Pengamiran Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya mencari persamaan lengkung daripada fungsi kecerunannya?

Kamir fungsi kecerunan untuk mendapat yyy dengan pemalar +c+c+c, kemudian gantikan titik yang diberi untuk menyelesaikan ccc. Tanpa titik itu, anda hanya boleh mencari keluarga lengkung, bukan lengkung tunggal yang diminta.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pengamiran sederhana ini beralih daripada mekanik kepada masalah yang meminta anda menggabungkan dua langkah. Anda akan mencari persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan dan satu titik, menilai kamiran tentu yang mula-mula perlu ditulis semula sebagai kuasa berasingan, dan mencari luas rantau yang dibatasi oleh lengkung dan paksi-x.

Setiap satu masih menggunakan nombor kecil dan kemas, tetapi kini markah memberi ganjaran kepada membaca soalan dengan teliti dan menyusun kerja mengikut urutan. Tutup penyelesaian, cuba setiap satu sepenuhnya di atas kertas, kemudian semak baris demi baris.

Apabila jawapan anda berbeza, jejaki kembali langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian bercapah, di situlah kefahaman berada.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana setiap satu bermula dengan menukar soalan menjadi kamiran yang kemas sebelum sebarang aritmetik bermula.

Q1[4 marks]

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-6x+2$ , dan lengkung itu melalui titik $(1,4)$ . Cari persamaan lengkung tersebut.

Show worked solution

Lengkung ialah kamiran bagi fungsi kecerunannya, jadi kamir untuk mendapat semula $y$ , dengan mengekalkan pemalar pengamiran $c$ :

y=\int (3x^{2}-6x+2)\,dx=x^{3}-3x^{2}+2x+c

Nilai $c$ ditentukan oleh titik yang dilalui lengkung. Gantikan $(x,y)=(1,4)$ :

4=(1)^{3}-3(1)^{2}+2(1)+c=1-3+2+c=c

Jadi $c=4$ , dan persamaan lengkung ialah:

y=x^{3}-3x^{2}+2x+4

Jawapan

Lengkung ialah $y=x^{3}-3x^{2}+2x+4$ . Semak titik: pada $x=1$ , $y=1-3+2+4=4$ , sepadan dengan $(1,4)$ ; dan membezakannya mengembalikan $3x^{2}-6x+2$ , iaitu fungsi kecerunan yang diberi.

Q2[4 marks]

Nilaikan $\int_{1}^{4}\dfrac{x^{2}-2}{\sqrt{x}}\,dx$ .

Show worked solution

Hasil bahagi seperti ini tidak boleh diamir seperti sedia ada. Pecahkan kepada sebutan berasingan atas $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , kemudian tulis setiap satu sebagai kuasa tunggal menggunakan $\dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}$ :

\frac{x^{2}-2}{\sqrt{x}}=\frac{x^{2}}{x^{1/2}}-\frac{2}{x^{1/2}}=x^{3/2}-2x^{-1/2}

Kamir setiap kuasa, naikkan indeks satu:

\int (x^{3/2}-2x^{-1/2})\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}-\frac{2x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}-4x^{1/2}

Kini kenakan had $x=4$ kemudian $x=1$ . Perhatikan $4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32$ dan $4^{1/2}=2$ :

\left[\frac{2}{5}x^{5/2}-4x^{1/2}\right]_{1}^{4}=\left(\frac{2}{5}(32)-4(2)\right)-\left(\frac{2}{5}(1)-4(1)\right)

=\left(\frac{64}{5}-8\right)-\left(\frac{2}{5}-4\right)=\frac{24}{5}-\left(-\frac{18}{5}\right)=\frac{42}{5}

Jawapan

$\int_{1}^{4}\dfrac{x^{2}-2}{\sqrt{x}}\,dx=\dfrac{42}{5}$ (iaitu $8.4$ ). Gerak yang membuka seluruh soalan ialah memecahkan pecahan kepada kuasa berasingan sebelum mengamir, kamiran bagi hasil bahagi bukan hasil bahagi bagi kamiran.

Q3[5 marks]

Lengkung $y=4x-x^{2}$ memotong paksi-x pada dua titik. Cari luas rantau yang dibatasi antara lengkung dan paksi-x.

