Pembezaan Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya tahu rantai mana hendak dibina untuk kadar perubahan?

Tuliskan kadar yang anda mahu dan kadar yang diberi, kemudian sambungkannya melalui pemboleh ubah yang dikongsi. Bagi yyy dan xxx dengan xxx berubah dalam masa, pautan itu ialah dydt=dydx×dxdt\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}dtdy=dxdy×dtdx. Nilaikan dydx\frac{dy}{dx}dxdy pada saat yang dinyatakan.

Q: Mengapa rumus perubahan kecil menggunakan kecerunan pada titik permulaan?

Penghampiran δy≈dydx δx\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta xδy≈dxdyδx menganggap lengkung sebagai garis lurus sepanjang selang yang amat kecil. Garis itu mempunyai kecerunan di tempat anda bermula, jadi anda nilaikan dydx\frac{dy}{dx}dxdy pada nilai xxx awal sebelum mendarab dengan δx\delta xδx.

Q: Dalam masalah pengoptimuman, mengapa saya mesti turun kepada satu pemboleh ubah?

Anda hanya boleh membeza terhadap satu pemboleh ubah. Guna kekangan, di sini 242424 m pagar yang tetap, untuk menulis satu pemboleh ubah dalam sebutan yang lain, supaya kuantiti yang anda maksimumkan menjadi fungsi xxx sahaja.

Q: Adakah saya sentiasa perlukan terbitan kedua untuk mengesahkan maksimum?

Ia pengesahan paling kemas dan diharapkan untuk markah penuh. Jika d2Adx2<0\frac{d^{2}A}{dx^{2}}<0dx2d2A<0 titik pegun itu maksimum; jika positif, minimum. Semakan tanda pada dAdx\frac{dA}{dx}dxdA di kedua-dua sisi juga berfungsi.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pembezaan sukar ini menggabungkan idea seperti yang dilakukan peperiksaan. Anda akan mengendalikan kadar perubahan dengan merantai terbitan, $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ ; menganggar perubahan kecil dengan $\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x$ ; dan menyelesaikan masalah pengoptimuman yang kerja pertamanya ialah membina fungsi bagi satu pemboleh ubah, kemudian membezakan untuk memaksimumkannya.

Nombor kekal kemas supaya penaakulan tidak hilang dalam aritmetik. Tutup penyelesaian, cuba seluruh soalan di atas kertas, kemudian semak baris demi baris.

Pada soalan panjang ini, markah terletak pada persediaan, hubungan yang anda tuliskan sebelum membezakan, jadi baca setiap satu dua kali sebelum bermula.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu bermula dengan keputusan tentang apa yang hendak dibezakan dan terhadap apa, betulkan itu, maka kalkulus yang menyusul menjadi pendek.

Q1[5 marks]

Dua pemboleh ubah dihubungkan oleh $y=\dfrac{4}{x}+3x$ . Diberi $x$ bertambah pada kadar tetap $2$ unit sesaat, cari kadar perubahan $y$ pada saat apabila $x=2$ .

Show worked solution

Kadar perubahan terhadap masa menggunakan petua rantai $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ . Kita diberi $\frac{dx}{dt}=2$ ; kita perlukan $\frac{dy}{dx}$ pada $x=2$ .

Tulis semula salingan sebagai kuasa dahulu:

y=4x^{-1}+3x \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx}=-4x^{-2}+3=-\frac{4}{x^{2}}+3

Nilaikan kecerunan pada $x=2$ :

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=-\frac{4}{(2)^{2}}+3=-1+3=2

Kini darab dengan $\frac{dx}{dt}$ :

\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}=2\times 2=4

Jawapan

$y$ bertambah pada $4$ unit sesaat apabila $x=2$ . Keseluruhan kaedahnya: bezakan untuk mendapat $\frac{dy}{dx}$ , nilaikannya pada saat yang diberi, kemudian darab dengan $\frac{dx}{dt}$ yang diberi.

