微分，SPM 高级数学（中五）

微分是你第一次正式接触微积分，也就是研究变化的数学。这一章之前的所有内容都在描述图形与数量的现状；而微分描述的是它们如何变化，一条曲线如何变陡、一个体积如何增大、成本在价格改变时如何反应。

它的核心对象是斜率函数 $\frac{dy}{dx}$，它给出曲线在任意一点的精确斜率，而不是两点之间的平均斜率。

本章从极限的概念开始：当一个函数的变量逐渐趋近某个目标时，函数值所趋向的数值。正是这一个概念让整个课题变得严谨。

由此你建立起微分的第一原理，随后迅速过渡到快捷的法则，幂法则、链式法则、乘积法则与商法则，让你能在数秒内对几乎任何代数函数求导。

本章的后半部分则全是关于运用导数。你会求切线的斜率、写出切线与法线的方程、找出转折点并判断每一个是极大值还是极小值，并解决真实的最优化问题。

接着你会借助链式法则把导数连结起来，处理变化率（数量如何随时间变化）以及微小变化与近似。本章也为下一章「积分」铺路，而积分正是把你在这里所做的一切反转过来。

我们的老师把这一章当作一套干净、可重复的流程来处理。一旦你能说出一个函数的结构，它是幂、是链、是乘积、还是商？

，正确的法则便自然而来，运算步骤几乎自己写出来。由于 SPM 采用分析式评分，每一行正确的运算都能得分，所以即使最终答案出错，一套整洁的分步方法依然值分。

DSKP 把「微分」划分为四项内容标准。以下是每一项要求你掌握的内容。

留意这些标准的推进顺序：2.1 建立定义，2.2 与 2.3 建立工具，而 2.4 用了九项学习标准来讲应用。这个比重告诉你分数集中在哪里，把求导的机械技巧练好，正是因为 2.4 会把它们转化为解题。

1. 极限：函数所趋向的值

极限问的是：当输入趋近某个值时，函数走向何处，即使函数在该点恰好没有定义。对于斜率，我们关心的是输入的改变量 $\delta x$ 缩小到趋近于零。

学会计算 $\lim_{\delta x \to 0}$，通常先因式分解并约分，再代入，是支撑一切的基础。

2. 第一原理

某一点的斜率，是当第二点滑向该点时割线斜率的极限。这个定义正是快捷法则背后暗中依靠的根据，而 SPM 可以要求你直接用它对一个简单函数求导。

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}$$

3. 幂法则

对任何形如 $ax^{n}$ 的项，求导的方法是乘以幂次并把幂次减一。这是整章的主力工具；只要先把根式与分数改写成幂，它也能处理负指数与分数指数。

$$y = ax^{n} \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = n\,ax^{\,n-1}$$

4. 链式法则（复合函数）

当一个函数嵌套在另一个函数里面，例如 $(3x-1)^{5}$，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。漏掉这个内层导数，是本章最常见的求导错误。

$$y = f(u),\; u = g(x) \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$

5. 乘积法则与商法则

对两个表达式的乘积 $uv$，以及商 $\frac{u}{v}$，你不能只是把各自的导数相乘或相除。请使用下面这两条有结构的法则，并留意项的次序以及商法则里的正负号。

$$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

6. 二阶导数

再求一次导数便得到 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$。它的符号能快速判别转折点：负号代表极大值，正号代表极小值。

它也是判断稳定点类型最简洁的方法，无需列符号表。

7. 切线与法线

$\frac{dy}{dx}$ 在某点的值就是该点切线的斜率。法线与切线垂直，所以它的斜率是负倒数 $-\frac{1}{m}$。

有了一点与斜率，就用 $y-y_1=m(x-x_1)$ 写出每一条直线。

8. 转折点及其类型

在转折点，曲线一瞬间是水平的，因此 $\frac{dy}{dx}=0$。解这个方程得到坐标；再用二阶导数判别法（或一阶导数的符号表）来判断每一个是极大值、极小值，还是拐点。

9. 变化率

当两个数量彼此关联且都随时间变化时，用链式法则把它们的变化率连起来：$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}$。只要认清哪个变化率是已知、哪个是要求的，这类题目其实纯粹是理解题。

