Pembezaan, Matematik Tambahan SPM Tingkatan 5

Pembezaan ialah pengenalan serius pertama anda kepada kalkulus, iaitu matematik perubahan. Semua bab sebelum ini memerihalkan bentuk dan kuantiti sebagaimana adanya; pembezaan pula memerihalkan bagaimana ia berubah, bagaimana suatu lengkung menjadi lebih curam, bagaimana suatu isi padu membesar, dan bagaimana kos bertindak balas apabila harga diubah.

Objek utamanya ialah fungsi kecerunan $\frac{dy}{dx}$, yang memberi kecerunan tepat suatu lengkung pada mana-mana titik, bukan kecerunan purata antara dua titik.

Bab ini bermula dengan idea had: nilai yang dihampiri oleh suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri suatu sasaran. Idea tunggal inilah yang menjadikan seluruh topik ini tegas.

Daripadanya anda membina prinsip pertama pembezaan, kemudian beralih pantas kepada petua pintasan, petua kuasa, petua rantai, petua hasil darab dan petua hasil bahagi, yang membolehkan anda membezakan hampir mana-mana fungsi algebra dalam beberapa saat.

Separuh kedua bab pula tentang menggunakan terbitan. Anda mencari kecerunan tangen, menulis persamaan tangen dan normal, mengesan titik pusingan dan menentukan sama ada setiap satu ialah maksimum atau minimum, serta menyelesaikan masalah pengoptimuman sebenar.

Kemudian anda menghubungkan terbitan melalui petua rantai untuk mengendalikan kadar perubahan (bagaimana kuantiti berubah dengan masa) dan perubahan kecil dan penghampiran. Bab ini juga menyediakan asas untuk bab berikutnya, Pengamiran, yang menyongsangkan segala yang anda lakukan di sini.

Guru kami memperlakukan bab ini sebagai satu set prosedur bersih yang boleh diulang. Sebaik sahaja anda dapat menamakan struktur suatu fungsi, adakah ia kuasa, rantai, hasil darab, atau hasil bahagi?, petua yang betul akan menyusul dengan sendirinya, dan langkah kerja hampir menulis dirinya sendiri.

Oleh sebab SPM menggunakan permarkahan analitik, setiap baris kerja yang betul diberi markah, jadi kaedah langkah demi langkah yang kemas tetap bernilai markah walaupun jawapan akhir tersasar.

Sebelum bermula, pastikan beberapa kemahiran Tingkatan 4 sudah kukuh. Anda memerlukan tatatanda fungsi yang mantap, hukum indeks, supaya anda boleh menulis semula $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai $x^{-2}$ dan $\sqrt{x}$ sebagai $x^{1/2}$ sebelum membezakan, serta idea kecerunan daripada geometri koordinat.

Ia juga membantu untuk mengenali dua tatatanda yang akan anda temui, $\frac{dy}{dx}$ dan $f'(x)$, yang membawa maksud sama. Pada peringkat ini, pembezaan terhad kepada fungsi algebra; anda tidak akan membezakan fungsi trigonometri, eksponen atau logaritma dalam Add Math Tingkatan 5, jadi setiap soalan menyusut kepada kuasa $x$ yang digabungkan oleh empat petua.

Sebagai makluman, kelas kami disampaikan dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa (BM/EN). Ini bermakna anda berlatih istilah pembezaan dalam kedua-dua bahasa dan boleh menjawab kertas dalam bahasa yang anda paling selesa, satu kelebihan kecil yang berguna apabila soalan aplikasi menjadi panjang.

DSKP menyusun Pembezaan kepada empat standard kandungan. Berikut ialah apa yang perlu anda kuasai bagi setiap satu.

Perhatikan aliran standard ini: 2.1 membina takrif, 2.2 dan 2.3 membina alat, dan 2.4 menggunakan sembilan standard pembelajaran untuk aplikasi. Pemberatan itu menunjukkan di mana markah berada, mekanik pembezaan hanya berbaloi dikuasai kerana 2.4 menjadikannya penyelesaian masalah.

Semasa mengulang kaji, berbaloi membaca standard pembelajaran di bawah 2.4 secara penuh, kerana ia menamakan kemahiran tepat yang menjadi sumber soalan: mentafsir kecerunan tangen pada titik berbeza, menulis persamaan tangen dan normal, mencari titik pusingan dan jenisnya, mengendalikan kadar perubahan bagi kuantiti berkait, dan menganggar perubahan kecil serta penghampiran. Setiap satu ialah jenis soalan yang boleh dikenali, jadi memperlakukannya sebagai senarai semak mengekalkan ulang kaji anda jujur.