Show worked solution

Mula-mula cari tempat lengkung memotong paksi-x dengan menetapkan $y=0$ dan memfaktorkan:

4x-x^{2}=0 \;\Rightarrow\; x(4-x)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ atau } x=4

Ini ialah had pengamiran. Antara $x=0$ dan $x=4$ , lengkung terletak di atas paksi-x, jadi luas ialah kamiran tentu bagi $y$ :

\text{Luas}=\int_{0}^{4}(4x-x^{2})\,dx=\left[2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}

Gantikan had; had bawah $x=0$ tidak menyumbang apa-apa:

=\left(2(4)^{2}-\frac{(4)^{3}}{3}\right)-0=32-\frac{64}{3}=\frac{96-64}{3}=\frac{32}{3}

Jawapan

Luas ialah $\dfrac{32}{3}$ unit persegi (kira-kira $10.67$ ). Mencari pintasan dahulu amat penting, ia memberi had yang betul, dan melangkau langkah itu ialah sebab biasa jawapan luas menjadi salah.

Q4[3 marks]

Nilaikan $\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx$ .

Show worked solution

Ini ialah kuasa gubahan bagi ungkapan linear, jadi gunakan petua $\displaystyle\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ , bukannya mengembangkan kurungan sebutan demi sebutan. Di sini $a=2$ dan $n=3$ :

\int (2x+1)^{3}\,dx=\frac{(2x+1)^{4}}{2(4)}+c=\frac{(2x+1)^{4}}{8}+c

Kenakan had $x=1$ kemudian $x=0$ :

\left[\frac{(2x+1)^{4}}{8}\right]_{0}^{1}=\frac{(3)^{4}}{8}-\frac{(1)^{4}}{8}=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=\frac{80}{8}=10

Jawapan

$\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=10$ . Menggunakan petua linear mengelakkan pengembangan $(2x+1)^{3}$ kepada empat sebutan berasingan, sentiasa semak bahawa pekali $a$ berada dalam penyebut bersama $n+1$ .

Q5[4 marks]

Rantau yang dibatasi oleh lengkung $y=x^{2}$ , paksi-x, dan garis $x=2$ dikisarkan $360°$ pada paksi-x. Cari isipadu pepejal yang terhasil.

Show worked solution

Apabila rantau di bawah lengkung dikisarkan sepenuhnya pada paksi-x, isipadu yang terhasil ialah $\displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$ . Di sini $y^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}$ , dan rantau itu bermula dari $x=0$ hingga $x=2$ :

V=\pi\int_{0}^{2}x^{4}\,dx

Kamir, kemudian gantikan had:

V=\pi\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=\pi\left(\frac{32}{5}-0\right)=\frac{32\pi}{5}

Jawapan

Isipadu ialah $\dfrac{32\pi}{5}$ unit padu (kira-kira $20.1$ ). Ingat kuasa duakan $y$ dahulu sebelum mengamir, menggunakan $y$ dan bukannya $y^{2}$ ialah kesilapan paling biasa dalam soalan isipadu kisaran.

Q6[4 marks]

Lengkung $y=x^{2}$ terletak dalam sukuan pertama. Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-y, dan garis $y=4$ .

Show worked solution

Rantau ini dibatasi oleh paksi-y, jadi kamir terhadap $y$ menggunakan $\displaystyle\text{Luas}=\int x\,dy$ . Tulis semula $y=x^{2}$ dengan $x$ sebagai objek, mengambil punca positif kerana lengkung terletak dalam sukuan pertama:

y=x^{2} \;\Rightarrow\; x=\sqrt{y}=y^{1/2}

Rantau itu bermula dari $y=0$ hingga $y=4$ . Kamir $x$ terhadap $y$ merentasi had ini:

\text{Luas}=\int_{0}^{4}y^{1/2}\,dy=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{0}^{4}

Gantikan had, menggunakan $4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8$ :

=\frac{2}{3}(8)-0=\frac{16}{3}

Jawapan

Luas ialah $\dfrac{16}{3}$ unit persegi (kira-kira $5.33$ ). Apabila rantau dibatasi oleh paksi-y dan bukannya paksi-x, tulis semula lengkung dengan $x$ sebagai objek dan kamir terhadap $y$ .

Q7[4 marks]

Cari luas rantau yang dibatasi antara garis $y=x+2$ dan lengkung $y=x^{2}$ .

Show worked solution

Mula-mula cari tempat garis dan lengkung bersilang, dengan menyamakan kedua-dua ungkapan bagi $y$ :

x^{2}=x+2 \;\Rightarrow\; x^{2}-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1 \text{ atau } x=2

Ini ialah had pengamiran. Antara $x=-1$ dan $x=2$ , garis terletak di atas lengkung, jadi luas ialah kamiran bagi (garis $-$ lengkung):

\text{Luas}=\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^{2}\right]dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}

Gantikan had:

=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}

Jawapan

Luas rantau yang dibatasi ialah $\dfrac{9}{2}$ unit persegi ( $4.5$ ). Bagi dua lengkung, sentiasa kamir (atas $-$ bawah), semak graf mana yang berada di atas pada satu titik antara persilangan (contohnya $x=0$ ) untuk mengelakkan kesilapan tanda.

