Pembezaan Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bila saya guna petua hasil darab dan bukan sekadar mengembang?

Bagi hasil darab mudah seperti (2x+1)(x2−3)(2x+1)(x^{2}-3)(2x+1)(x2−3) anda boleh buat mana-mana, dan mengembang ialah semakan yang baik. Petua hasil darab menjadi penting apabila faktornya lebih sukar dikembang, jadi ia berbaloi dilatih walaupun mengembang juga boleh.

Q: Apakah kesilapan petua hasil bahagi yang paling biasa?

Menulis pengangka sebagai uv′−u′vuv'-u'vuv′−u′v dan bukan u′v−uv′u'v-uv'u′v−uv′. Susunan penting. Bantuan ingatan yang boleh dipercayai ialah terbitan bahagian atas datang dahulu: u′v−uv′u'v-uv'u′v−uv′, semuanya di atas v2v^{2}v2.

Q: Bagaimana terbitan kedua memberitahu maksimum daripada minimum?

Nilaikan d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y pada titik pusingan. Jika negatif, titik itu maksimum; jika positif, minimum. Ia ujian terpantas apabila terbitan kedua mudah dikira dan bukan sifar.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pembezaan sederhana ini meningkat daripada sebutan tunggal kepada dua petua gabungan dan kepada bentuk lengkung. Anda akan menggunakan petua hasil darab $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$ pada hasil darab dua kurungan, petua hasil bahagi $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ pada suatu pecahan, dan terbitan kedua untuk menentukan sama ada titik pusingan itu maksimum atau minimum.

Nombor kekal kecil dan kemas supaya kaedah tidak pernah tersembunyi di sebalik aritmetik yang berselerak. Tutup penyelesaian, kerjakan seluruh soalan di atas kertas, kemudian semak baris demi baris, dan apabila berbeza, kenal pasti langkah tepat tempat ia berlaku.

Itulah baris yang berbaloi dipelajari.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Tabiat yang mengikat semuanya ialah menamakan bahagian anda sebelum bermula: tentukan apa itu $u$ dan $v$ , tuliskan $u'$ dan $v'$ , dan barulah cantumkan petua.

Q1[4 marks]

Bezakan $y=(2x+1)(x^{2}-3)$ terhadap $x$ , menggunakan petua hasil darab.

Show worked solution

Namakan kedua-dua faktor dan bezakan setiap satu. Biar $u=2x+1$ dan $v=x^{2}-3$ , jadi $u'=2$ dan $v'=2x$ .

Petua hasil darab memberi $\frac{dy}{dx}=u'v+uv'$ :

\frac{dy}{dx}=(2)(x^{2}-3)+(2x+1)(2x)

Kembangkan setiap kurungan, kemudian kumpulkan sebutan serupa:

\frac{dy}{dx}=2x^{2}-6+4x^{2}+2x=6x^{2}+2x-6

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=6x^{2}+2x-6$ . Semak dengan mengembang dahulu: $y=2x^{3}+x^{2}-6x-3$ , dan membezakan sebutan demi sebutan memberi $6x^{2}+2x-6$ , kedua-dua laluan sepadan.

Q2[4 marks]

Suatu lengkung diberi oleh $y=\dfrac{3x}{x^{2}+1}$ . Cari $\frac{dy}{dx}$ , dan seterusnya kecerunan lengkung pada $x=1$ .

Show worked solution

Ini hasil bahagi, jadi biar $u=3x$ dan $v=x^{2}+1$ , memberi $u'=3$ dan $v'=2x$ . Kenakan $\frac{dy}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ :

\frac{dy}{dx}=\frac{(3)(x^{2}+1)-(3x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}

Kembangkan pengangka dengan teliti dan permudahkan, $v^{2}$ pada penyebut dibiarkan seadanya:

\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+3-6x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3-3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}

Kini gantikan $x=1$ untuk kecerunan di situ:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=\frac{3(1-1)}{(1+1)^{2}}=\frac{0}{4}=0

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=\dfrac{3(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}$ , dan kecerunan pada $x=1$ ialah $0$ . Kecerunan sifar bermakna lengkung mempunyai titik pusingan pada $x=1$ .

Q3[6 marks]

Cari koordinat titik pusingan bagi lengkung $y=x^{3}-3x^{2}+4$ , dan tentukan jenis setiap satu.