10. 微小变化与近似

当 $x$ 有微小变化时，$y$ 的变化可用 $\delta y \approx \frac{dy}{dx}\,\delta x$ 来估算。这让你不必从头重新计算函数，就能近似一个新值或估计百分比变化，DSKP 把它限制在两个变量之内。

微分属于「微积分」章节，而微积分在 SPM Additional Mathematics 的两份试卷里都是分数大户。你会在两种试卷环境中遇到它。

试卷一（3472/1）时长 2小时，共 80分，分两个部分。A 部分有 12题、共 64分，全部作答；B 部分有 3题、共 16分，作答 2题。

在这里，微分通常以简短的结构式题目出现：求导、求斜率、写切线，或找出转折点，在时间压力下考验干净的技巧。

试卷二（3472/2）时长 2小时30分钟，共 100分，分三个部分：A 部分（7题、50分，全部作答）、B 部分（4题、30分，作答 3题）与 C 部分（4题、20分，作答 2题）。较长的篇幅适合完整的应用题，最优化、变化率与连锁推理，你必须先建立模型、求导，再诠释答案。

在两份试卷中，题目按难度以 低 : 中 : 高 = 5 : 3 : 2 的比例分布，所以大多数微分分数来自常规技巧，任何认真练熟法则的人都能拿到。你可以使用一台不可编程的科学计算器，试卷采用分析式评分，每一个有效的运算步骤都得分，这奖励你逐行写出方法。

以下是学生初学微分时，我们最常纠正的错误。

1. 链式法则里漏掉内层导数

写成 $\frac{d}{dx}(3x-1)^{5}=5(3x-1)^{4}$ 就停下来，会丢掉因子 3。一定要乘以内部的导数，所以答案是 $15(3x-1)^{4}$。

2. 把导数相乘，而不用乘积法则

$uv$ 的导数不是 $\frac{du}{dx}\cdot\frac{dv}{dx}$。要用 $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$，动手前先标明哪个是 $u$、哪个是 $v$。

3. 处理负指数与分数指数出错

求导前先把 $\frac{1}{x}$ 改写成 $x^{-1}$、$\sqrt{x}$ 改写成 $x^{1/2}$。对负指数把幂次减一，会得到更负的指数，例如 $x^{-1}\to -x^{-2}$；符号往往就在这里出错。

4. 混淆二阶导数判别法的极大与极小

二阶导数为负代表极大值，为正代表极小值，与许多学生最初的直觉相反。每一次都把判别法写出来，别在压力下凭记忆。

5. 把切线的斜率用在法线上

法线与切线垂直，所以它的斜率是 $-\frac{1}{m}$，而不是 $m$。常见的疏忽是用切线的斜率去写法线。

6. 没有用链式法则连结变化率

在变化率题目中，用 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}$ 把各数量连起来。想跳过这个连结导数、直接从一个变化率跳到另一个，正是这类题目崩掉的常见原因。

一个可靠的进攻顺序，每个阶段都建立在前一个之上，所以别急着往前跳。

1. 1

   打稳定义

   用因式分解计算几个极限，再用第一原理对一两个简单函数求导，让快捷法则变得有意义，而不是感觉凭空而来。

2. 2

   把四条法则练到自动

   反复练习幂法则、链式法则、乘积法则与商法则，直到你一眼就能认出函数的结构，毫不犹豫地选对法则。

3. 3

   掌握试卷一的应用

   把切线、法线、转折点及其类型练到流程成为本能，这些是你快速又可靠的分数。

4. 4

   进阶到试卷二的题目

   转向最优化、变化率，以及微小变化与近似，这些题你必须先为情境建立模型，才能求导。

5. 5

   在限时条件下演练

   只用一台不可编程的科学计算器，对着时钟做混合题组，写出每一行方法，让分析式评分为你加分。

善用本章的配套资源：

• 复习笔记
• 常见错误
• 练习题
• 试卷二作答指南
• 重要术语
• 解题示范，初级
• 解题示范，中级
• 解题示范，KBAT