微分例题（中等）| SPM Add Math

Q: 什么时候用乘积法则，而不是直接展开？

对像 (2x+1)(x2−3)(2x+1)(x^{2}-3)(2x+1)(x2−3) 这样的简单乘积，两种都行，展开还是很好的检验。当因式更难展开时，乘积法则就变得必要，所以即使展开也可行，也值得练它。

Q: 商法则最常见的错误是什么？

把分子写成 uv′−u′vuv'-u'vuv′−u′v 而不是 u′v−uv′u'v-uv'u′v−uv′。顺序很重要。一个可靠的记忆法是：上式的导数排在前面，u′v−uv′u'v-uv'u′v−uv′，整体除以 v2v^{2}v2。

Q: 二阶导数怎样区分极大与极小？

在驻点上求 d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y 的值。为负，该点是极大；为正，是极小。只要二阶导数容易算且不为零，它就是最快的判别法。

Q: 如果驻点处二阶导数为零怎么办？

那么这个判别法失效，你要退回去检查该点前后 dydx\frac{dy}{dx}dxdy 的符号。在这些例题中二阶导数不为零，所以快速判别法能直接定案。

这些例题涵盖什么

这组中等的微分例题从单项升级到两条组合法则，以及曲线的形状。你会在两个括号相乘时用乘积法则 $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$ ，在分数上用商法则 $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ ，并用二阶导数判断驻点是极大还是极小。

数字保持小而干净，方法不会被杂乱的算术盖住。先把解答盖住，在纸上完整做一遍，再逐行对照，若出现分歧，就锁定发生的那一步。

那正是值得学习的一行。

例题解析

三题全部做完。把它们串起来的习惯，是动手前先给各部分命名：先定好 $u$ 与 $v$ ，写下 $u'$ 与 $v'$ ，然后才拼出法则。

Q1[4 marks]

用乘积法则，对 $x$ 求 $y=(2x+1)(x^{2}-3)$ 的导数。

Show worked solution

给两个因式命名并各自求导。令 $u=2x+1$ ， $v=x^{2}-3$ ，于是 $u'=2$ ， $v'=2x$ 。

乘积法则给出 $\frac{dy}{dx}=u'v+uv'$ ：

\frac{dy}{dx}=(2)(x^{2}-3)+(2x+1)(2x)

展开每个括号，再合并同类项：

\frac{dy}{dx}=2x^{2}-6+4x^{2}+2x=6x^{2}+2x-6

答案

$\frac{dy}{dx}=6x^{2}+2x-6$ 。先展开来检验： $y=2x^{3}+x^{2}-6x-3$ ，逐项求导得 $6x^{2}+2x-6$ ，两条路径一致。

Q2[4 marks]

曲线为 $y=\dfrac{3x}{x^{2}+1}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ ，并由此求曲线在 $x=1$ 处的斜率。

Show worked solution

这是商，所以令 $u=3x$ ， $v=x^{2}+1$ ，得 $u'=3$ ， $v'=2x$ 。套用 $\frac{dy}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ ：

\frac{dy}{dx}=\frac{(3)(x^{2}+1)-(3x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}

仔细展开分子并化简，分母的 $v^{2}$ 保持不动：

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+3-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3-3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}

现在代入 $x=1$ ，求该处斜率：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\frac{3(1-1)}{(1+1)^{2}}=\frac{0}{4}=0

答案

$\frac{dy}{dx}=\dfrac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}$ ，且在 $x=1$ 处斜率为 $0$ 。斜率为零，说明曲线在 $x=1$ 处有一个驻点。

Q3[6 marks]

求曲线 $y=x^{3}-3x^{2}+4$ 的驻点坐标，并判定每个驻点的性质。

Show worked solution

驻点出现在斜率为零的地方。求导并因式分解：

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x=3x(x-2)

令 $\frac{dy}{dx}=0$ ，即 $3x(x-2)=0$ ，得 $x=0$ 或 $x=2$ 。由曲线求对应的 $y$ 值：

y(0)=0-0+4=4, \qquad y(2)=8-12+4=0

所以驻点是 $(0,4)$ 与 $(2,0)$ 。要判定性质，用二阶导数：

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6

在每个驻点上求二阶导数的值。为负得极大，为正得极小：

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=0}=-6<0, \qquad \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=2}=6>0

答案

$(0,4)$ 是极大点， $(2,0)$ 是极小点。这里用二阶导数判别法最快，因为 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 容易求值，且只要不为零就绝不含糊。

Q4[3 marks]

用链式法则，对 $x$ 求 $y=(3x-2)^{4}$ 的导数。

Show worked solution

这是一个带括号的乘方，把括号看作一个整体 $u$ 。令 $u=3x-2$ ，于是 $y=u^{4}$ ， $u'=3$ 。

链式法则给出 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ ，先对外层的幂求导，再乘以 $u'$ ：

\frac{dy}{dx}=4u^{3}\times 3=12u^{3}

把 $u=3x-2$ 代回：

\frac{dy}{dx}=12(3x-2)^{3}

答案

$\frac{dy}{dx}=12(3x-2)^{3}$ 。指数减一变成 $3$ ，这里每一次链式求导都带上对括号求导得到的常数因子 $3$ 。

Q5[4 marks]

