直线运动学，例题（中等）

每当质点改变方向时总路程就与位移不同，所以先找速度为零的时刻。

$$3t^{2}-12t+9=0$$

两边除以 $3$ 再因式分解。

$$t^{2}-4t+3=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-3)=0$$

所以 $v=0$ 在 $t=1$ 和 $t=3$。在每段中各取一个值检验，$v>0$ 在 $0\le t<1$，$v<0$ 在 $1<t<3$，所以质点在 $t=1$ 掉头。

用积分求位移函数，取 $t=0$ 时 $s=0$。

$$s=\int (3t^{2}-12t+9)\,dt=t^{3}-6t^{2}+9t$$

计算 $t=0$、$t=1$ 和 $t=3$ 时的位移。

$$s(0)=0,\quad s(1)=1-6+9=4,\quad s(3)=27-54+27=0$$

质点在第一秒从 $0$ 移到 $4$ 米，然后从 $4$ 米退回 $0$。把每段的路程相加。

$$\text{总路程}=|4-0|+|0-4|=4+4=8$$

把位移求导得速度。

$$v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-18t+24$$

(a) 质点静止时 $v=0$。两边除以 $3$ 再因式分解。

$$t^{2}-6t+8=0\ \Rightarrow\ (t-2)(t-4)=0$$

所以质点在 $t=2$ 秒和 $t=4$ 秒瞬间静止。

(b) 速度在其变化率为零处取最小，所以令加速度为零。

$$a=\frac{dv}{dt}=6t-18=0\ \Rightarrow\ t=3$$

因为 $t=3$ 之前 $a<0$、之后 $a>0$，速度在此取最小。把 $t=3$ 代入 $v$。

$$v|_{t=3}=3(3)^{2}-18(3)+24=27-54+24=-3$$

把加速度积分得速度，保留常数 $c_{1}$。

$$v=\int (6t-2)\,dt=3t^{2}-2t+c_{1}$$

用当 $t=1$ 时 $v=3$。

$$3=3(1)^{2}-2(1)+c_{1}=1+c_{1}\ \Rightarrow\ c_{1}=2$$

所以 $v=3t^{2}-2t+2$。初速度是它在 $t=0$ 的值。

$$v|_{t=0}=3(0)^{2}-2(0)+2=2$$

(b) 把速度积分得位移，保留常数 $c_{2}$。

$$s=\int (3t^{2}-2t+2)\,dt=t^{3}-t^{2}+2t+c_{2}$$

用当 $t=1$ 时 $s=5$。

$$5=1-1+2+c_{2}=2+c_{2}\ \Rightarrow\ c_{2}=3$$

所以 $s=t^{3}-t^{2}+2t+3$。代入 $t=2$。

$$s|_{t=2}=(2)^{3}-(2)^{2}+2(2)+3=8-4+4+3=11$$

质点在掉头的那一刻离 $O$ 最远，所以先找速度为零的时刻。

$$8-4t=0\ \Rightarrow\ t=2$$

把速度积分求位移函数，取 $t=0$ 时 $s=0$。

$$s=\int (8-4t)\,dt=8t-2t^{2}$$

由于 $v>0$ 在 $0\le t<2$，$v<0$ 在 $t>2$，质点先远离 $O$ 再折返，所以 $t=2$ 时最远。代入 $t=2$。

$$s|_{t=2}=8(2)-2(2)^{2}=16-8=8$$

质点经过 $O$ 时 $s=0$，所以先把位移因式分解。

$$s=t(t^{2}-6t+8)=t(t-2)(t-4)$$

所以 $s=0$ 在 $t=0$、$t=2$ 或 $t=4$。质点再次经过 $O$ 是在 $t=2$ 秒和 $t=4$ 秒。

(b) 求导得速度，再代入较晚的时刻 $t=4$。

$$v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-12t+8$$

$$v|_{t=4}=3(4)^{2}-12(4)+8=48-48+8=8$$

先把速度积分求位移函数，取 $t=0$ 时 $s=0$。

$$s=\int (2t-6)\,dt=t^{2}-6t$$

通过解 $v=0$ 检查质点在 $[1,4]$ 内是否改变方向。

$$2t-6=0\ \Rightarrow\ t=3$$

由于 $t=3$ 落在这段区间内，在该处分段，并计算 $t=1$、$t=3$ 和 $t=4$ 时的 $s$。

$$s(1)=1-6=-5,\quad s(3)=9-18=-9,\quad s(4)=16-24=-8$$

$$\text{总路程}=|{-9}-({-5})|+|{-8}-({-9})|=4+1=5$$

速率是速度的大小，所以速率为 $5$ 时，$v=5$ 或 $v=-5$。先试 $v=5$。

$$t^{2}-2t-3=5\ \Rightarrow\ t^{2}-2t-8=0\ \Rightarrow\ (t-4)(t+2)=0$$

得 $t=4$ 或 $t=-2$；由于 $t\ge 0$，舍去 $t=-2$。再试 $v=-5$。

$$t^{2}-2t-3=-5\ \Rightarrow\ t^{2}-2t+2=0$$

这个方程的判别式为 $(-2)^{2}-4(1)(2)=-4$，为负值，所以这种情况没有实数解。

当速度与加速度同号时质点速率增加，异号时速率减少。先求导得速度。

$$v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-8t$$

再求导一次得加速度，然后分别代入 $t=1$。

$$a=\frac{dv}{dt}=6t-8$$

$$v|_{t=1}=3(1)^{2}-8(1)=-5,\qquad a|_{t=1}=6(1)-8=-2$$