Pengamiran Soalan Latihan

Q: Bagaimana saya mengamirkan \dfrac{1}{x^{2}} atau punca kuasa dua?

Tulis semula sebagai kuasa dahulu. 1x2=x−2\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}x21=x−2 dan x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}x=x1/2, kemudian kenakan ∫axn dx=an+1xn+1+c\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c∫axndx=n+1axn+1+c seperti biasa. Satu-satunya nilai yang gagal ialah n=−1n=-1n=−1, yang di luar bab ini.

Q: Apakah perbezaan antara rumus luas dan rumus isipadu?

Luas di bawah lengkung ialah ∫aby dx\int_{a}^{b} y\,dx∫abydx, manakala isipadu apabila rantau itu dikisarkan pada paksi-xxx ialah π∫aby2 dx\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dxπ∫aby2dx. Rumus isipadu mengkuasaduakan yyy dan mendarab dengan π\piπ; mencampuradukkan kedua-duanya ialah kesilapan lazim.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada kamiran tak tentu biasa hingga isipadu pepejal kisaran. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, petua yang digunakan, penggantian kuasa atau had yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Jangan sekali-kali lupa pemalar sebarangan $c$ pada kamiran tak tentu, dan tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, petua yang dipetik dengan betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir, jadi tulis petua pengamiran sebelum anda menggantikan, dan semak kamiran tak tentu dengan membezakannya semula.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Cari $\displaystyle\int (6x^{2}-4x+5)\,dx$ .

Show worked solution

Kamirkan sebutan demi sebutan dengan petua kuasa $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ , dan tambah satu pemalar sebarangan $c$ pada hujungnya:

\int (6x^{2}-4x+5)\,dx=\frac{6}{3}x^{3}-\frac{4}{2}x^{2}+5x+c

=2x^{3}-2x^{2}+5x+c

Jawapan

Kamirannya ialah $2x^{3}-2x^{2}+5x+c$ . Semak dengan membezakan: $\dfrac{d}{dx}\left(2x^{3}-2x^{2}+5x+c\right)=6x^{2}-4x+5$ , iaitu integran asal.

Q2[3 marks]

Cari $\displaystyle\int \left(4x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx$ .

Show worked solution

Tulis semula $\dfrac{1}{x^{2}}$ sebagai $x^{-2}$ supaya petua kuasa terpakai, kemudian kamirkan setiap sebutan. Perhatikan bahawa $n+1=-1$ bagi sebutan kedua:

\int \left(4x^{3}-x^{-2}\right)dx=\frac{4}{4}x^{4}-\frac{x^{-1}}{-1}+c

=x^{4}+x^{-1}+c=x^{4}+\frac{1}{x}+c

Jawapan

Kamirannya ialah $x^{4}+\dfrac{1}{x}+c$ . Semak: $\dfrac{d}{dx}\left(x^{4}+x^{-1}\right)=4x^{3}-x^{-2}=4x^{3}-\dfrac{1}{x^{2}}$ .

Q3[3 marks]

Cari $\displaystyle\int (2x+1)^{3}\,dx$ .

Show worked solution

Bagi kurungan linear yang dinaikkan kepada kuasa, guna $\int (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c$ . Di sini $a=2$ dan $n=3$ , jadi $a(n+1)=2\times 4=8$ :

\int (2x+1)^{3}\,dx=\frac{(2x+1)^{4}}{2(4)}+c=\frac{(2x+1)^{4}}{8}+c

Jawapan

Kamirannya ialah $\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}+c$ . Semak: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}=\dfrac{4(2x+1)^{3}\times 2}{8}=(2x+1)^{3}$ , menggunakan petua rantai.

Q4[4 marks]

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ , dan lengkung itu melalui titik $(2,5)$ . Cari persamaan lengkung itu.

Show worked solution

Lengkung itu ialah kamiran fungsi kecerunannya, jadi kamirkan untuk mendapatkan semula $y$ , dengan mengekalkan pemalar $c$ :

y=\int (3x^{2}-4x)\,dx=x^{3}-2x^{2}+c

Guna titik $(2,5)$ untuk menetapkan $c$ : gantikan $x=2$ dan $y=5$ :

5=(2)^{3}-2(2)^{2}+c=8-8+c \;\Rightarrow\; c=5

y=x^{3}-2x^{2}+5

Jawapan

Persamaannya ialah $y=x^{3}-2x^{2}+5$ . Semak: pada $x=2$ , $y=8-8+5=5$ , dan pembezaan memberi $\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-4x$ , kedua-duanya seperti dikehendaki.

Q5[4 marks]

Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkung $y=x^{2}+1$ , paksi- $x$ , dan garis $x=0$ serta $x=2$ .

