Kinematik Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya tahu halaju pegun ialah minimum, bukan maksimum?

Lihat pecutan a=dvdta=\frac{dv}{dt}a=dtdv di kedua-dua belah titik itu. Jika aaa bertukar dari negatif ke positif, halaju mempunyai minimum; dari positif ke negatif, maksimum.

Q: Nilai awal diberi pada t=1, bukan t=0. Adakah itu penting?

Tidak untuk kaedahnya, gantikan t=1t=1t=1 dengan nilai yang diberi untuk mencari pemalar. Hanya selepas fungsi lengkap barulah anda masukkan t=0t=0t=0 untuk membaca halaju atau sesaran awal.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh sederhana ini mengambil tiga operasi yang sama, membezakan, mengamir, dan menyelesaikan $v=0$ , dan meminta anda menggabungkannya serta mentafsir gerakan dengan teliti. Anda akan mengasingkan jumlah jarak daripada sesaran apabila zarah bertukar arah, mencari halaju minimum menggunakan $a=0$ , dan mengamir pecutan dua kali sambil menetapkan setiap pemalar daripada nilai yang diberi pada $t=1$ dan bukan $t=0$ .

Aritmetiknya kekal kemas, tetapi pemikirannya meningkat satu tahap: anda mesti menentukan tempat halaju bertukar tanda, dan menyemak sama ada nilai pegun halaju ialah maksimum atau minimum. Cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas dahulu, kemudian bandingkan setiap baris dengan penyelesaian dan kenal pasti langkah yang berbeza.

Contoh kerja

Selesaikan kesemua tiga. Setiap satu memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas, cari tempat halaju sifar, tentukan arah pada setiap selang, dan barulah mengira, jadi bina tabiat itu sambil berlatih.

Q1[5 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dan melalui titik tetap $O$ pada $t=0$ . Halajunya ialah $v=3t^{2}-12t+9$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , pada masa $t$ s.

Cari jumlah jarak yang dilalui dalam $3$ saat pertama.

Show worked solution

Jumlah jarak berbeza daripada sesaran apabila zarah bertukar arah, maka cari dahulu tempat halaju sifar.

3t^{2}-12t+9=0

Bahagi dengan $3$ dan faktorkan.

t^{2}-4t+3=0\ \Rightarrow\ (t-1)(t-3)=0

Maka $v=0$ pada $t=1$ dan $t=3$ . Menguji satu nilai dalam setiap selang, $v>0$ pada $0\le t<1$ dan $v<0$ pada $1<t<3$ , jadi zarah berpatah balik pada $t=1$ .

Cari fungsi sesaran dengan mengamir, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (3t^{2}-12t+9)\,dt=t^{3}-6t^{2}+9t

Nilaikan sesaran pada $t=0$ , $t=1$ dan $t=3$ .

s(0)=0,\quad s(1)=1-6+9=4,\quad s(3)=27-54+27=0

Zarah bergerak dari $0$ ke $4$ m dalam saat pertama, kemudian kembali dari $4$ m ke $0$ . Tambah jarak setiap peringkat.

\text{Jumlah jarak}=|4-0|+|0-4|=4+4=8

Jawapan

Jumlah jarak yang dilalui dalam $3$ saat pertama ialah $8$ m, walaupun sesaran sepanjang selang itu ialah $0$ , zarah kembali ke $O$ .

Q2[5 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus. Sesarannya dari titik tetap $O$ ialah $s=t^{3}-9t^{2}+24t$ , dalam meter, pada masa $t$ s.

Cari (a) masa apabila zarah pegun seketika, dan (b) halaju minimum zarah.

Show worked solution

Bezakan sesaran untuk mendapat halaju.

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-18t+24

(a) Zarah pegun apabila $v=0$ . Bahagi dengan $3$ dan faktorkan.

t^{2}-6t+8=0\ \Rightarrow\ (t-2)(t-4)=0

Maka zarah pegun seketika pada $t=2$ s dan $t=4$ s.

(b) Halaju paling kecil di tempat kadar perubahannya sifar, maka tetapkan pecutan kepada sifar.

a=\frac{dv}{dt}=6t-18=0\ \Rightarrow\ t=3

Oleh sebab $a<0$ sebelum $t=3$ dan $a>0$ selepasnya, halaju mempunyai minimum di situ. Gantikan $t=3$ ke dalam $v$ .

v|_{t=3}=3(3)^{2}-18(3)+24=27-54+24=-3

Jawapan

Zarah pegun pada $t=2$ s dan $t=4$ s, dan halaju minimumnya ialah $-3\ \text{m s}^{-1}$ , bergerak dalam arah negatif pada $3\ \text{m s}^{-1}$ .

Q3[6 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dengan pecutan $a=6t-2$ , dalam $\text{m s}^{-2}$ , pada masa $t$ s. Apabila $t=1$ halajunya ialah $3\ \text{m s}^{-1}$ dan sesarannya dari $O$ ialah $5$ m.

Cari (a) halaju awal zarah, dan (b) sesarannya dari $O$ apabila $t=2$ .