Q2[4 marks]

Diberi $y=x^{3}-2x$ , gunakan pembezaan untuk mencari perubahan hampir dalam $y$ apabila $x$ bertambah daripada $3$ kepada $3.02$ . Seterusnya anggarkan nilai $y$ pada $x=3.02$ .

Show worked solution

Perubahan kecil dianggar dengan $\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x$ . Bezakan dan nilaikan kecerunan pada nilai permulaan $x=3$ :

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-2 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=3(3)^{2}-2=27-2=25

Perubahan dalam $x$ ialah $\delta x=3.02-3=0.02$ . Gantikan kedua-duanya ke dalam penghampiran:

\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x=25\times 0.02=0.5

Untuk nilai anggaran, tambah $\delta y$ kepada $y$ pada $x=3$ , dengan $y=(3)^{3}-2(3)=27-6=21$ :

y(3.02)\approx 21+0.5=21.5

Jawapan

Perubahan hampir ialah $\delta y\approx 0.5$ , jadi $y\approx 21.5$ pada $x=3.02$ . Nilai tepatnya ialah $3.02^{3}-2(3.02)=21.5036$ , jadi anggaran itu hampir, seperti yang dijangka untuk $\delta x$ yang kecil.

Q3[7 marks]

Suatu plot segi empat tepat hendak dipagari pada tiga sisi, dengan sebuah dinding sedia ada yang panjang menjadi sisi keempat. Terdapat $24$ m pagar yang tersedia.

Cari dimensi yang memberi luas terbesar mungkin, dan nyatakan luas maksimum itu, sambil mengesahkan ia maksimum.

Show worked solution

Biar dua sisi yang berserenjang dengan dinding masing-masing $x$ m, dan sisi selari dengan dinding ialah $y$ m. Hanya tiga sisi dipagari, jadi pagar yang digunakan ialah:

2x+y=24 \;\Rightarrow\; y=24-2x

Tulis luas sebagai fungsi $x$ sahaja dengan menggantikan $y$ :

A=xy=x(24-2x)=24x-2x^{2}

Untuk luas terbesar, bezakan dan tetapkan terbitan kepada sifar:

\frac{dA}{dx}=24-4x=0 \;\Rightarrow\; x=6

Sahkan ini maksimum dengan terbitan kedua, kemudian cari $y$ dan luasnya:

\frac{d^{2}A}{dx^{2}}=-4<0 \;\;(\text{maksimum})

y=24-2(6)=12, \qquad A=6\times 12=72

Jawapan

Plot itu sepatutnya $6$ m kali $12$ m, memberi luas maksimum $72\ \text{m}^{2}$ . Terbitan kedua ialah $-4$ , negatif, jadi nilai pegun itu memang maksimum, bukan minimum.

Q4[5 marks]

Lengkung $y = x^{2} - 3x - 4$ melalui titik $A(2,-6)$ . Cari persamaan normal kepada lengkung itu di $A$ .

Normal ini memotong paksi- $x$ di $P$ dan paksi- $y$ di $Q$ . Cari luas segi tiga $OPQ$ , dengan $O$ ialah asalan.

Show worked solution

Bezakan untuk mendapat fungsi kecerunan, kemudian nilaikannya pada $x=2$ untuk mendapat kecerunan tangen di $A$ .

\frac{dy}{dx}=2x-3 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=2(2)-3=1

Normal berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah salingan negatif. Gunakan ini bersama titik $A(2,-6)$ untuk menulis persamaan normal:

m_{\text{normal}}=-\frac{1}{1}=-1 \;\Rightarrow\; y-(-6)=-1(x-2) \;\Rightarrow\; y=-x-4

Cari di mana garis ini memotong setiap paksi: tetapkan $y=0$ untuk $P$ , dan $x=0$ untuk $Q$ .