Q8[4 marks]

Suatu zarah bergerak menurut satu garis lurus dan melalui satu titik tetap $O$ apabila $t=0$ . Halajunya, $v \text{ m s}^{-1}$ , pada masa $t$ saat diberi oleh $v=6t-3t^{2}$ .

Cari sesaran zarah itu daripada $O$ apabila $t=2$ .

Show worked solution

Sesaran ialah kamiran bagi halaju, jadi kamir $v$ terhadap $t$ , sambil mengekalkan pemalar pengamiran $c$ :

s=\int (6t-3t^{2})\,dt=3t^{2}-t^{3}+c

Zarah itu melalui $O$ apabila $t=0$ , bermakna $s=0$ pada $t=0$ . Gantikan untuk mencari $c$ :

0=3(0)^{2}-(0)^{3}+c \;\Rightarrow\; c=0

Jadi $s=3t^{2}-t^{3}$ . Gantikan $t=2$ untuk mencari sesaran:

s=3(2)^{2}-(2)^{3}=12-8=4

Jawapan

Sesaran daripada $O$ apabila $t=2$ ialah $4$ m. Frasa 'melalui $O$ apabila $t=0$ ' itulah yang menentukan $c=0$ , tanpanya, formula sesaran hanya diketahui sehingga satu pemalar sahaja.

Perhatikan bentuk sama ketiga-tiganya: baca soalan, tukarkannya menjadi kamiran tentu atau tak tentu dengan had atau pemalar yang betul, kamir dengan kemas, dan barulah gantikan. Apabila anda memisahkan peringkat penyediaan daripada aritmetik, soalan Pengamiran sederhana menjadi markah yang stabil dan boleh dijangka.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih penaakulan yang diberi ganjaran oleh soalan Pengamiran sederhana. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Untuk mendapat semula lengkung daripada $\dfrac{dy}{dx}$ , kamir, kemudian gunakan titik yang diberi untuk mencari pemalar $c$ .
Pecahkan pecahan tunggal kepada sebutan kuasa berasingan sebelum mengamir: $\dfrac{x^{2}-2}{\sqrt{x}}=x^{3/2}-2x^{-1/2}$ .
Nilaikan kuasa had dengan teliti: $4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32$ .
Bagi luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi-x, cari pintasan-x dahulu, itulah had anda.
Luas ialah kuantiti positif; jika kamiran tentu menjadi negatif, rantau itu terletak di bawah paksi.
Susun kerja baris demi baris supaya markah kaedah selamat di bawah pemarkahan analitik.

Bagaimana guru membantu

Pada soalan sederhana, markah biasanya bergantung pada penyediaan, bukan pada pengamiran itu sendiri, terlupa menggunakan titik untuk menentukan $c$ , cuba mengamir pecahan tanpa memecahkannya, atau mencari luas tanpa mencari had dahulu. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan tepat pada peringkat penyediaan, supaya kamiran yang anda tulis ialah yang betul sebelum sebarang aritmetik bermula.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mempelajari kaedah yang boleh diulang, bukan helah sekali guna. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari persamaan lengkung daripada fungsi kecerunannya?

Kamir fungsi kecerunan untuk mendapat $y$ dengan pemalar $+c$ , kemudian gantikan titik yang diberi untuk menyelesaikan $c$ . Tanpa titik itu, anda hanya boleh mencari keluarga lengkung, bukan lengkung tunggal yang diminta.

Mengapa saya tidak boleh mengamir

\dfrac{x^{2}-2}{\sqrt{x}}

terus?

Tiada petua untuk kamiran bagi hasil bahagi. Pecahkan kepada sebutan berasingan dahulu, $x^{3/2}-2x^{-1/2}$ , supaya petua kuasa dikenakan pada setiap sebutan secara berasingan.

Mengapa saya perlukan pintasan-x sebelum mencari luas?

Ia ialah had rantau. Luas antara lengkung dan paksi-x membentang dari satu pintasan ke pintasan seterusnya, jadi mengamir antara nilai yang salah memberi luas yang salah.

Bagaimana jika luas saya menjadi negatif?

Nilai negatif bermakna rantau itu berada di bawah paksi-x pada had tersebut. Luas ialah positif, jadi ambil modulus (magnitud) kamiran bagi bahagian itu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengamiran, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?