Show worked solution

Kamirkan pecutan untuk mendapat halaju, dengan pemalar $c_{1}$ .

v=\int (6t-2)\,dt=3t^{2}-2t+c_{1}

Guna $v=3$ apabila $t=1$ .

3=3(1)^{2}-2(1)+c_{1}=1+c_{1}\ \Rightarrow\ c_{1}=2

Maka $v=3t^{2}-2t+2$ . Halaju awal ialah nilainya pada $t=0$ .

v|_{t=0}=3(0)^{2}-2(0)+2=2

(b) Kamirkan halaju untuk mendapat sesaran, dengan pemalar $c_{2}$ .

s=\int (3t^{2}-2t+2)\,dt=t^{3}-t^{2}+2t+c_{2}

Guna $s=5$ apabila $t=1$ .

5=1-1+2+c_{2}=2+c_{2}\ \Rightarrow\ c_{2}=3

Maka $s=t^{3}-t^{2}+2t+3$ . Gantikan $t=2$ .

s|_{t=2}=(2)^{3}-(2)^{2}+2(2)+3=8-4+4+3=11

Jawapan

Halaju awal ialah $2\ \text{m s}^{-1}$ , dan sesaran dari $O$ apabila $t=2$ ialah $11$ m.

Q4[3 marks]

Satu zarah melalui titik tetap $O$ pada masa $t=0$ dengan halaju $v=8-4t$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , pada masa $t$ s. Cari sesaran maksimum zarah itu dari $O$ .

Show worked solution

Zarah itu paling jauh daripada $O$ pada saat ia berpatah balik, maka cari dahulu tempat halaju sifar.

8-4t=0\ \Rightarrow\ t=2

Kamirkan halaju untuk mendapat fungsi sesaran, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (8-4t)\,dt=8t-2t^{2}

Oleh sebab $v>0$ pada $0\le t<2$ dan $v<0$ pada $t>2$ , zarah bergerak menjauhi $O$ kemudian kembali, jadi $t=2$ memberikan titik paling jauh. Gantikan $t=2$ .

s|_{t=2}=8(2)-2(2)^{2}=16-8=8

Jawapan

Sesaran maksimum zarah itu dari $O$ ialah $8$ m, dicapai pada $t=2$ s; selepas itu zarah berpatah balik ke arah $O$ .

Q5[4 marks]

Satu zarah melalui titik tetap $O$ pada masa $t=0$ . Sesarannya dari $O$ ialah $s=t^{3}-6t^{2}+8t$ , dalam meter, pada masa $t$ s.

Cari (a) dua masa lain, $t>0$ , apabila zarah melalui $O$ , dan (b) arah pergerakan zarah pada masa yang lebih lewat antara kedua-dua masa itu.

Show worked solution

Zarah melalui $O$ apabila $s=0$ , maka faktorkan sesaran itu.

s=t(t^{2}-6t+8)=t(t-2)(t-4)

Maka $s=0$ apabila $t=0$ , $t=2$ atau $t=4$ . Zarah melalui $O$ sekali lagi pada $t=2$ s dan $t=4$ s.

(b) Bezakan untuk mendapat halaju, kemudian nilaikan pada masa yang lebih lewat, $t=4$ .

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-12t+8

v|_{t=4}=3(4)^{2}-12(4)+8=48-48+8=8

Jawapan

Zarah melalui $O$ sekali lagi pada $t=2$ s dan $t=4$ s. Pada $t=4$ s halajunya ialah $8\ \text{m s}^{-1}$ , iaitu positif, jadi ia bergerak dalam arah positif.

Q6[4 marks]

Satu zarah melalui titik tetap $O$ pada masa $t=0$ dan bergerak dengan halaju $v=2t-6$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , pada masa $t$ s. Cari jumlah jarak yang dilalui zarah antara $t=1$ s dan $t=4$ s.

Show worked solution

Cari dahulu fungsi sesaran dengan mengamir halaju, dengan $s=0$ pada $t=0$ .

s=\int (2t-6)\,dt=t^{2}-6t

Semak sama ada zarah bertukar arah dalam $[1,4]$ dengan menyelesaikan $v=0$ .

2t-6=0\ \Rightarrow\ t=3

Oleh sebab $t=3$ terletak dalam selang itu, pisahkan di situ dan nilaikan $s$ pada $t=1$ , $t=3$ dan $t=4$ .

s(1)=1-6=-5,\quad s(3)=9-18=-9,\quad s(4)=16-24=-8

\text{Jumlah jarak}=|{-9}-({-5})|+|{-8}-({-9})|=4+1=5

Jawapan

Jumlah jarak yang dilalui antara $t=1$ s dan $t=4$ s ialah $5$ m, zarah terus bergerak dalam arah negatif sehingga $t=3$ s, kemudian berpatah balik.

Q7[4 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dengan halaju $v=t^{2}-2t-3$ , dalam $\text{m s}^{-1}$ , pada masa $t$ s, $t\ge 0$ . Cari nilai $t$ apabila laju zarah itu ialah $5\ \text{m s}^{-1}$ .

