Pengamiran Contoh Kerja (Mudah)

Q: Mengapa saya bahagi dengan a bagi \int (ax+b)^{n}\,dx?

Kerana membezakan (ax+b)n+1(ax+b)^{n+1}(ax+b)n+1 mengeluarkan faktor tambahan aaa melalui petua rantai. Membahagi dengan aaa serta dengan n+1n+1n+1 menghapuskannya, supaya membezakan jawapan anda mengembalikan kurungan asal.

Q: Perlukah saya menulis semula pecahan sebelum mengamir?

Ya, itu laluan paling selamat. Menulis 2x2\dfrac{2}{x^{2}}x22 sebagai 2x−22x^{-2}2x−2 membolehkan petua kuasa dikenakan terus, jadi anda mengelak kesilapan biasa iaitu cuba mengamir pecahan seperti sedia ada.

Q: Had mana saya gantikan dahulu dalam kamiran tentu?

Had atas, kemudian tolak nilai daripada had bawah: F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a). Melakukannya secara songsang menukar tanda dan menghilangkan markah ketepatan.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pengamiran mudah ini membina gerak harian yang menjadi tunjang seluruh bab: mengamir polinomial sebutan demi sebutan dan mengingati pemalar pengamiran, menulis semula salingan atau kuasa negatif sebelum mengamir, menggunakan jalan pintas untuk kurungan linear berkuasa $(ax+b)^{n}$ , dan menilai kamiran tentu antara dua had. Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris dengan kerja kami. Di mana jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, naikkan indeks satu, bahagi dengan indeks baharu, dan jejak pemalar, mengalir dalam setiap satu.

Q1[3 marks]

Cari $\int (6x^{2}-4x+3)\,dx$ .

Show worked solution

Kamir sebutan demi sebutan. Bagi setiap sebutan kuasa, gunakan $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ , naikkan indeks satu dan bahagi dengan indeks baharu; pemalar $3$ mengamir kepada $3x$ .

\int (6x^{2}-4x+3)\,dx=\frac{6x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{2}+3x+c

Permudahkan setiap pekali:

=2x^{3}-2x^{2}+3x+c

Jawapan

$\int (6x^{2}-4x+3)\,dx=2x^{3}-2x^{2}+3x+c$ . Jangan sesekali tinggalkan $+c$ pada kamiran tak tentu.

Semak dengan membezakan: $\frac{d}{dx}(2x^{3}-2x^{2}+3x+c)=6x^{2}-4x+3$ , iaitu kamiran asal.

Q2[3 marks]

Cari $\int \left(x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)dx$ .

Show worked solution

Petua kuasa untuk pengamiran memerlukan setiap sebutan ditulis sebagai kuasa $x$ . Tulis semula salingan: $\dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}$ .

\int \left(x^{3}-\frac{2}{x^{2}}\right)dx=\int (x^{3}-2x^{-2})\,dx

Kamir setiap sebutan, naikkan setiap indeks satu. Bagi $-2x^{-2}$ , indeks baharu ialah $-2+1=-1$ :

=\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{-1}}{-1}+c=\frac{x^{4}}{4}+2x^{-1}+c

Tulis semula kuasa negatif sebagai pecahan supaya jawapan sepadan dengan bentuk soalan:

=\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{x}+c

Jawapan

$\int \left(x^{3}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)dx=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{2}{x}+c$ . Menulis semula $\dfrac{2}{x^{2}}$ sebagai $2x^{-2}$ dahulu yang membolehkan petua kuasa dikenakan; membahagi dengan $n+1=-1$ menukar tanda, itulah sebabnya sebutan menjadi $+\dfrac{2}{x}$ .

Q3[3 marks]

Cari $\int (2x+1)^{4}\,dx$ .

Show worked solution

Bagi kurungan linear berkuasa, gunakan $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ : naikkan kuasa satu, kemudian bahagi dengan kuasa baharu dan dengan $a$ , iaitu pekali $x$ . Di sini $a=2$ dan $n=4$ .

\int (2x+1)^{4}\,dx=\frac{(2x+1)^{5}}{2\times 5}+c=\frac{(2x+1)^{5}}{10}+c

Jawapan

$\int (2x+1)^{4}\,dx=\dfrac{(2x+1)^{5}}{10}+c$ . Semak dengan membezakan: $\frac{d}{dx}\dfrac{(2x+1)^{5}}{10}=\dfrac{5(2x+1)^{4}\times 2}{10}=(2x+1)^{4}$ .

Membahagi tambahan dengan $a=2$ ialah langkah yang paling kerap terlepas.

Q4[4 marks]

Nilaikan $\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx$ .

Show worked solution

Mula-mula kamir untuk mendapat kamiran, tiada $+c$ diperlukan bagi kamiran tentu, kerana ia terhapus apabila anda menolak. Kemudian kenakan had dengan $\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$ .

\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx=\big[x^{3}+2x\big]_{1}^{2}

Gantikan had atas $x=2$ , kemudian had bawah $x=1$ , dan tolak:

=\big(2^{3}+2(2)\big)-\big(1^{3}+2(1)\big)=(8+4)-(1+2)=12-3=9

Jawapan

$\int_{1}^{2}(3x^{2}+2)\,dx=9$ . Sentiasa gantikan had atas dahulu dan tolak had bawah; menyongsangkan susunan menukar tanda jawapan anda.

Q5[3 marks]

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah $\dfrac{dy}{dx}=4x-3$ , dan lengkung itu melalui titik $(1,5)$ . Cari persamaan lengkung itu.

