微分，例题（KBAT）

对时间的变化率用链式法则 $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$。已知 $\frac{dx}{dt}=2$；我们需要 $x=2$ 处的 $\frac{dy}{dx}$。

先把倒数写成幂：

在 $x=2$ 处求斜率的值：

现在乘以 $\frac{dx}{dt}$：

微小变化用 $\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x$ 来估计。求导，并在起始值 $x=3$ 处求斜率：

$x$ 的变化量是 $\delta x=3.02-3=0.02$。把两者代入近似式：

求估计值时，把 $\delta y$ 加到 $x=3$ 时的 $y$ 上，其中 $y=(3)^{3}-2(3)=27-6=21$：

设与墙垂直的两条边各为 $x$ 米，与墙平行的边为 $y$ 米。只围三面，所以用掉的围栏是：

用 $y$ 的表达式代入，把面积写成只含 $x$ 的函数：

求最大面积，求导并令导数为零：

用二阶导数确认这是极大，再求 $y$ 和面积：

先求导得到斜率函数，再代入 $x=2$ 求出曲线在 $A$ 处切线的斜率。

法线与切线垂直，所以法线的斜率是切线斜率的负倒数。用它和点 $A(2,-6)$ 写出法线方程：

求这条直线与两轴的交点：令 $y=0$ 得 $P$，令 $x=0$ 得 $Q$。

转折点出现在 $\frac{dy}{dx}=0$ 的地方。求导并求解：

把每个 $x$ 值代回原方程，求出对应的 $y$ 坐标：

用二阶导数检验每个转折点的性质：

曲线在 $\frac{dy}{dx}<0$ 的地方递减。由于 $\frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)$ 是一条开口向上、根为 $-1$ 和 $3$ 的抛物线，它在两根之间为负：

先通过链式法则 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}$，把已知的 $\frac{dV}{dt}$ 和半径的变化率 $\frac{dr}{dt}$ 联系起来。把 $V$ 对 $r$ 求导，再代入 $r=4$：

代入链式法则，连同已知的 $\frac{dV}{dt}=32\pi$，求出这一刻的 $\frac{dr}{dt}$：

接着用第二次链式法则 $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\times\frac{dr}{dt}$，把 $\frac{dr}{dt}$ 和表面积联系起来。把 $S$ 对 $r$ 求导，代入 $r=4$，再相乘：

把根号写成幂，再用乘积法则 $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$，其中 $u=x$，$v=(2x+3)^{1/2}$。求 $v$ 的导数需要用到链式法则：

把两项用公因子 $(2x+3)^{-1/2}$ 合并，化成单一分数：

在转折点，分子等于零（在给定定义域内分母恒不为零，因为 $2x+3>0$）：

这个值落在定义域 $x\ge-\frac{3}{2}$ 内，代回原方程求 $y$：

在相切点，直线和曲线在该处必须有相同的斜率。对曲线求导，并令结果等于 $k$：

直线和曲线还必须经过同一点，所以在这个 $x$ 处它们的 $y$ 值相等。把 $k=2x-4$ 代入这个条件：

化简这个方程并求 $x$：

用 $k=2x-4$ 和 $y=x^{2}-4x$，求出每个 $x$ 值对应的 $k$ 和点 $P$：