在笔试试卷中。试卷一（3472/1）时长 2 小时，共 80 分：A 部有 12 题、64 分，须全部作答；B 部有 3 题、16 分，从中作答 2 题。

试卷二（3472/2）时长 2 小时 30 分钟，共 100 分，分布在 A 部（7 题，50 分，全部作答）、B 部（4 题，30 分，作答 3 题）与 C 部（4 题，20 分，作答 2 题）。

由于线性规划要求你画出准确的图、涂出区域并从中读出最优值，本章自然落入试卷二那些较长的应用题里，一道题就能承载从文字到答案的整个建模任务。两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，你须使用不可编程的科学计算器作答。

整体上，试卷按低，中，高 5 : 3 : 2 的比例平衡难度，所以可预期先是一段直白的铺设，然后题目转向更犀利的优化。我们不预测任何单一章节占多少分，因为那每年都不同。

分析式评分意味着你的方法一步一步地得分，所以要让过程清晰可见：写出两个变量、列出每一条不等式、画出并标注边界线与区域 $R$、写出目标函数，并展示平移直线或每个顶点上 $k$ 的值。我们的课以英语授课，而 SPM 试卷以马来文和英文双语命题，所以你会在两种语文中遇到关键术语，约束条件、可行区域、目标函数、最大值、最小值，无论题目如何措辞都能认出这项任务。

线性规划里丢掉的分数，大多来自翻译与作图，而不是来自什么难的数学。下面每一个失误，只要你能叫出它的名字就很容易避免，所以在每一组练习前先读一遍，直到检查它们成为习惯。

• 选错不等号的方向。“至少”是 $\ge$，“至多”是 $\le$，把它们弄混会翻转区域和答案。在每一句里把比较词划出来，动笔前有意识地定下符号。
• 把变量之间的比较译错。“$x$ 是 $y$ 的两倍”是 $x = 2y$，而“$x$ 至少是 $y$ 的两倍”是 $x \ge 2y$，不是 $2x \ge y$。用一对简单的数字检验你的不等式，确认它说的正是那句话的意思。
• 涂错侧，或涂得不一致。先一次性决定你是保留满足不等式的区域，还是涂掉舍弃的区域，然后把这个惯例用在每一条线上。永远代入一个像原点这样的点来判断，而不要猜保留哪一侧。
• 对严格不等式用了实线。$\le$ 或 $\ge$ 的边界画实线，因为它被包含；严格的 $<$ 或 $>$ 的边界画虚线，因为它不被包含。这里弄错，可能会错误地纳入或排除正好给出最优值的那个顶点。
• 忘了 $x \ge 0$ 与 $y \ge 0$。当变量在数真实的量时它们不能为负，所以区域必须被限制在第一象限内。漏掉它们会让区域敞开，可能产生一个不可能的负最优值。
• 从错误的点读出最优值。最佳值在 $R$ 的顶点上，所以要检验每一个顶点（或把目标线平移到它最后的接触点），而不是盯着中间某一点估，当答案必须是整数时，还要检查区域内最近的格点。

这些没有一个是关于天分的，每一个都只是仔细阅读与整洁作图的小习惯。在这一章考得好的学生，只是那些有意为之的人：比较词划出来、不等式用一对检验数字核对、涂色惯例一致、实线与虚线用对、每个顶点都在写答案前检验过。

把每次失误当作反馈，你的准确度就会很快提升。

线性规划回报稳定的流程，定义变量、翻译每个条件、画图并涂出区域，再在顶点优化。走完下面的步骤，然后用随后的资源来温习和自测。

把练习分成短而勤的时段，而不是一次长时间硬拼，并且始终在方格纸上作图，让画图成为本能。决定你分数的两项技巧，把文字化为不等式，以及从顶点读出最优值，是靠重复练成的，所以每天做两道完整的建模题，胜过偶尔来一场马拉松。

当翻译变得自动，就把多出来的时间花在干净、比例准确的图上。

1. 1

   反复练习把文字译成不等式

   拿一些短条件，“至少”“至多”“两倍于”“不超过一半”，把每一个化成一条不等式，并用一对检验数字核对，直到措辞再也骗不了你。

2. 2

   练习画出并涂出可行区域

   对一整组约束，画出每条边界线（实线或虚线），代入一个点选侧，并用一套清楚一致的惯例涂出区域 $R$。

3. 3

   掌握两种优化方法

   在同一块区域上，把最优值求两遍，一次用平移目标线 $k=ax+by$ 到它最后的接触点，一次用检验每个顶点上 $k$ 的值，这样考试时你能挑更快的那种。

4. 4

   谨慎处理整数答案

   当 $x$ 与 $y$ 必须是整数时，学会在最优顶点附近、仍落在区域内的格点中搜寻，并为你所选的整数答案给出理由。

5. 5

   限时做完整的试卷二式题目

   在方格纸上做完整的建模题，从文字到最终决定，计时进行，之后复看已解范例，收紧你的方法与比例选择。

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