Latihan Pengaturcaraan Linear

Cara menggunakan soalan latihan ini

Tujuan latihan bukan membaca penyelesaian tetapi menghasilkannya. Kerjakan setiap satu daripada enam soalan Pengaturcaraan Linear di bawah dengan pen dan kertas dahulu, dalam keadaan yang hampir dengan peperiksaan, tulis rumus, kemudian penggantian, kemudian jawapan, satu baris jelas pada satu masa.

Barulah buka penyelesaian dan markahkan skrip anda sendiri seperti seorang pemeriksa, memberi diri anda satu markah untuk kaedah yang betul, satu markah untuk penggantian yang betul, dan satu markah untuk jawapan akhir. Di mana kerja anda berbeza daripada kami, cari baris tepat yang tersasar dan bukan sekadar menyalin versi yang betul.

Kerana pemarkahan SPM bersifat analitik, kerja yang jelas dan tersusun melindungi kebanyakan markah walaupun jawapan akhir tersasar, jadi anggap susun atur yang kemas sebagai sebahagian daripada latihan.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Sebuah bengkel membuat $x$ meja dan $y$ kerusi. Setiap meja memerlukan 1 unit buruh dan setiap kerusi 1 unit, dengan paling banyak 10 unit buruh.

Setiap meja memerlukan 1 unit kayu dan setiap kerusi 2 unit, dengan paling banyak 14 unit kayu. Tuliskan semua ketaksamaan yang memodelkan situasi ini.

Show worked solution

Tukar setiap had sumber kepada ketaksamaan, dan ingat kuantiti tidak boleh negatif.

x+y\le 10

x+2y\le 14

x\ge 0,\quad y\ge 0

Empat ketaksamaan ini bersama-sama menakrifkan rantau tersaur.

Q2[4 marks]

Menggunakan ketaksamaan $x+y\le 10$ , $x+2y\le 14$ , $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , cari koordinat bucu (titik sudut) rantau tersaur.

Show worked solution

Bucu ialah tempat garis sempadan bertemu. Mula dengan paksi.

Asalan memberi $(0,0)$ . Pada paksi-x $(y=0)$ , had lebih ketat ialah $x+y\le 10$ , memberi $(10,0)$ , semak $x+2y=10\le 14$ .

Pada paksi-y $(x=0)$ , had lebih ketat ialah $x+2y\le 14$ , memberi $(0,7)$ , semak $x+y=7\le 10$ .

Bucu terakhir ialah tempat dua garis condong bersilang. Tolak $x+y=10$ daripada $x+2y=14$ :

(x+2y)-(x+y)=14-10\;\Rightarrow\; y=4,\quad x=6

Bucunya ialah $(0,0)$ , $(10,0)$ , $(6,4)$ dan $(0,7)$ .

Q3[4 marks]

Keuntungan ialah $P=3x+4y$ . Cari keuntungan maksimum dan nilai $x$ dan $y$ yang memberikannya.

Show worked solution

Untuk objektif linear, maksimum terletak pada bucu, jadi uji setiap sudut daripada Soalan 2.

P(0,0)=0,\quad P(10,0)=30,\quad P(6,4)=18+16=34,\quad P(0,7)=28

Nilai terbesar ialah $34$ , pada $(6,4)$ . Jadi membuat 6 meja dan 4 kerusi memberi keuntungan maksimum $34$ .

Q4[4 marks]

Bagi rantau berbeza yang ditakrif oleh $x+y\ge 8$ , $2x+y\ge 10$ , $x\ge 0$ , $y\ge 0$ , cari nilai minimum $C=3x+2y$ .

Show worked solution

Dengan kekangan "lebih besar atau sama", rantau terbuka di atas, tetapi minimum tetap pada bucu. Cari sudut.

Pada paksi-y garis mengikat ialah $2x+y\ge 10$ pada $(0,10)$ ; pada paksi-x garis mengikat ialah $x+y\ge 8$ pada $(8,0)$ .

Bucu dalaman ialah tempat $x+y=8$ dan $2x+y=10$ bersilang. Tolak: $x=2$ , kemudian $y=6$ .

C(0,10)=20,\quad C(2,6)=6+12=18,\quad C(8,0)=24

Minimum ialah $18$ , pada $(2,6)$ .

Q5[5 marks]

Sebuah pusat tuisyen menjalankan $x$ kelas kecil dan $y$ kelas besar setiap minggu. Ia mempunyai paling banyak 12 slot mengajar ( $x+y\le 12$ ) dan, untuk mengekalkan kualiti, bilangan kelas besar tidak boleh melebihi dua kali bilangan kelas kecil ( $y\le 2x$ ); juga $x\ge 2$ .

