积分，例题（中等）

曲线是其斜率函数的积分，所以积分还原 $y$，保留积分常数 $c$：

$c$ 的值由曲线所经过的点确定。代入 $(x,y)=(1,4)$：

所以 $c=4$，曲线方程为：

这样的商不能直接积分。把它拆成分别除以 $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 的两项，再用 $\dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$ 把每一项写成单个幂：

对每个幂积分，指数加一：

现在代入上限 $x=4$、下限 $x=1$。注意 $4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32$，$4^{1/2}=2$：

先令 $y=0$ 并因式分解，求出曲线与 x 轴的交点：

这就是积分的上下限。在 $x=0$ 与 $x=4$ 之间，曲线位于 x 轴上方，所以面积就是 $y$ 的定积分：

代入上下限；下限 $x=0$ 没有贡献：

这是一个线性表达式的复合幂，所以用公式 $\displaystyle\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$，而不是逐项展开括号。这里 $a=2$，$n=3$：

代入上限 $x=1$、下限 $x=0$：

曲线下方的区域绕 x 轴完整旋转一周时，所得体积为 $\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$。这里 $y^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}$，区域从 $x=0$ 到 $x=2$：

先积分，再代入上下限：

这个区域由 y 轴围成，所以要对 $y$ 积分，用 $\displaystyle\text{面积}=\int x\,dy$。把 $y=x^{2}$ 改写成以 $x$ 为主体，取正根（因为曲线位于第一象限）：

该区域从 $y=0$ 到 $y=4$。在这个范围内对 $x$ 关于 $y$ 积分：

代入上下限，注意 $4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8$：

先令直线与曲线的两个 $y$ 表达式相等，求出交点：

这就是积分的上下限。在 $x=-1$ 与 $x=2$ 之间，直线位于曲线上方，所以面积就是（直线 $-$ 曲线）的积分：

代入上下限：

位移是速度的积分，所以对 $v$ 关于 $t$ 积分，并保留积分常数 $c$：

质点在 $t=0$ 时经过 $O$，即 $t=0$ 时 $s=0$。代入求 $c$：

所以 $s=3t^{2}-t^{3}$。代入 $t=2$ 求位移：