Show worked solution

Laju ialah magnitud halaju, jadi lajunya $5$ apabila $v=5$ atau $v=-5$ . Cuba $v=5$ dahulu.

t^{2}-2t-3=5\ \Rightarrow\ t^{2}-2t-8=0\ \Rightarrow\ (t-4)(t+2)=0

Ini memberikan $t=4$ atau $t=-2$ ; tolak $t=-2$ kerana $t\ge 0$ . Sekarang cuba $v=-5$ .

t^{2}-2t-3=-5\ \Rightarrow\ t^{2}-2t+2=0

Diskriminan persamaan ini ialah $(-2)^{2}-4(1)(2)=-4$ , iaitu negatif, jadi tiada nilai nyata $t$ untuk kes ini.

Jawapan

Laju zarah itu ialah $5\ \text{m s}^{-1}$ hanya pada $t=4$ s; kes $v=-5$ tiada penyelesaian nyata.

Q8[3 marks]

Satu zarah bergerak di sepanjang garis lurus dengan sesarannya dari titik tetap $O$ ialah $s=t^{3}-4t^{2}+2$ , dalam meter, pada masa $t$ s. Tentukan sama ada zarah bergerak dengan laju yang bertambah atau berkurang pada $t=1$ s.

Show worked solution

Zarah bertambah laju apabila halaju dan pecutannya mempunyai tanda yang sama, dan berkurang laju apabila tandanya berlawanan. Bezakan untuk mendapat halaju.

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-8t

Bezakan sekali lagi untuk mendapat pecutan, kemudian nilaikan kedua-duanya pada $t=1$ .

a=\frac{dv}{dt}=6t-8

v|_{t=1}=3(1)^{2}-8(1)=-5,\qquad a|_{t=1}=6(1)-8=-2

Jawapan

Pada $t=1$ s, $v=-5\ \text{m s}^{-1}$ dan $a=-2\ \text{m s}^{-2}$ ; oleh sebab kedua-duanya negatif, zarah bergerak dengan laju yang bertambah.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan cara gerakan asas bergabung apabila anda perlu mentafsir gerakan, bukan sekadar mengira. Simpan poin ini.

Jumlah jarak menambah panjang setiap peringkat gerakan; pisahkan selang pada setiap masa $v=0$ dan jumlahkan perubahan mutlak sesaran.
Sesaran sepanjang selang boleh menjadi sifar sedangkan jumlah jarak tidak, zarah mungkin kembali ke tempat ia bermula.
Halaju paling besar atau paling kecil di tempat kadar perubahannya sifar, iaitu di tempat $a=\frac{dv}{dt}=0$ ; semak tanda $a$ di kedua-dua belah untuk membezakan maksimum daripada minimum.
Apabila anda mengamir dua kali, anda mendapat dua pemalar berasingan, tetapkan setiap satu daripada syaratnya sendiri sebelum menggantikan.
Syarat awal tidak semestinya diberi pada $t=0$ ; guna masa yang dinyatakan untuk mencari pemalar, kemudian baca nilai yang anda perlukan.

Bagaimana guru membantu

Soalan Kinematik sederhana memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas, dan itulah yang dibina oleh kelas yang baik. Markah biasa yang hilang ialah menganggap sesaran sebagai jarak, atau berhenti pada $a=0$ tanpa menyemak sama ada halaju maksimum atau minimum.

Guru kami menjadikan titik patah balik itu ketara, satu baris tanda ringkas untuk $v$ , supaya kaedahnya menjadi automatik. Kerana guru kami berpengalaman, anda belajar sebabnya, bukan resipi.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi notasinya kekal biasa.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah beza antara jarak dan sesaran di sini?

Sesaran ialah perubahan kedudukan dari mula ke akhir dan boleh negatif atau sifar. Jumlah jarak menjumlahkan sejauh mana zarah benar-benar bergerak pada setiap peringkat, jadi anda pisahkan selang masa di mana-mana $v=0$ dan jumlahkan perubahan mutlak.

Bagaimana saya tahu halaju pegun ialah minimum, bukan maksimum?

Lihat pecutan $a=\frac{dv}{dt}$ di kedua-dua belah titik itu. Jika $a$ bertukar dari negatif ke positif, halaju mempunyai minimum; dari positif ke negatif, maksimum.

Mengapa ada dua pemalar apabila saya mengamir dua kali?

Setiap pengamiran memperkenalkan pemalarnya sendiri. Mengamir pecutan memberi pemalar halaju; mengamir halaju itu memberi pemalar sesaran.

Cari setiap satu daripada syaratnya sendiri sebelum menilai apa-apa.

Nilai awal diberi pada

t=1

, bukan

t=0

. Adakah itu penting?

Tidak untuk kaedahnya, gantikan $t=1$ dengan nilai yang diberi untuk mencari pemalar. Hanya selepas fungsi lengkap barulah anda masukkan $t=0$ untuk membaca halaju atau sesaran awal.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Kinematik Gerakan Linear, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?