Show worked solution

Kamir fungsi kecerunan untuk mendapatkan $y$ dalam sebutan $x$ , dengan pemalar pengamiran $c$ yang masih perlu dicari.

y=\int (4x-3)\,dx=2x^{2}-3x+c

Gantikan titik yang diberi $x=1,\,y=5$ untuk mencari $c$ .

5=2(1)^{2}-3(1)+c=-1+c\ \Rightarrow\ c=6

Jawapan

Persamaan lengkung itu ialah $y=2x^{2}-3x+6$ . Fungsi kecerunan sahaja memberikan seluruh keluarga lengkung; titik yang diberi memilih ahli tertentu ini dengan menetapkan $c$ .

Q6[2 marks]

Cari $\int (6\sqrt{x}+1)\,dx$ .

Show worked solution

Tulis $\sqrt{x}$ sebagai kuasa pecahan, $x^{1/2}$ , supaya petua kuasa boleh dikenakan terus.

\int (6\sqrt{x}+1)\,dx=\int (6x^{1/2}+1)\,dx

Kamir setiap sebutan, naikkan indeks $x^{1/2}$ satu kepada $\tfrac{3}{2}$ .

=\frac{6x^{3/2}}{3/2}+x+c=4x^{3/2}+x+c

Jawapan

$\int (6\sqrt{x}+1)\,dx=4x^{3/2}+x+c$ . Semak dengan membezakan: $\frac{d}{dx}(4x^{3/2}+x+c)=4\times\frac{3}{2}x^{1/2}+1=6\sqrt{x}+1$ .

Q7[3 marks]

Cari $\int \dfrac{x^{3}+4x}{x}\,dx$ .

Show worked solution

Sebelum mengamir, bahagikan setiap sebutan dalam pengangka dengan $x$ supaya pecahan itu menjadi hasil tambah kuasa $x$ .

\frac{x^{3}+4x}{x}=\frac{x^{3}}{x}+\frac{4x}{x}=x^{2}+4

Sekarang kamir ungkapan yang dipermudahkan itu sebutan demi sebutan.

\int (x^{2}+4)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+4x+c

Jawapan

$\int \dfrac{x^{3}+4x}{x}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+4x+c$ . Mempermudahkan pecahan dahulu mengelakkan cubaan mengamir hasil bahagi secara terus, yang tidak boleh dikendalikan oleh petua kuasa.

Q8[2 marks]

Diberi bahawa $\int_{2}^{5} f(x)\,dx=6$ dan $\int_{5}^{8} f(x)\,dx=3$ , cari nilai $\int_{2}^{8} f(x)\,dx$ .

Show worked solution

Gunakan sifat bahawa dua kamiran ke atas selang yang bersambung boleh dijumlahkan untuk memberikan kamiran ke atas selang gabungan.

\int_{2}^{8} f(x)\,dx=\int_{2}^{5} f(x)\,dx+\int_{5}^{8} f(x)\,dx

=6+3=9

Jawapan

$\int_{2}^{8} f(x)\,dx=9$ . Tiada kamiran sebenar diperlukan di sini, had sepunya $x=5$ membolehkan kedua-dua kamiran yang diberi dijumlahkan terus.

Walau berbeza rupa keempat-empatnya, rutin di sebaliknya sama: masukkan setiap sebutan ke dalam bentuk kuasa, kamir dengan teliti satu sebutan pada satu masa, dan pastikan pemalar atau had sentiasa jelas. Kestabilan itulah yang menukar Pengamiran menjadi sumber markah yang boleh dipercayai dalam kedua-dua kertas.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran yang membuka hampir setiap soalan Pengamiran dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Kamir sebutan kuasa dengan $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ : naikkan indeks satu, bahagi dengan indeks baharu.
Setiap kamiran tak tentu memerlukan pemalar pengamiran $+c$ ; kamiran tentu tidak memerlukannya.
Tulis semula salingan dan punca sebagai kuasa, $\dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}$ , $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , sebelum mengamir.
Bagi kurungan linear, $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ ; jangan lupa bahagi dengan $a$ .
Bagi kamiran tentu, nilaikan $F(b)-F(a)$ , gantikan had atas dahulu.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris pengamiran yang betul masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia biasanya satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, $+c$ yang tertinggal, salingan yang tidak ditulis semula, atau terlupa membahagi dengan $a$ dalam petua kurungan linear. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya perlukan

+c

Pada setiap kamiran tak tentu, iaitu yang tiada had. Ia mewakili keluarga lengkung yang semuanya berkongsi fungsi kecerunan yang sama.

Kamiran tentu, dengan had atas dan bawah, tidak memerlukannya kerana pemalar itu terhapus apabila anda menolak.

Mengapa saya bahagi dengan

a

bagi

\int (ax+b)^{n}\,dx

Kerana membezakan $(ax+b)^{n+1}$ mengeluarkan faktor tambahan $a$ melalui petua rantai. Membahagi dengan $a$ serta dengan $n+1$ menghapuskannya, supaya membezakan jawapan anda mengembalikan kurungan asal.

Perlukah saya menulis semula pecahan sebelum mengamir?

Ya, itu laluan paling selamat. Menulis $\dfrac{2}{x^{2}}$ sebagai $2x^{-2}$ membolehkan petua kuasa dikenakan terus, jadi anda mengelak kesilapan biasa iaitu cuba mengamir pecahan seperti sedia ada.

Had mana saya gantikan dahulu dalam kamiran tentu?

Had atas, kemudian tolak nilai daripada had bawah: $F(b)-F(a)$ . Melakukannya secara songsang menukar tanda dan menghilangkan markah ketepatan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengamiran, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?