积分练习题 | SPM Add Math

Q: 我是不是每次都要写 +c？

是的，每一个不定积分都要写。积分是求导的逆运算，任何常数求导都为零，所以必须写上常数 ccc 来表示整族答案。在定积分中，相减时常数会抵消，因此那里不需要写。

Q: \dfrac{1}{x^{2}} 或根号该怎么积分？

先改写成幂。1x2=x−2\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}x21=x−2，x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}x=x1/2，然后照常用 ∫axn dx=an+1xn+1+c\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c∫axndx=n+1axn+1+c。唯一失效的是 n=−1n=-1n=−1 的情形，那超出本章范围。

Q: 面积公式和体积公式有什么区别？

曲线下的面积是 ∫aby dx\int_{a}^{b} y\,dx∫abydx，而该区域绕 xxx 轴旋转所得的体积是 π∫aby2 dx\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dxπ∫aby2dx。体积公式要把 yyy 平方并乘以 π\piπ；把两者混用是常见错误。

Q: 怎样快速检验积分答案？

把它求导。如果积分正确，求导后会回到原来的被积函数。这一步检验能在丢分之前抓出大多数符号和系数错误。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章，从最基本的不定积分，一直到旋转体的体积，逐题加深。每题给自己大约五到八分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，写出所用的法则，清楚地代入指数或积分上下限，然后写出最终答案。

不定积分千万别漏掉任意常数 $c$ ，也要忍住偷看的冲动。

只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。

由于 Add Math 采用分析式评分，即使算术出错，一条正确写出的法则仍能拿分，所以务必先写积分法则，再代入，并用求导把不定积分验回去。

六道练习题

Q1[3 marks]

求 $\displaystyle\int (6x^{2}-4x+5)\,dx$ 。

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用幂法则 $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ 逐项积分，并在最后加上一个任意常数 $c$ ：

\int (6x^{2}-4x+5)\,dx=\frac{6}{3}x^{3}-\frac{4}{2}x^{2}+5x+c

=2x^{3}-2x^{2}+5x+c

答案

积分为 $2x^{3}-2x^{2}+5x+c$ 。用求导检验： $\dfrac{d}{dx}\left(2x^{3}-2x^{2}+5x+c\right)=6x^{2}-4x+5$ ，正是原被积函数。

Q2[3 marks]

求 $\displaystyle\int \left(4x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx$ 。

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先把 $\dfrac{1}{x^{2}}$ 写成 $x^{-2}$ ，使幂法则适用，再逐项积分。注意第二项的 $n+1=-1$ ：

\int \left(4x^{3}-x^{-2}\right)dx=\frac{4}{4}x^{4}-\frac{x^{-1}}{-1}+c

=x^{4}+x^{-1}+c=x^{4}+\frac{1}{x}+c

答案

积分为 $x^{4}+\dfrac{1}{x}+c$ 。检验： $\dfrac{d}{dx}\left(x^{4}+x^{-1}\right)=4x^{3}-x^{-2}=4x^{3}-\dfrac{1}{x^{2}}$ 。

Q3[3 marks]

求 $\displaystyle\int (2x+1)^{3}\,dx$ 。

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对一次括号的幂，用 $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ 。此处 $a=2$ ， $n=3$ ，所以 $a(n+1)=2\times 4=8$ ：

\int (2x+1)^{3}\,dx=\frac{(2x+1)^{4}}{2(4)}+c=\frac{(2x+1)^{4}}{8}+c

答案

积分为 $\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}+c$ 。检验：用链式法则， $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}=\dfrac{4(2x+1)^{3}\times 2}{8}=(2x+1)^{3}$ 。

Q4[4 marks]

某曲线的斜率函数为 $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ ，且曲线经过点 $(2,5)$ 。求该曲线的方程。