Show worked solution

Titik pusingan berlaku di mana kecerunan sifar. Bezakan dan faktorkan:

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x=3x(x-2)

Tetapkan $\frac{dy}{dx}=0$ , jadi $3x(x-2)=0$ , memberi $x=0$ atau $x=2$ . Cari nilai $y$ sepadan daripada lengkung:

y(0)=0-0+4=4, \qquad y(2)=8-12+4=0

Jadi titik pusingan ialah $(0,4)$ dan $(2,0)$ . Untuk mengelaskannya, gunakan terbitan kedua:

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6

Nilaikan terbitan kedua pada setiap titik pusingan. Nilai negatif memberi maksimum, nilai positif memberi minimum:

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=0}=-6<0, \qquad \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=2}=6>0

Jawapan

$(0,4)$ ialah titik maksimum dan $(2,0)$ ialah titik minimum. Ujian terbitan kedua paling pantas di sini kerana $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ mudah dinilai dan tidak pernah kabur apabila nilainya bukan sifar.

Q4[3 marks]

Bezakan $y=(3x-2)^{4}$ terhadap $x$ , menggunakan petua rantai.

Show worked solution

Ini ialah kurungan yang dipangkatkan, jadi anggap kurungan itu sebagai satu blok $u$ . Biar $u=3x-2$ , jadi $y=u^{4}$ dan $u'=3$ .

Petua rantai memberi $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ , jadi bezakan kuasa luar dahulu, kemudian darab dengan $u'$ :

\frac{dy}{dx}=4u^{3}\times 3=12u^{3}

Gantikan semula $u=3x-2$ :

\frac{dy}{dx}=12(3x-2)^{3}

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=12(3x-2)^{3}$ . Kuasa berkurang satu kepada $3$ , dan setiap terbitan petua rantai di sini membawa pekali malar $3$ daripada membezakan kurungan itu.

Q5[4 marks]

Cari persamaan tangen kepada lengkung $y=x^{2}-4x+5$ pada titik apabila $x=1$ .

Show worked solution

Cari titik pada lengkung, kemudian kecerunan di situ menggunakan $\frac{dy}{dx}$ , sebelum membina garis tangen. Pada $x=1$ :

y=(1)^{2}-4(1)+5=2, \qquad \frac{dy}{dx}=2x-4 \Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=-2

Gantikan titik $(1,2)$ dan kecerunan $-2$ ke dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ :

y-2=-2(x-1) \implies y=-2x+4

Jawapan

Tangen ialah $y=-2x+4$ . Semak dengan menggantikan $x=1$ : $y=-2(1)+4=2$ , sepadan dengan titik pada lengkung.

Q6[4 marks]

Cari persamaan normal kepada lengkung $y=x^{3}-2x$ pada titik apabila $x=1$ .

Show worked solution

Cari titik pada lengkung dan kecerunan tangen di situ menggunakan $\frac{dy}{dx}$ . Pada $x=1$ :

y=(1)^{3}-2(1)=-1, \qquad \frac{dy}{dx}=3x^{2}-2 \Rightarrow \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=1

Normal berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah salingan negatif: $m_{\text{normal}}=-\frac{1}{1}=-1$ . Gantikan titik $(1,-1)$ dan kecerunan ini ke dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ :

y-(-1)=-1(x-1) \implies y=-x

Jawapan

Normal ialah $y=-x$ . Semak dengan menggantikan $x=1$ : $y=-1$ , sepadan dengan titik pada lengkung, dan hasil darab kedua-dua kecerunan, $1\times(-1)=-1$ , mengesahkan garis-garis itu berserenjang.

Q7[3 marks]

Diberi $y=x^{3}$ , gunakan pembezaan untuk mencari perubahan anggaran dalam $y$ apabila $x$ bertambah daripada $2$ kepada $2.01$ .

Show worked solution

Perubahan kecil $\delta x$ dalam $x$ menghasilkan perubahan anggaran dalam $y$ sebanyak $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\times \delta x$ . Di sini $\delta x = 2.01-2=0.01$ .

Bezakan dahulu:

\frac{dy}{dx}=3x^{2}

Nilaikan terbitan pada $x=2$ , kemudian darab dengan $\delta x$ :

\delta y \approx 3(2)^{2}\times 0.01 = 12\times 0.01=0.12

Jawapan

$\delta y \approx 0.12$ . Menyemak secara terus, $2.01^{3}-2^{3}=0.120601$ , jadi anggaran ini tepat sehingga dua tempat perpuluhan.

