积分例题（简单）| SPM Add Math

Q: 什么时候需要 +c？

每个不定积分，也就是没有上下限的那种，都要。它代表一族斜率函数相同的曲线。定积分有上限和下限，就不需要它，因为相减时常数会抵消。

Q: 为什么 \int (ax+b)^{n}\,dx 要除以 a？

因为对 (ax+b)n+1(ax+b)^{n+1}(ax+b)n+1 求导时，链式法则会多带出一个因子 aaa。除以 n+1n+1n+1 之外再除以 aaa，正好把它抵消，这样对答案求导就能回到原括号。

Q: 积分前一定要先改写分数吗？

是的，这是最稳妥的做法。把 2x2\dfrac{2}{x^{2}}x22 写成 2x−22x^{-2}2x−2，就能直接套用幂法则，从而避开直接对分数积分这个常见失误。

Q: 定积分里先代哪个限？

先代上限，再减去下限处的值：F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)。反过来做会翻转符号，丢掉准确度分。

这些例题涵盖什么

这组简单的积分例题帮你打好整章赖以立足的日常动作：对多项式逐项积分并记住积分常数、在积分前把倒数或负幂写好、对线性括号的幂 $(ax+b)^{n}$ 用捷径，以及在两个上下限之间求定积分。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。若答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，指数加一、除以新指数、盯住常数，如何贯穿每一题。

Q1[3 marks]

求 $\int (6x^{2}-4x+3)\,dx$ 。

Show worked solution

逐项积分。每个幂项都用 $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ ，把指数加一并除以新指数；常数 $3$ 积分得 $3x$ 。

\int (6x^{2}-4x+3)\,dx=\frac{6x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{2}+3x+c

化简各系数：

=2x^{3}-2x^{2}+3x+c

答案

$\int (6x^{2}-4x+3)\,dx=2x^{3}-2x^{2}+3x+c$ 。不定积分千万别漏掉 $+c$ 。

求导检验： $\frac{d}{dx}(2x^{3}-2x^{2}+3x+c)=6x^{2}-4x+3$ ，正是原被积函数。

Q2[3 marks]

求 $\int \left(x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)dx$ 。

Show worked solution

积分的幂法则要求每一项都写成 $x$ 的幂。把倒数改写： $\dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}$ 。

\int \left(x^{3}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx=\int (x^{3}-2x^{-2})\,dx

逐项积分，每个指数加一。对 $-2x^{-2}$ ，新指数是 $-2+1=-1$ ：

=\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{-1}}{-1}+c=\frac{x^{4}}{4}+2x^{-1}+c

把负幂写回分数，让答案与题目形式一致：

=\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{x}+c

答案

$\int \left(x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{2}{x}+c$ 。先把 $\dfrac{2}{x^{2}}$ 写成 $2x^{-2}$ 才让幂法则派上用场；除以 $n+1=-1$ 翻转了符号，所以该项变成 $+\dfrac{2}{x}$ 。

Q3[3 marks]

求 $\int (2x+1)^{4}\,dx$ 。

Show worked solution

对线性括号的幂，用 $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ ：把幂加一，然后除以新幂，再除以 $x$ 的系数 $a$ 。这里 $a=2$ ， $n=4$ 。

\int (2x+1)^{4}\,dx=\frac{(2x+1)^{5}}{2\times 5}+c=\frac{(2x+1)^{5}}{10}+c

答案

$\int (2x+1)^{4}\,dx=\dfrac{(2x+1)^{5}}{10}+c$ 。求导检验： $\frac{d}{dx}\dfrac{(2x+1)^{5}}{10}=\dfrac{5(2x+1)^{4}\times 2}{10}=(2x+1)^{4}$ 。

额外除以 $a=2$ 正是学生最常漏掉的一步。

Q4[4 marks]

求 $\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$ 的值。

Show worked solution

先积分求出原函数，定积分不需要 $+c$ ，因为相减时它会抵消。然后用 $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$ 代入上下限。

\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx=\big[x^{3}+2x\big]_{1}^{2}

先代入上限 $x=2$ ，再代入下限 $x=1$ ，然后相减：

=\big(2^{3}+2(2)\big)-\big(1^{3}+2(1)\big)=(8+4)-(1+2)=12-3=9

答案

$\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx=9$ 。永远先代上限、再减下限；颠倒顺序会翻转答案的符号。

Q5[3 marks]

