线性规划，练习题

把每个资源上限转成不等式，并记住数量不能为负。

这四个不等式共同界定可行域。

顶点是边界线相交之处。先从坐标轴开始。

原点给出 $(0,0)$。在 x 轴上 $(y=0)$，更紧的限制是 $x+y\le 10$，得 $(10,0)$，验证 $x+2y=10\le 14$。

在 y 轴上 $(x=0)$，更紧的限制是 $x+2y\le 14$，得 $(0,7)$，验证 $x+y=7\le 10$。

最后一个顶点是两条斜线的交点。用 $x+2y=14$ 减去 $x+y=10$：

顶点为 $(0,0)$、$(10,0)$、$(6,4)$ 与 $(0,7)$。

对线性目标函数，最大值出现在顶点，因此逐一代入第2题的角点。

最大值为 $34$，在 $(6,4)$。因此制作 6 张桌子和 4 张椅子可得最大利润 $34$。

在「大于或等于」约束下，区域向上开放，但最小值仍在顶点。求角点。

在 y 轴上，起作用的线是 $2x+y\ge 10$，交于 $(0,10)$；在 x 轴上，起作用的线是 $x+y\ge 8$，交于 $(8,0)$。

内部角点是 $x+y=8$ 与 $2x+y=10$ 的交点。相减：$x=2$，则 $y=6$。

最小值为 $18$，在 $(2,6)$。

先求区域 $x+y\le 12$、$y\le 2x$、$x\ge 2$、$y\ge 0$ 的顶点。直线 $x+y=12$ 与 $y=2x$ 相交处 $x+2x=12$，故 $x=4,\ y=8$。

直线 $y=2x$ 与 $x=2$ 交于 $(2,4)$。点 $(2,10)$ 因 $10>2x=4$ 在区域外。

顶点为 $(2,0)$、$(12,0)$、$(4,8)$ 与 $(2,4)$。代入 $E=200x+300y$：

最大值为 $3200$，即开 4 个小班和 8 个大班。

你不能开出小数个班，因此 $x$ 与 $y$ 必须是整数；这里最优顶点 $(4,8)$ 的坐标已是整数，无需调整。只检验顶点就够，是因为目标 $E=200x+300y$ 是线性的：沿可行域任一条边移动时，$E$ 均匀变化，故其在该边上的最大值总在端点。

因此整个区域上的最大值出现在某个顶点。