Q8[4 marks]

Jejari sebuah bulatan bertambah pada kadar malar $0.5\text{ cm/s}$ . Cari kadar pertambahan luas bulatan itu pada saat jejarinya $4\text{ cm}$ .

Show worked solution

Kaitkan kedua-dua kadar melalui petua rantai $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\times\frac{dr}{dt}$ . Luas bulatan ialah $A=\pi r^{2}$ , jadi bezakan terhadap $r$ :

\frac{dA}{dr}=2\pi r

Gantikan $r=4$ dan kadar yang diberi $\frac{dr}{dt}=0.5$ :

\frac{dA}{dt}=2\pi(4)(0.5)=4\pi

Jawapan

$\frac{dA}{dt}=4\pi \approx 12.6\text{ cm}^{2}\text{/s}$ . Luas bertambah paling laju apabila jejari paling besar, kerana $\frac{dA}{dr}=2\pi r$ bertambah mengikut $r$ .

Merentasi ketiga-tiganya, tabiat yang menang sama: namakan $u$ dan $v$ , tuliskan terbitannya sebelum mencantumkan sebarang petua, dan biarkan penyebut hasil bahagi tidak diusik semasa anda permudahkan bahagian atas. Buat begitu, soalan ini menjadi kerja yang stabil dan mesra markah kaedah.

Poin kaedah utama

Contoh ini membina petua gabungan dan ujian terbitan kedua, alat yang menjadi sandaran kebanyakan soalan Pembezaan sederhana. Ingat poin berikut.

Petua hasil darab: $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$ . Namakan $u,v$ dan tuliskan $u',v'$ sebelum mencantum.
Petua hasil bahagi: $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ . Susunan pada pengangka penting, dan penyebutnya ialah $v^{2}$ .
Kecerunan sifar menentukan titik pusingan; gantikan nilai $x$ semula ke dalam lengkung untuk koordinat $y$ .
Ujian terbitan kedua: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ pada satu titik bermakna maksimum, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ bermakna minimum.
Jika boleh, semak jawapan petua hasil darab dengan mengembang dahulu dan membezakan sebutan demi sebutan.
Pemarkahan analitik memberi ganjaran kepada petua yang disusun betul, jadi tulis baris $u'v+uv'$ atau baris hasil bahagi dengan jelas sebelum anda permudahkan.

Bagaimana guru membantu

Kesilapan sederhana boleh dijangka: pengangka hasil bahagi ditulis dengan susunan salah, petua hasil darab tertinggal satu daripada dua sebutannya, atau ujian terbitan kedua dikenakan pada titik yang salah. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami membuat anda menamakan $u$ dan $v$ dengan lantang sebelum menyentuh petua, yang secara senyap menghapuskan kebanyakan ralat ini.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mendapat seseorang yang menunjukkan penaakulan, bukan sekadar mekaniknya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kekal biasa dalam versi mana pun yang anda duduki.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya guna petua hasil darab dan bukan sekadar mengembang?

Bagi hasil darab mudah seperti $(2x+1)(x^{2}-3)$ anda boleh buat mana-mana, dan mengembang ialah semakan yang baik. Petua hasil darab menjadi penting apabila faktornya lebih sukar dikembang, jadi ia berbaloi dilatih walaupun mengembang juga boleh.

Apakah kesilapan petua hasil bahagi yang paling biasa?

Menulis pengangka sebagai $uv'-u'v$ dan bukan $u'v-uv'$ . Susunan penting.

Bantuan ingatan yang boleh dipercayai ialah terbitan bahagian atas datang dahulu: $u'v-uv'$ , semuanya di atas $v^{2}$ .

Bagaimana terbitan kedua memberitahu maksimum daripada minimum?

Nilaikan $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ pada titik pusingan. Jika negatif, titik itu maksimum; jika positif, minimum.

Ia ujian terpantas apabila terbitan kedua mudah dikira dan bukan sifar.

Bagaimana jika terbitan kedua sifar pada titik pusingan?

Maka ujian itu tidak muktamad dan anda kembali menyemak tanda $\frac{dy}{dx}$ sebelum dan selepas titik itu. Dalam contoh ini terbitan kedua bukan sifar, jadi ujian pantas menyelesaikannya.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pembezaan, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?