1. Had: nilai yang dihampiri suatu fungsi

Had bertanya ke mana suatu fungsi menuju apabila inputnya menghampiri suatu nilai, walaupun fungsi itu tidak tertakrif tepat di situ. Bagi kecerunan, kita ambil berat tentang perubahan input $\delta x$ yang mengecil menghampiri sifar.

Contohnya, $\frac{x^{2}-9}{x-3}$ tidak bernilai pada $x=3$, namun memfaktorkan pengangka kepada $(x+3)(x-3)$ dan memotong menunjukkan ungkapan itu menghampiri 6. Belajar menilai $\lim_{\delta x \to 0}$, gerakan faktor-potong-kemudian-ganti itulah, ialah asas yang menyokong segala-galanya.

2. Prinsip pertama

Kecerunan pada suatu titik ialah had kecerunan suatu perentas apabila titik kedua menggelongsor mendekatinya. Anda membentuk $\frac{f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}$, mengembang dan memudahkan sehingga $\delta x$ pada penyebut terpotong, kemudian membiarkan $\delta x \to 0$.

Takrif inilah yang secara diam-diam menjadi asas kepada petua pintasan, dan SPM boleh meminta anda membezakan suatu fungsi mudah terus daripadanya.

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}$$

3. Petua kuasa

Bagi mana-mana sebutan berbentuk $ax^{n}$, bezakan dengan mendarab dengan kuasa dan mengurangkan kuasa sebanyak satu. Jadi $y=4x^{3}$ memberi $\frac{dy}{dx}=12x^{2}$, sebarang sebutan pemalar dibezakan menjadi sifar, dan selepas ditulis semula, $y=\frac{2}{x}=2x^{-1}$ memberi $-2x^{-2}$.

Inilah tunggak seluruh bab, dan ia juga mengendalikan indeks negatif dan pecahan sebaik sahaja anda menulis semula surd dan pecahan sebagai kuasa dahulu, kemudian menggunakan satu petua yang bersih.

$$y = ax^{n} \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = n\,ax^{\,n-1}$$

4. Petua rantai (fungsi gubahan)

Apabila suatu fungsi berada di dalam fungsi lain, seperti $(3x-1)^{5}$, bezakan fungsi luar dan darab dengan terbitan fungsi dalam. Dengan menganggap kurungan itu sebagai $u$, terbitan luar ialah $5u^{4}$ dan terbitan dalam ialah $3$, memberi $15(3x-1)^{4}$.

Terlupa terbitan dalam ini ialah kesilapan pembezaan yang paling lazim dalam bab ini.

$$y = f(u),\; u = g(x) \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$

5. Petua hasil darab dan hasil bahagi

Bagi hasil darab $uv$ dua ungkapan, dan bagi hasil bahagi $\frac{u}{v}$, anda tidak boleh sekadar mendarab atau membahagi terbitan masing-masing. Susun $u$, $v$, $\frac{du}{dx}$ dan $\frac{dv}{dx}$ dalam satu jadual kecil dahulu, kemudian gantikan ke dalam rumus, tabiat itu sahaja menghapuskan kebanyakan kesilapan tanda dan susunan.

Kadangkala suatu ungkapan boleh dikembangkan dan dibezakan sebutan demi sebutan, yang lebih pantas, jadi gunakan petua hasil darab hanya apabila mengembangkannya menyusahkan.

$$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

6. Terbitan kedua

Bezakan kali kedua untuk mendapat $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$. Tandanya mengelaskan titik pusingan dengan pantas: negatif bermakna maksimum, positif bermakna minimum.

Ia juga cara paling kemas untuk menentukan jenis titik pegun tanpa jadual tanda. Perhatikan tatatandanya, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ bermaksud membezakan $\frac{dy}{dx}$ sekali lagi, dan ia bukan sama dengan $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.

7. Tangen dan normal

Nilai $\frac{dy}{dx}$ pada suatu titik ialah kecerunan tangen di situ. Normal pula berserenjang, jadi kecerunannya ialah salingan negatif, $-\frac{1}{m}$.

