直线运动学例题（简单）| SPM Add Math

Q: 怎样在位移、速度和加速度之间转换？

求导往下走，积分往上回。由位移，v=dsdtv=\frac{ds}{dt}v=dtds、a=dvdta=\frac{dv}{dt}a=dtdv；由加速度，v=∫a dtv=\int a\,dtv=∫adt、s=∫v dts=\int v\,dts=∫vdt。每次积分都需要一个常数，用给定值确定它。

Q: 「瞬间静止」是什么意思？

指那一刻速度为零，v=0v=0v=0，尽管加速度不一定为零。解 v=0v=0v=0 求 ttt；二次的速度可能给出两个不同的静止时刻。

Q: 积分时一定需要初始条件吗？

是的。积分会留下一个未知常数，所以没有给定值，某时刻的速度或位移，就无法确定具体函数。先代入给定值，再求值。

这些例题涵盖什么

这些简单的直线运动学例题帮你掌握整章依赖的四个动作。两题用微分：速度是位移的变化率， $v=\frac{ds}{dt}$ ，加速度是速度的变化率， $a=\frac{dv}{dt}$ 。

一题用质点瞬间静止的条件，即 $v=0$ 。另外两题用积分来逆转这两步，由加速度求速度、由速度求位移，而题目给出的初始值用来确定积分常数。

这里的数字都小而整齐，你无需计算器就能跟上每一行。先盖住解答，在纸上把题目完整做一遍，然后逐行对照，找出任何差异开始的那一步。

例题解析

把四题都做一遍。在看解答之前先完整尝试每一题，并留意同一套纪律，先写下关系式，再微分或积分，然后仔细代入，如何贯穿每一题。

Q1[4 marks]

一个质点沿直线运动并经过定点 $O$ 。经过 $O$ 后 $t$ 秒时，它离 $O$ 的位移为 $s=t^{3}-3t^{2}+5t$ （单位：米）。

求 (a) 当 $t=2$ 时的速度，及 (b) 当 $t=3$ 时的加速度。

Show worked solution

速度是位移的变化率，所以把 $s$ 对 $t$ 求导。

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-6t+5

代入 $t=2$ 求 (a)：

v|_{t=2}=3(2)^{2}-6(2)+5=12-12+5=5

加速度是速度的变化率，所以再求导一次。

a=\frac{dv}{dt}=6t-6

代入 $t=3$ 求 (b)：

a|_{t=3}=6(3)-6=18-6=12

答案

当 $t=2$ 时速度为 $5\ \text{m s}^{-1}$ ，当 $t=3$ 时加速度为 $12\ \text{m s}^{-2}$ 。

Q2[4 marks]

一个质点沿直线运动。在时间 $t$ 秒时它的速度为 $v=t^{2}-5t+6$ （单位： $\text{m s}^{-1}$ ）。

求 (a) 质点瞬间静止的时刻，及 (b) 当 $t=1$ 时的加速度。

Show worked solution

质点瞬间静止时速度为零，所以解 $v=0$ 。

t^{2}-5t+6=0

把二次式因式分解。

(t-2)(t-3)=0

所以 $t=2$ 或 $t=3$ ；因为 $t\ge 0$ ，两者都成立。

求 (b)，加速度是 $\frac{dv}{dt}$ ，所以把速度求导。

a=\frac{dv}{dt}=2t-5

代入 $t=1$ ：

a|_{t=1}=2(1)-5=-3

答案

质点在 $t=2$ 秒和 $t=3$ 秒瞬间静止。当 $t=1$ 时加速度为 $-3\ \text{m s}^{-2}$ ；负号表示此刻它正在减速。

Q3[4 marks]

一个质点沿直线运动，在时间 $t$ 秒时加速度为 $a=6t-4$ （单位： $\text{m s}^{-2}$ ）。当 $t=0$ 时它的速度为 $5\ \text{m s}^{-1}$ 。

求当 $t=2$ 时的速度。

Show worked solution

速度是加速度对时间的积分，所以积分并加上常数 $c$ 。

v=\int a\,dt=\int (6t-4)\,dt=3t^{2}-4t+c

用初始条件：当 $t=0$ 时 $v=5$ ，求 $c$ 。

5=3(0)^{2}-4(0)+c\ \Rightarrow\ c=5

所以速度函数为：

v=3t^{2}-4t+5

代入 $t=2$ ：

v|_{t=2}=3(2)^{2}-4(2)+5=12-8+5=9

答案

当 $t=2$ 时速度为 $9\ \text{m s}^{-1}$ 。

Q4[3 marks]

一个质点沿直线运动，在时间 $t$ 秒时速度为 $v=3t^{2}-2t$ （单位： $\text{m s}^{-1}$ ）。当 $t=0$ 时它离定点 $O$ 的位移为 $2$ 米。

求当 $t=3$ 时它离 $O$ 的位移。

Show worked solution

位移是速度的积分，所以积分并加上常数 $c$ 。

s=\int v\,dt=\int (3t^{2}-2t)\,dt=t^{3}-t^{2}+c

用当 $t=0$ 时 $s=2$ 求 $c$ 。

2=(0)^{3}-(0)^{2}+c\ \Rightarrow\ c=2

所以位移函数为：

s=t^{3}-t^{2}+2

代入 $t=3$ ：

s|_{t=3}=(3)^{3}-(3)^{2}+2=27-9+2=20

答案

当 $t=3$ 时离 $O$ 的位移为 $20$ 米。

Q5[3 marks]