求曲线 $y=x^{2}-4x+5$ 在 $x=1$ 处的切线方程。

Show worked solution

先求曲线上的点，再用 $\frac{dy}{dx}$ 求该处的斜率，然后才写出切线方程。在 $x=1$ 处：

y=(1)^{2}-4(1)+5=2, \qquad \frac{dy}{dx}=2x-4 \Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=-2

把点 $(1,2)$ 与斜率 $-2$ 代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ：

y-2=-2(x-1) \implies y=-2x+4

答案

切线为 $y=-2x+4$ 。代入 $x=1$ 检验： $y=-2(1)+4=2$ ，与曲线上的点吻合。

Q6[4 marks]

求曲线 $y=x^{3}-2x$ 在 $x=1$ 处的法线方程。

Show worked solution

先求曲线上的点，再用 $\frac{dy}{dx}$ 求该处切线的斜率。在 $x=1$ 处：

y=(1)^{3}-2(1)=-1, \qquad \frac{dy}{dx}=3x^{2}-2 \Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=1

法线与切线垂直，所以法线的斜率是切线斜率的负倒数： $m_{\text{法线}}=-\frac{1}{1}=-1$ 。把点 $(1,-1)$ 与这个斜率代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ：

y-(-1)=-1(x-1) \implies y=-x

答案

法线为 $y=-x$ 。代入 $x=1$ 检验： $y=-1$ ，与曲线上的点吻合，且两条直线斜率之积 $1\times(-1)=-1$ ，证实两线垂直。

Q7[3 marks]

已知 $y=x^{3}$ ，利用微分求当 $x$ 从 $2$ 增加到 $2.01$ 时 $y$ 的近似变化量。

Show worked solution

$x$ 的微小变化 $\delta x$ 会使 $y$ 产生近似变化 $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\times \delta x$ 。这里 $\delta x = 2.01-2=0.01$ 。

先求导：

\frac{dy}{dx}=3x^{2}

在 $x=2$ 处求导数的值，再乘以 $\delta x$ ：

\delta y \approx 3(2)^{2}\times 0.01 = 12\times 0.01=0.12

答案

$\delta y \approx 0.12$ 。直接检验， $2.01^{3}-2^{3}=0.120601$ ，可见这个近似值精确到小数点后两位。

Q8[4 marks]

一个圆的半径以每秒 $0.5\text{ cm}$ 的恒定速率增加。求当半径为 $4\text{ cm}$ 时，圆的面积增加的速率。

Show worked solution

用链式法则把两个变化率连起来： $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\times\frac{dr}{dt}$ 。圆的面积为 $A=\pi r^{2}$ ，先对 $r$ 求导：

\frac{dA}{dr}=2\pi r

代入 $r=4$ 与已知的速率 $\frac{dr}{dt}=0.5$ ：

\frac{dA}{dt}=2\pi(4)(0.5)=4\pi

答案

$\frac{dA}{dt}=4\pi \approx 12.6\text{ cm}^{2}\text{/s}$ 。半径越大，面积增长得越快，因为 $\frac{dA}{dr}=2\pi r$ 随 $r$ 增大而增大。

贯穿这三题的制胜习惯是一样的：给 $u$ 与 $v$ 命名、拼法则前先写下它们的导数、化简分子时让商的分母保持不动。做到这些，这些题就变成稳定、易拿方法分的活儿。

关键方法要点

这些例题建立了组合法则和二阶导数判别法，多数中等微分题所倚重的工具。记住以下几点。

乘积法则： $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$ 。拼装前先给 $u,v$ 命名并写下 $u',v'$ 。
商法则： $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ 。分子的顺序很重要，分母是 $v^{2}$ 。
斜率为零定出驻点；把 $x$ 值代回曲线求 $y$ 坐标。
二阶导数判别法：某点 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ 为极大， $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ 为极小。
能检验时，先展开再逐项求导来核对乘积法则的答案。
分析式评分会奖励正确列出的法则，所以在化简之前就把 $u'v+uv'$ 或商法则那一行写清楚。

老师如何帮忙

中等题的失误是可以预料的：商的分子写反了顺序、乘积法则漏掉两项中的一项，或者把二阶导数判别法用在了错误的点上。在一对一的课堂上，我们的老师会让你在动法则之前先大声说出 $u$ 与 $v$ ，这悄悄地消除了大部分这类错误。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚推理、而不只是机械步骤的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此无论你考哪一个版本，记号都保持熟悉。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

什么时候用乘积法则，而不是直接展开？

对像 $(2x+1)(x^{2}-3)$ 这样的简单乘积，两种都行，展开还是很好的检验。当因式更难展开时，乘积法则就变得必要，所以即使展开也可行，也值得练它。

商法则最常见的错误是什么？

把分子写成 $uv'-u'v$ 而不是 $u'v-uv'$ 。顺序很重要。

一个可靠的记忆法是：上式的导数排在前面， $u'v-uv'$ ，整体除以 $v^{2}$ 。

二阶导数怎样区分极大与极小？

在驻点上求 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的值。为负，该点是极大；为正，是极小。

只要二阶导数容易算且不为零，它就是最快的判别法。

如果驻点处二阶导数为零怎么办？

那么这个判别法失效，你要退回去检查该点前后 $\frac{dy}{dx}$ 的符号。在这些例题中二阶导数不为零，所以快速判别法能直接定案。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

微分，例题（中等）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？