Daripada suatu titik dan kecerunan, anda tulis setiap garis dengan $y-y_1=m(x-x_1)$. Rutin yang boleh dipercayai ialah: bezakan, gantikan nilai $x$ untuk mendapat kecerunan tangen, ambil salingan negatif bagi normal, kemudian gunakan bentuk titik-kecerunan bagi garis yang diminta.

8. Titik pusingan dan jenisnya

Pada titik pusingan, lengkung mendatar seketika, maka $\frac{dy}{dx}=0$. Menyelesaikan persamaan itu memberi koordinatnya; ujian terbitan kedua (atau jadual tanda terbitan pertama) kemudian memberitahu anda sama ada setiap satu ialah maksimum, minimum, atau titik lengkok balas.

Dalam masalah pengoptimuman, anda mula-mula membina kuantiti yang hendak dimaksimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah menggunakan suatu kekangan yang diberi, kemudian membezakan, menetapkan terbitan kepada sifar, dan mengesahkan jenisnya sebelum menyatakan nilai maksimum atau minimum.

9. Kadar perubahan

Apabila dua kuantiti berkait dan kedua-duanya berubah dengan masa, hubungkan kadarnya dengan petua rantai: $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}$. Persediaan yang lazim memberitahu anda betapa cepat suatu jejari membesar dan bertanya betapa cepat luas atau isi padu membesar: bezakan rumus luas atau isi padu terhadap jejari, kemudian darab dengan kadar yang diberi.

Soalan ini hanyalah kefahaman semata-mata sebaik anda mengenal pasti kadar mana yang diberi dan mana yang dikehendaki.

10. Perubahan kecil dan penghampiran

Bagi perubahan kecil dalam $x$, perubahan dalam $y$ dianggarkan dengan $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$. Untuk menghampiri $\sqrt{25.1}$, contohnya, ambil $y=\sqrt{x}$ berhampiran $x=25$ dengan $\delta x = 0.1$, dan tambah $\frac{dy}{dx}\,\delta x$ kepada nilai yang diketahui, 5.

Ini membolehkan anda menghampiri nilai baharu atau menganggar perubahan peratusan tanpa mengira semula fungsi dari mula, DSKP mengehadkannya kepada dua pemboleh ubah.

Pembezaan ialah bab Kalkulus, dan kalkulus ialah penyumbang markah yang berat dalam kedua-dua kertas SPM Additional Mathematics. Anda menemuinya dalam dua persekitaran kertas, dan kerana topik ini membekalkan kedua-dua soalan teknik pantas dan masalah aplikasi penuh, ia boleh muncul dari item yang paling rutin sehinggalah ke item penyelesaian masalah yang lebih sukar dalam mana-mana kertas.

Kertas 1 (3472/1) berlangsung selama 2 jam dan membawa 80 markah dalam dua bahagian. Bahagian A mempunyai 12 soalan bernilai 64 markah dan anda menjawab semuanya; Bahagian B mempunyai 3 soalan bernilai 16 markah dan anda menjawab 2.

Di sini pembezaan biasanya muncul sebagai item pendek berstruktur: bezakan suatu fungsi, cari kecerunan, tulis tangen, atau kesan titik pusingan, teknik bersih di bawah tekanan masa.

Kertas 2 (3472/2) berlangsung selama 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah dalam tiga bahagian: Bahagian A (7 soalan, 50 markah, jawab semua), Bahagian B (4 soalan, 30 markah, jawab 3) dan Bahagian C (4 soalan, 20 markah, jawab 2). Format lebih panjang ini sesuai untuk masalah aplikasi penuh, pengoptimuman, kadar perubahan dan penaakulan berkait, di mana anda perlu membina model, membezakan, dan mentafsir jawapan.

Merentas kedua-dua kertas, item disebarkan mengikut kesukaran pada nisbah Rendah : Sederhana : Tinggi = 5 : 3 : 2, jadi kebanyakan markah pembezaan datang daripada teknik rutin yang boleh dikuasai oleh sesiapa yang telah melatih petua. Item tersebut ialah item subjektif respons terhad dan subjektif respons terhad berstruktur, anda menulis langkah kerja penuh dan bukan memilih daripada pilihan, sebab itulah kaedah yang jelas berbaloi.

Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara, dan kertas menggunakan permarkahan analitik, setiap langkah kerja yang sah diberi markah, yang memberi ganjaran kepada penulisan kaedah baris demi baris.

Inilah kesilapan yang paling kerap kami betulkan apabila pelajar mula-mula bertemu Pembezaan.