一个质点沿直线运动，在时间 $t$ 秒（ $t\ge 0$ ）时的速度为 $v=12t-3t^{2}$ （单位： $\text{m s}^{-1}$ ）。求 (a) 加速度为零的时刻，及 (b) 该时刻的速度。

Show worked solution

加速度是速度的变化率，所以把 $v$ 对 $t$ 求导。

a=\frac{dv}{dt}=12-6t

求 (a)，令 $a=0$ 并解出 $t$ 。

12-6t=0\ \Rightarrow\ t=2

求 (b)，把 $t=2$ 代入速度函数。

v|_{t=2}=12(2)-3(2)^{2}=24-12=12

答案

当 $t=2$ 秒时加速度为零，此刻的速度为 $12\ \text{m s}^{-1}$ 。由于加速度在 $t=2$ 处由正变负，这正是质点速度达到最大的时刻。

Q6[2 marks]

一个质点沿直线运动，并在 $t=0$ 时经过定点 $O$ 。它离 $O$ 的位移 $s$ 米，在时间 $t$ 秒时为 $s=t^{2}-6t$ 。

求除 $t=0$ 外，质点再次经过 $O$ 的时刻 $t$ 。

Show worked solution

质点在 $O$ 时 $s=0$ ，所以解这个方程求 $t$ 。

t^{2}-6t=0

因式分解。

t(t-6)=0

所以 $t=0$ 或 $t=6$ ；由于 $t=0$ 是起点，质点在另一个时刻回到 $O$ 。

答案

质点在 $t=6$ 秒时再次经过 $O$ 。

Q7[3 marks]

一个质点沿直线运动，在时间 $t$ 秒时的速度为 $v=4t-2$ （单位： $\text{m s}^{-1}$ ）。求质点在 $t=1$ 秒到 $t=3$ 秒之间的位移。

Show worked solution

两个时间之间的位移，等于速度在该时间区间上的定积分。

\Delta s=\int_{1}^{3}(4t-2)\,dt=\Big[2t^{2}-2t\Big]_{1}^{3}

代入上限和下限求值。

\Delta s=(2(3)^{2}-2(3))-(2(1)^{2}-2(1))=(18-6)-(2-2)=12

答案

$t=1$ 秒到 $t=3$ 秒之间的位移为 $12$ 米。由于这段区间内 $v>0$ ，这也是质点走过的总路程。

Q8[3 marks]

一个质点沿直线运动，并在 $t=0$ 时经过定点 $O$ 。它离 $O$ 的位移 $s$ 米，在时间 $t$ 秒时为 $s=5t-t^{2}$ 。

求当 $t=4$ 时质点的速度，并说明此刻质点是沿正方向还是负方向运动。

Show worked solution

速度是位移的变化率，所以把 $s$ 对 $t$ 求导。

v=\frac{ds}{dt}=5-2t

代入 $t=4$ 。

v|_{t=4}=5-2(4)=5-8=-3

答案

当 $t=4$ 时速度为 $-3\ \text{m s}^{-1}$ 。由于速度为负，此刻质点沿负方向运动（往 $O$ 的方向移动）。

关键方法要点

这四道例题练的是几乎每一道 Add Math 直线运动学题都会用到的技巧。继续练习时记住以下要点。

速度是位移的导数， $v=\frac{ds}{dt}$ ；加速度是速度的导数， $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ 。
质点瞬间静止时 $v=0$ ；解这个方程求 $t$ 。
要逆转这个过程就积分： $v=\int a\,dt$ 和 $s=\int v\,dt$ 。
每次积分都会多一个常数，先用题目给的初始值（某时刻的速度或位移）求出它，再代入。
留意答案的正负号：速度为负表示沿负方向运动，加速度为负表示质点在向前运动时正在减速。

老师如何帮忙

学生在这类题目丢分，往往是一个小而好改的习惯，忘了积分常数，或把负速度当成错误而不是方向。在一对一课堂上，老师会盯住出错的那一行并当场纠正，不让它变成习惯。

我们的老师都经验丰富，所以你跟着一位会解释每一步为什么这样做、而不只是怎么做的老师学习。课程以英语授课，而 SPM 试卷以马来文和英文出题，因此符号对你来说都一样。

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常见问题

怎样在位移、速度和加速度之间转换？

求导往下走，积分往上回。由位移， $v=\frac{ds}{dt}$ 、 $a=\frac{dv}{dt}$ ；由加速度， $v=\int a\,dt$ 、 $s=\int v\,dt$ 。

每次积分都需要一个常数，用给定值确定它。

「瞬间静止」是什么意思？

指那一刻速度为零， $v=0$ ，尽管加速度不一定为零。解 $v=0$ 求 $t$ ；二次的速度可能给出两个不同的静止时刻。

为什么我的答案带负号？

速度为负只是表示质点沿负方向运动，加速度为负表示速度在减小。符号是信息，不是错误，要保留。

积分时一定需要初始条件吗？

是的。积分会留下一个未知常数，所以没有给定值，某时刻的速度或位移，就无法确定具体函数。

先代入给定值，再求值。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

直线运动学，例题（简单）

这些例题涵盖什么

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