某曲线的斜率函数为 $\dfrac{dy}{dx}=4x-3$ ，且曲线经过点 $(1,5)$ 。求该曲线的方程。

Show worked solution

先对斜率函数积分，得到用 $x$ 表示的 $y$ ，其中积分常数 $c$ 还需要求出。

y=\int (4x-3)\,dx=2x^{2}-3x+c

代入已知点 $x=1,\,y=5$ 求出 $c$ 。

5=2(1)^{2}-3(1)+c=-1+c\ \Rightarrow\ c=6

答案

该曲线的方程为 $y=2x^{2}-3x+6$ 。单靠斜率函数只能得到一整族曲线；已知点通过确定 $c$ 选出其中这一条。

Q6[2 marks]

求 $\int (6\sqrt{x}+1)\,dx$ 。

Show worked solution

把 $\sqrt{x}$ 写成分数指数 $x^{1/2}$ ，这样就能直接套用幂法则。

\int (6\sqrt{x}+1)\,dx=\int (6x^{1/2}+1)\,dx

逐项积分，把 $x^{1/2}$ 的指数加一变成 $\tfrac{3}{2}$ 。

=\frac{6x^{3/2}}{3/2}+x+c=4x^{3/2}+x+c

答案

$\int (6\sqrt{x}+1)\,dx=4x^{3/2}+x+c$ 。求导检验： $\frac{d}{dx}(4x^{3/2}+x+c)=4\times\frac{3}{2}x^{1/2}+1=6\sqrt{x}+1$ 。

Q7[3 marks]

求 $\int \dfrac{x^{3}+4x}{x}\,dx$ 。

Show worked solution

积分前先把分子的每一项除以 $x$ ，让这个分式变成 $x$ 的幂的和。

\frac{x^{3}+4x}{x}=\frac{x^{3}}{x}+\frac{4x}{x}=x^{2}+4

现在对化简后的式子逐项积分。

\int (x^{2}+4)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+4x+c

答案

$\int \dfrac{x^{3}+4x}{x}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+4x+c$ 。先化简分式，避免直接对商式积分，幂法则处理不了这种形式。

Q8[2 marks]

已知 $\int_{2}^{5} f(x)\,dx=6$ ，且 $\int_{5}^{8} f(x)\,dx=3$ ，求 $\int_{2}^{8} f(x)\,dx$ 的值。

Show worked solution

利用相邻区间的两个积分相加等于合并区间积分的性质。

\int_{2}^{8} f(x)\,dx=\int_{2}^{5} f(x)\,dx+\int_{5}^{8} f(x)\,dx

=6+3=9

答案

$\int_{2}^{8} f(x)\,dx=9$ 。这里完全不需要求原函数，共用的上下限 $x=5$ 让两个已知积分可以直接相加。

这四题表面各异，底下的套路却一致：把每一项都化成幂的形式、一项一项仔细积分、把常数或上下限时刻放在眼前。正是这份稳定，把《积分》变成两张试卷里都可靠的得分点。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 积分题都要用到的技能。多做练习时，记住以下几点。

用 $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ 对幂项积分：指数加一、除以新指数。
每个不定积分都要加积分常数 $+c$ ；定积分则不需要。
在积分前把倒数与根式写成幂， $\dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}$ ， $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 。
对线性括号， $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ ；别忘了除以 $a$ 。
对定积分，求 $F(b)-F(a)$ ，先代入上限。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行正确的积分仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，通常是一个可以纠正的小习惯，漏了 $+c$ 、倒数没有先改写，或在线性括号法则里忘了除以 $a$ 。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

什么时候需要

+c

？

每个不定积分，也就是没有上下限的那种，都要。它代表一族斜率函数相同的曲线。

定积分有上限和下限，就不需要它，因为相减时常数会抵消。

为什么

\int (ax+b)^{n}\,dx

要除以

a

？

因为对 $(ax+b)^{n+1}$ 求导时，链式法则会多带出一个因子 $a$ 。除以 $n+1$ 之外再除以 $a$ ，正好把它抵消，这样对答案求导就能回到原括号。

积分前一定要先改写分数吗？

是的，这是最稳妥的做法。把 $\dfrac{2}{x^{2}}$ 写成 $2x^{-2}$ ，就能直接套用幂法则，从而避开直接对分数积分这个常见失误。

定积分里先代哪个限？

先代上限，再减去下限处的值： $F(b)-F(a)$ 。反过来做会翻转符号，丢掉准确度分。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

积分，例题（简单）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？