1. Terlupa terbitan dalam bagi petua rantai

Menulis $\frac{d}{dx}(3x-1)^{5}=5(3x-1)^{4}$ dan berhenti akan kehilangan faktor 3. Sentiasa darab dengan terbitan bahagian dalam, jadi jawapannya ialah $15(3x-1)^{4}$.

2. Mendarab terbitan sebaliknya menggunakan petua hasil darab

Terbitan $uv$ bukan $\frac{du}{dx}\cdot\frac{dv}{dx}$. Gunakan $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$, dan labelkan faktor mana ialah $u$ dan mana ialah $v$ sebelum bermula.

3. Salah mengendalikan kuasa negatif dan pecahan

Tulis semula $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{-1}$ dan $\sqrt{x}$ sebagai $x^{1/2}$ sebelum membezakan. Mengurangkan kuasa sebanyak satu pada indeks negatif memberi indeks yang lebih negatif, contohnya $x^{-1}\to -x^{-2}$; di sinilah tanda menjadi silap.

4. Mengelirukan ujian terbitan kedua bagi maksimum dan minimum

Terbitan kedua yang negatif menandakan maksimum dan yang positif menandakan minimum, bertentangan dengan andaian awal ramai pelajar. Tulis ujian itu setiap kali dan bukan bergantung pada ingatan di bawah tekanan.

5. Menggunakan kecerunan tangen bagi normal

Normal berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah $-\frac{1}{m}$, bukan $m$. Kesilapan lazim ialah menulis normal dengan kecerunan tangen.

6. Tidak menghubungkan kadar melalui petua rantai

Dalam masalah kadar perubahan, hubungkan kuantiti dengan $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}$. Cuba melompat terus daripada satu kadar ke kadar lain tanpa terbitan penghubung ialah sebab biasa soalan ini runtuh.

7. Membezakan sebelum memudahkan

Sesetengah ungkapan jauh lebih mudah setelah dikemaskan dahulu. Hasil bahagi seperti $\frac{x^{3}+2x}{x}$ boleh dipecahkan menjadi $x^{2}+2$ dan dibezakan dalam satu baris, jadi anda langsung tidak memerlukan petua hasil bahagi; begitu juga, kembangkan hasil darab kurungan mudah sebelum membezakan sebutan demi sebutan.

Sentiasa tanya sama ada satu pemudahan pantas dapat mengelakkan petua yang lebih panjang dan peluang tambahan untuk tersilap.

Susunan serangan yang boleh dipercayai, setiap peringkat membina peringkat sebelumnya, jadi tahan diri daripada melangkau ke hadapan. Kebanyakan pelajar yang bergelut di sini bukan melangkau konsep; mereka melangkau pengulangan yang menjadikan empat petua itu automatik, lalu membazir masa memikirkan petua mana yang hendak digunakan dan bukan menggunakannya.

Jumlah latihan yang bersih, lebih daripada apa-apa yang bijak, itulah yang menukar bab ini menjadi markah yang boleh diharap.

1. 1

   Kukuhkan takrif

   Nilai beberapa had dengan memfaktorkan, kemudian bezakan satu atau dua fungsi mudah secara prinsip pertama supaya petua pintasan menjadi bermakna, bukan terasa sewenang-wenang.

2. 2

   Latih empat petua sehingga automatik

   Latih petua kuasa, rantai, hasil darab dan hasil bahagi sehingga anda dapat mengenal pasti struktur fungsi sepintas lalu dan mencapai petua yang betul tanpa teragak-agak.

3. 3

   Kuasai aplikasi Kertas 1

   Kerjakan tangen, normal, titik pusingan dan jenisnya sehingga prosedurnya menjadi lumrah, inilah markah pantas yang boleh diharap.

4. 4

   Bina menuju masalah Kertas 2

   Beralih kepada pengoptimuman, kadar perubahan, serta perubahan kecil dan penghampiran, di mana anda perlu membina model situasi sebelum membezakan.

5. 5

   Berlatih dalam keadaan berjadual

   Buat set campuran menentang jam dengan hanya kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara, menulis setiap baris kaedah agar permarkahan analitik menyebelahi anda.

Gunakan sumber pelengkap bab ini:

• Nota Ulang Kaji
• Kesilapan Lazim
• Soalan Latihan
• Panduan Menjawab Kertas 2
• Istilah Penting
• Contoh Kerja, Mudah
• Contoh Kerja, Sederhana
• Contoh Kerja, KBAT