Show worked solution

Luas antara lengkung yang terletak di atas paksi- $x$ dengan paksi- $x$ ialah $\displaystyle\int_{a}^{b} y\,dx$ . Di sini rantau itu bermula dari $x=0$ hingga $x=2$ :

\text{Luas}=\int_{0}^{2}(x^{2}+1)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2}

Gantikan had atas, kemudian tolak nilai pada had bawah:

=\left(\frac{8}{3}+2\right)-(0)=\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=\frac{14}{3}

Jawapan

Luasnya ialah $\dfrac{14}{3}$ (kira-kira $4.67$ ) unit persegi. Oleh sebab $y=x^{2}+1>0$ sepanjang $0\le x\le 2$ , seluruh rantau terletak di atas paksi dan kamiran itu positif.

Q6[5 marks]

Rantau yang dibatasi oleh garis $y=2x$ , paksi- $x$ dan garis $x=3$ dikisarkan $360^{\circ}$ pada paksi- $x$ . Cari isipadu pepejal yang terjana, dalam sebutan $\pi$ .

Show worked solution

Bagi rantau yang dikisarkan $360^{\circ}$ pada paksi- $x$ , isipadunya ialah $V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ . Dengan $y=2x$ kita ada $y^{2}=4x^{2}$ , dan rantau itu bermula dari $x=0$ hingga $x=3$ :

V=\pi\int_{0}^{3}(2x)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{3}4x^{2}\,dx

=\pi\left[\frac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\pi\left(\frac{4(27)}{3}-0\right)=36\pi

Jawapan

Isipadunya ialah $36\pi$ unit padu. Semak dengan rumus kon: pepejal itu ialah kon berjejari $r=2(3)=6$ dan tinggi $h=3$ , jadi $V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\tfrac{1}{3}\pi(36)(3)=36\pi$ , yang sepadan.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari petua yang betul, penggantian kuasa atau had yang tepat, dan pernyataan akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda memetik petua yang betul, $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ , petua $(ax+b)^{n}$ , rumus luas $\int y\,dx$ , atau rumus isipadu $\pi\int y^{2}\,dx$ ?
Markah pemalar: pada kamiran tak tentu, adakah anda menulis $+c$ ? Meninggalkannya menyebabkan markah hilang walaupun yang lain betul.
Markah had: pada kamiran tentu, adakah anda menilai kamiran pada had atas dan menolak nilai pada had bawah, mengikut susunan itu?
Markah jawapan: adakah nilai atau ungkapan akhir dinyatakan dengan jelas, dan bolehkah kamiran tak tentu bertahan apabila disemak dengan membezakannya semula kepada integran?
Bagi luas atau isipadu, sahkan rantau itu terletak di atas paksi (atau pisahkannya di tempat ia menyilang) supaya kamiran tidak menjadi negatif secara tidak sengaja.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, $+c$ yang tertinggal, petua kuasa dikenakan pada $(2x+1)^{3}$ tanpa membahagi dengan faktor tambahan $2$ , atau had digantikan dalam susunan salah, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap petua. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Adakah saya sentiasa perlu menulis

+c

Ya, pada setiap kamiran tak tentu. Pengamiran menyongsangkan pembezaan, dan sebarang pemalar membeza kepada sifar, jadi pemalar $c$ mesti ditulis untuk menggambarkan seluruh keluarga jawapan.

Pada kamiran tentu, pemalar itu terhapus apabila anda menolak, jadi ia tidak diperlukan di situ.

Bagaimana saya mengamirkan

\dfrac{1}{x^{2}}

atau punca kuasa dua?

Tulis semula sebagai kuasa dahulu. $\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ dan $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , kemudian kenakan $\int ax^{n}\,dx=\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ seperti biasa.

Satu-satunya nilai yang gagal ialah $n=-1$ , yang di luar bab ini.

Apakah perbezaan antara rumus luas dan rumus isipadu?

Luas di bawah lengkung ialah $\int_{a}^{b} y\,dx$ , manakala isipadu apabila rantau itu dikisarkan pada paksi- $x$ ialah $\pi\int_{a}^{b} y^{2}\,dx$ . Rumus isipadu mengkuasaduakan $y$ dan mendarab dengan $\pi$ ; mencampuradukkan kedua-duanya ialah kesilapan lazim.

Bagaimana saya boleh menyemak jawapan pengamiran dengan cepat?

Bezakannya. Jika kamiran anda betul, membezakannya akan mengembalikan integran asal.

Semakan tunggal ini menangkap kebanyakan ralat tanda dan pekali sebelum anda kehilangan markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pengamiran, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?