直线运动学，SPM 高级数学（中五）

直线运动学是你刚学过的两个微积分章节，微分与积分，汇聚到同一个具体问题上的地方：一个质点沿直线来回运动。这里不再是抽象的曲线，而是一个位置随时间改变的真实物体，微积分成了精确描述它运动的语言。

本章建立在三个量之上，每一个都是时间 $t$ 的函数：位移 $s$（质点距离固定参考点 $O$ 有多远，以及在哪一侧）、速度 $v$（位移变化得多快，朝哪个方向）、以及加速度 $a$（速度变化得多快）。由于运动沿一条直线进行，这三个量都是带符号的，正值表示一个方向，负值表示相反方向，而看住这个符号，正是本章一半的功夫。

两个动作把这些量连起来。微分让你沿梯子向下走：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。

积分让你向上爬回去：你从加速度还原出速度，再从速度还原出位移，每一次积分都会引入一个常数，而你要用题目给出的条件把它定下来。一旦你能在两个方向自由移动，几乎每一道题就都变成了看清「给的是哪个量、要的是哪个量」的问题。

本章其余部分都是解读。你要找出质点何时瞬间静止（$v=0$）、何时达到最大位移或最大速度、何时改变方向，以及那道经典题，它所行的总路程，而这与它的最终位移并不相同。

我们的老师把这些当作一小组可辨认的题型来处理，每一种都有干净的套路。由于 SPM 采用分析式评分，套路里每一行正确的运算都能得分，所以即使最后的数字出错，一套整洁的方法依然值分。

开始之前，你的微分与积分要扎实，因为本章是把它们当工具来用，而不是重新教一遍。你需要微分的幂法则、积分的逆幂法则，以及对积分常数的把握。

DSKP 把位移函数限制在线性与二次表达式，所以代数保持在可控范围，重点始终放在解读运动，而不是繁重的运算。

顺带一提，我们的课以英语授课，而 SPM 试卷以双语（BM/EN）命题。这表示你会用两种语言熟悉运动学术语，并可以用你最有把握的语言作答，当应用题变得又长又多字时，这是一个实用的小优势。

DSKP 把「直线运动学」划分为四项内容标准。以下是每一项要求你掌握的内容。

留意这些标准的推进顺序：8.1 建立三个量以及总路程的概念，8.2 给你微分的方向（$s \to v \to a$），8.3 给你积分的方向（$a \to v \to s$），而 8.4 把两者合成为解题。这个结构就是你的温习地图，只要你能在每个方向都自信地移动，8.4 无非是仔细读题、选对动作。

值得记下 8.1.2 里写明的限制：位移函数限于线性与二次。这一条限制塑造了整章，二次位移给出线性速度和恒定加速度，所以大多数题目至多只有一个质点静止的时刻，总路程的套路也很少需要超过一次的分段。

1. 沿直线的三个带符号的量

位移、速度与加速度就是全部内容。位移 $s$ 是质点相对固定点 $O$ 的位置；速度 $v$ 是该位置的变化率；加速度 $a$ 是速度的变化率。

由于运动是一维的，每一个都是一个带符号的数，符号承载着方向。速度为 $-6$ 表示质点以速率 6 朝负方向运动。

2. 参考点与符号约定

每道题都会定一个原点 $O$，通常是质点出发的地方。正位移在 $O$ 的一侧，负位移在另一侧。

一开始就定好这个约定，并且绝不丢掉符号：$s=-4$ 表示质点位于 $O$ 负侧 4 个单位处，而不只是「距离 4 个单位」。距离永远为正，但位移、速度与加速度不是。

3. 瞬时值，而非平均值

当 SPM 问 $t=3$ 时的速度，它要的是瞬时速度，速度函数在那一刻的确切值，而不是某段区间内的平均速率。你把 $t=3$ 代入速度函数即可得到，这正是为何先建立正确的函数如此重要。

瞬时位移与瞬时加速度也是同理。

4. 向下微分走梯子

速度是位移对时间的导数，加速度是速度的导数，也就是位移的二阶导数。所以给定 $s$ 为 $t$ 的函数，微分一次得 $v$，再微分一次得 $a$。

这就是普通的微分；唯一新的地方是变量是时间，而不是 $x$。

$$v = \dfrac{ds}{dt}, \qquad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}$$

5. 向上积分爬梯子

用积分把过程反转。从加速度积分还原速度，再从速度积分还原位移。

每一次积分都会引入一个常数，你要从题目里的条件求出它的值，通常是 $t=0$ 时的初速度或初位移，或者质点从 $O$ 出发因而那里 $s=0$ 这一事实。漏掉常数是本章代价最高的习惯。

$$v = \int a \, dt, \qquad s = \int v \, dt$$

6. 「静止」即速度为零

质点在 $v=0$ 时瞬间静止。求解 $v=0$ 告诉你质点停顿的时刻，也就是它可能改变方向的时刻。

这一个方程解开了大多数解读题：最大位移、方向改变，以及总路程的分段点，都取决于 $v=0$ 出现在哪里。

7. 最大位移与最大速度

位移在其变化率为零时最大（或最小），即 $v=0$ 时；速度在其变化率为零时最大（或最小），即 $a=0$ 时。这正是「微分」里的转折点思想应用到运动上：求最大位移，就解 $v=0$ 得出 $t$，再代回 $s$；求最大速度，就解 $a=0$，再代入 $v$。