Setiap kelas kecil memperoleh 200 dan setiap kelas besar 300. Maksimumkan pendapatan mingguan $E=200x+300y$ .

Show worked solution

Mula-mula cari bucu rantau $x+y\le 12$ , $y\le 2x$ , $x\ge 2$ , $y\ge 0$ . Garis $x+y=12$ bertemu $y=2x$ di mana $x+2x=12$ , jadi $x=4,\ y=8$ .

Garis $y=2x$ bertemu $x=2$ pada $(2,4)$ . Titik $(2,10)$ di luar kerana $10>2x=4$ .

Bucunya ialah $(2,0)$ , $(12,0)$ , $(4,8)$ dan $(2,4)$ . Nilaikan $E=200x+300y$ :

E(2,0)=400,\ E(12,0)=2400,\ E(4,8)=800+2400=3200,\ E(2,4)=400+1200=1600

Maksimum ialah $3200$ , menjalankan 4 kelas kecil dan 8 kelas besar.

Q6[3 marks]

Dalam Soalan 5, terangkan mengapa jawapan mesti menggunakan nombor bulat kelas, dan mengapa menguji bucu sahaja sudah memadai untuk memastikan maksimum.

Show worked solution

Anda tidak boleh menjalankan pecahan kelas, jadi $x$ dan $y$ mesti nombor bulat; di sini bucu optimum $(4,8)$ sudah mempunyai koordinat nombor bulat. Menguji bucu sahaja memadai kerana objektif $E=200x+300y$ adalah linear: apabila anda bergerak sepanjang mana-mana tepi rantau, $E$ berubah secara sekata dan nilai terbesarnya pada tepi itu sentiasa pada hujungnya.

Nilai terbesar merentasi keseluruhan rantau oleh itu berlaku pada bucu.

Cara memarkah diri seperti pemeriksa

Seorang pemeriksa tidak hanya melihat kotak jawapan akhir anda, mereka mengikuti kerja anda dan memberi markah langkah demi langkah. Jadi apabila anda memarkah diri, tahan godaan untuk menanda jawapan betul sahaja.

Tanya, bagi setiap soalan: adakah saya menyatakan kaedah atau rumus yang betul? Adakah saya menggantikan nilai yang betul?

Adakah jawapan akhir saya dalam bentuk tepat yang diminta, dengan unit jika perlu? Beri diri anda markah kaedah yang benar-benar anda peroleh walaupun nombor akhir salah, dan, sama pentingnya, nafikan markah di mana kerja anda terlalu padat atau melangkau langkah.

Simpan senarai pendek ralat tepat yang anda ulangi; senarai itu, bukan markah, yang memberitahu anda di mana perlu menumpu sesi latihan seterusnya.

Cara guru membantu

Memarkah kerja sendiri amat berguna, tetapi seorang pelajar tidak selalu dapat melihat mengapa sesuatu kaedah asyik tersasar, di situlah pandangan kedua mengubah keadaan. Bekerja satu-ke-satu, guru memerhati kerja Pengaturcaraan Linear anda sambil ia berlaku dan menangkap langkah tepat yang menghilangkan markah, lalu mengajar terus kepadanya, selalunya menjejaki jurang sebenar kembali kepada idea terdahulu yang diandaikan soalan.

Guru kami berpengalaman; pelajaran dalam talian dan dalam Bahasa Inggeris, dan pelajaran pertama ialah kelas berbayar satu jam pada kadar guru, dari RM50 sejam. Bawa soalan di sini yang anda tidak dapat selesaikan sepenuhnya, dan satu jam yang disasarkan tepat kepadanya jauh lebih bernilai.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah ini soalan SPM tahun lepas sebenar?

Tidak. Setiap soalan di sini adalah asli, ditulis dalam gaya peperiksaan.

Kami tidak menerbitkan semula soalan SPM tahun lepas sebenar.

Bagaimana saya patut menggunakan markah yang ditunjukkan?

Anggap ia sebagai panduan berapa banyak kerja dijangka, dan markahkan penyelesaian anda kaedah demi kaedah, kerana pemarkahan SPM analitik.

Bagaimana jika jawapan saya salah?

Cari baris tepat di mana kerja anda dan kami berbeza, dan catat ralatnya. Ralat berulang paling cepat dibaiki, dan itulah yang boleh disasarkan oleh pelajaran satu-ke-satu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengaturcaraan Linear, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara memarkah diri seperti pemeriksa

Cara guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?