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曲线是其斜率函数的积分，所以积分即可求回 $y$ ，并保留常数 $c$ ：

y=\int (3x^{2}-4x)\,dx=x^{3}-2x^{2}+c

用点 $(2,5)$ 确定 $c$ ：代入 $x=2$ 、 $y=5$ ：

5=(2)^{3}-2(2)^{2}+c=8-8+c \;\Rightarrow\; c=5

y=x^{3}-2x^{2}+5

答案

方程为 $y=x^{3}-2x^{2}+5$ 。检验：当 $x=2$ 时 $y=8-8+5=5$ ，求导得 $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ ，两者都符合要求。

Q5[4 marks]

求由曲线 $y=x^{2}+1$ 、 $x$ 轴，以及直线 $x=0$ 与 $x=2$ 所围成区域的面积。

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位于 $x$ 轴上方的曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $\displaystyle\int_{a}^{b} y\,dx$ 。此处区域由 $x=0$ 到 $x=2$ ：

\text{面积}=\int_{0}^{2}(x^{2}+1)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2}

代入上限，再减去下限处的值：

=\left(\frac{8}{3}+2\right)-(0)=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=\frac{14}{3}

答案

面积为 $\dfrac{14}{3}$ （约 $4.67$ ）平方单位。由于在 $0\le x\le 2$ 上始终 $y=x^{2}+1>0$ ，整个区域都在轴上方，积分为正。

Q6[5 marks]

由直线 $y=2x$ 、 $x$ 轴与直线 $x=3$ 所围成的区域绕 $x$ 轴旋转 $360^{\circ}$ 。求所生成立体的体积，以 $\pi$ 表示。

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绕 $x$ 轴旋转 $360^{\circ}$ 的区域，其体积为 $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ 。由 $y=2x$ 得 $y^{2}=4x^{2}$ ，区域由 $x=0$ 到 $x=3$ ：

V=\pi\int_{0}^{3}(2x)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{3}4x^{2}\,dx

=\pi\left[\frac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\pi\left(\frac{4(27)}{3}-0\right)=36\pi

答案

体积为 $36\pi$ 立方单位。用圆锥公式检验：该立体是底半径 $r=2(3)=6$ 、高 $h=3$ 的圆锥，故 $V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\tfrac{1}{3}\pi(36)(3)=36\pi$ ，与结果一致。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个数字。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看法则是否正确、指数或上下限的代入是否正确、最终陈述是否清楚。

方法分：你是否写出了正确的法则， $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ 、 $(ax+b)^{n}$ 法则、面积公式 $\int y\,dx$ ，或体积公式 $\pi\int y^{2}\,dx$ ？
常数分：在不定积分中，你是否写了 $+c$ ？漏掉它，即使其余都对也会丢分。
上下限分：在定积分中，你是否在上限代入原函数，再减去下限处的值，且顺序正确？
答案分：最终数值或表达式是否清楚写出，不定积分能否经得起「求导验回被积函数」的检验？
对面积或体积，要确认区域在轴的上方（若跨越轴则分段），以免积分意外变成负值。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行，漏写的 $+c$ 、把幂法则用在 $(2x+1)^{3}$ 上却没除以多出来的因子 $2$ ，或把上下限代反了，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一条法则「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

我是不是每次都要写

+c

？

是的，每一个不定积分都要写。积分是求导的逆运算，任何常数求导都为零，所以必须写上常数 $c$ 来表示整族答案。

在定积分中，相减时常数会抵消，因此那里不需要写。

\dfrac{1}{x^{2}}

或根号该怎么积分？

先改写成幂。 $\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ ， $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ，然后照常用 $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ 。

唯一失效的是 $n=-1$ 的情形，那超出本章范围。

面积公式和体积公式有什么区别？

曲线下的面积是 $\int_{a}^{b} y\,dx$ ，而该区域绕 $x$ 轴旋转所得的体积是 $\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ 。体积公式要把 $y$ 平方并乘以 $\pi$ ；把两者混用是常见错误。

怎样快速检验积分答案？

把它求导。如果积分正确，求导后会回到原来的被积函数。

这一步检验能在丢分之前抓出大多数符号和系数错误。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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