8. 所行总路程不是最终位移

如果质点先向前再向后，它的最终位移可能很小，甚至为零，而它所行的总路程却很大。要求总路程，先解 $v=0$ 找出质点掉头的地方，再算出每一段行程的位移，然后把它们的大小相加。

由于 DSKP 把位移函数限于线性与二次形式，通常至多只有一个掉头时刻要处理。

9. 从符号读出运动

$v$ 的符号告诉你运动的方向；$a$ 的符号告诉你速度在增大还是减小。当 $v$ 与 $a$ 同号时质点加速，异号时质点减速，这正是为何负加速度未必表示质点在减速。

学会从这两个符号讲出运动的过程，能把冗长的文字题变成快速的答案。

直线运动学是微积分的应用，同时用到微分与积分，所以它是一个可靠的得分点，在两张试卷中都可能出现。因为它既有简短的技巧题，也有较长的应用题，题目从常规一直延伸到较有挑战的解题。

试卷一（3472/1）时长 2小时，共 80分，分两个部分。A 部分有 12题，共 64分，全部作答；B 部分有 3题，共 16分，作答 2题。

这里运动学通常以简短的结构式题目出现：对位移函数求导以求速度或加速度、求质点何时静止，或求给定时刻的某个值。

试卷二（3472/2）时长 2小时30分钟，共 100分，分三个部分：A 部分（7题，50分，全部作答）、B 部分（4题，30分，作答 3题）与 C 部分（4题，20分，作答 2题）。这种较长的格式适合更完整的题目：你先积分建立速度与位移函数，套用初始条件，再计算总路程或解读某段区间内的运动。

在两张试卷中，题目按难度以 低 : 中 : 高 = 5 : 3 : 2 的比例分布，所以大多数运动学分数来自常规技巧，任何练熟了两把梯子的人都能拿下。题型是有限作答主观题与结构式题目，你要写出完整步骤，而不是从选项中挑选，这正是清晰方法值得的原因。

你可以使用一个不可编程的科学计算器，试卷采用分析式评分，因此每一个有效的步骤都能得分。

以下是学生初次接触直线运动学时，我们最常纠正的错误。

1. 把距离和位移混为一谈

当质点掉头时，所行总路程会大于净位移。先解 $v=0$ 找出掉头时刻，算出每一段的位移，再把它们的大小相加，不要只读最终时刻的 $s$ 值。

2. 漏掉积分常数

每一次积分都需要一个 $+c$，而你必须从题目给出的条件求出它，例如 $t=0$ 时 $v=0$ 或 $s=0$。省略常数、或让它悬着当未知数的答案，会白白丢掉初始条件本应换来的分数。

3. 忽略符号，把一切当成正的

速度、位移与加速度都是带符号的量。当质点朝负方向运动时却把速度写成正的，会毁掉之后的每一步。

请始终守住你在题目一开始定好的符号约定。

4. 把「静止」和「在原点」搞混

「瞬间静止」表示 $v=0$；「回到 $O$」或「经过出发点」表示 $s=0$。这是不同的方程，通常给出不同的时刻。

求解前先看清题目问的是哪一个。

5. 以为最大位移出现在最大时刻

最大位移出现在 $v=0$ 之处，而不是时间区间的末端。先解 $v=0$ 求出时刻，再代回 $s$ 得出最大值。

6. 把「减速」简单读作负加速度

质点减速是在速度与加速度异号时，而不只是 $a<0$ 时。如果 $v$ 本来就是负的，负加速度其实会让质点加速。

下结论前先比较两个符号，判断它是在加速还是减速。

一套可靠的进攻顺序。学生在这里遇到困难，很少是因为运动学本身难；他们卡住，是因为微分与积分不牢，或是因为丢了符号和常数。

把这两件事修好，本章就会成为中五里最好预料的分数之一。

1. 1

   先立好框架

   每道题一开始，就标出固定点 $O$、选定正方向，并把 $s$、$v$、$a$ 写成 $t$ 的带符号函数。仅这一个习惯就能防住之后大多数错误。

2. 2

   练熟微分那把梯子

   练习快速地走 $s \to v \to a$，并用 $v=0$ 与 $a=0$ 求出静止时刻、最大位移与最大速度。

3. 3

   练熟积分那把梯子

   练习走 $a \to v \to s$，每次都写上常数，并在继续之前从初始条件求出它。

4. 4

   掌握总路程的套路

   把它当成固定流程来练：解 $v=0$，在掉头时刻分段，再把各段位移的大小相加。

5. 5

   在限时中练解读

   只用一个不可编程的科学计算器做限时综合题，从符号讲出方向以及质点是加速还是减速，并写下每一行方法。

配合本章使用以下资源：

• 温习笔记
• 常见错误
• 练习题
• 试卷二作答指南
• 重要术语
• 例题详解，基础
• 例题详解，中等
• 例题详解，KBAT