P: 0=-x-4 \Rightarrow x=-4,\;(-4,0) \qquad Q: x=0 \Rightarrow y=-4,\;(0,-4)

\text{Luas}=\frac{1}{2}\times OP\times OQ=\frac{1}{2}\times4\times4=8

Jawapan

Normal kepada lengkung di $A(2,-6)$ ialah $y=-x-4$ ; ia memotong paksi-paksi di $P(-4,0)$ dan $Q(0,-4)$ , memberi segi tiga dengan luas $8$ unit persegi. Oleh sebab $OP$ dan $OQ$ kedua-duanya terletak sepanjang paksi yang sudah berserenjang, $\frac12\times OP\times OQ$ ialah luas yang tepat, tiada trigonometri tambahan diperlukan.

Q5[6 marks]

Lengkung $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mempunyai dua titik pusingan. Cari koordinat kedua-dua titik pusingan itu, dan gunakan terbitan kedua untuk menentukan sama ada setiap satu maksimum atau minimum.

Seterusnya, nyatakan julat nilai $x$ dengan lengkung itu menurun.

Show worked solution

Titik pusingan berlaku apabila $\frac{dy}{dx}=0$ . Bezakan dan selesaikan:

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=3 \text{ atau } x=-1

Gantikan setiap nilai $x$ semula ke dalam persamaan asal untuk mendapat koordinat $y$ :

y(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)+5=10 \qquad y(3)=(3)^{3}-3(3)^{2}-9(3)+5=-22

Guna terbitan kedua untuk menguji sifat setiap titik pusingan:

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6 \;\Rightarrow\; \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=-1}=-12<0\;(\text{maksimum}), \;\; \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=3}=12>0\;(\text{minimum})

Lengkung menurun apabila $\frac{dy}{dx}<0$ . Oleh sebab $\frac{dy}{dx}=3(x-3)(x+1)$ ialah parabola menghadap atas dalam $x$ dengan punca di $-1$ dan $3$ , ia negatif di antara kedua-dua punca:

-1<x<3

Jawapan

Terdapat maksimum di $(-1,10)$ dan minimum di $(3,-22)$ ; lengkung menurun bagi $-1<x<3$ , tepat julat di antara kedua-dua titik pusingan itu, masuk akal, kerana lengkung mesti turun daripada maksimum ke minimum.

Q6[5 marks]

Udara dipam ke dalam belon sfera supaya isipadunya bertambah pada kadar tetap $32\pi$ cm $^3$ sesaat. Menggunakan $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ untuk isipadu dan $S=4\pi r^{2}$ untuk luas permukaan sfera berjejari $r$ , cari kadar pertambahan luas permukaan pada saat jejari ialah $4$ cm.

Show worked solution

Sambungkan dahulu kadar yang diberi, $\frac{dV}{dt}$ , kepada kadar perubahan jejari, $\frac{dr}{dt}$ , melalui petua rantai $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}$ . Bezakan $V$ terhadap $r$ , kemudian nilaikan pada $r=4$ :

\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2} \;\Rightarrow\; \left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=4}=4\pi(4)^{2}=64\pi

Gantikan ke dalam petua rantai bersama $\frac{dV}{dt}=32\pi$ yang diberi untuk mencari $\frac{dr}{dt}$ pada saat ini:

32\pi=64\pi\times\frac{dr}{dt} \;\Rightarrow\; \frac{dr}{dt}=\frac{1}{2}\text{ cm/s}

Kini sambungkan $\frac{dr}{dt}$ kepada luas permukaan melalui petua rantai kedua, $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\times\frac{dr}{dt}$ . Bezakan $S$ terhadap $r$ , nilaikan pada $r=4$ , kemudian darab:

\frac{dS}{dr}=8\pi r \;\Rightarrow\; \left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=4}=8\pi(4)=32\pi

\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\times\frac{dr}{dt}=32\pi\times\frac{1}{2}=16\pi

Jawapan

Luas permukaan bertambah pada kadar $16\pi\ \text{cm}^{2}\text{/s}$ (lebih kurang $50.3\ \text{cm}^{2}\text{/s}$ ) apabila $r=4$ cm. Kedua-dua kuantiti dihubungkan melalui jejari, jadi caranya ialah menggunakan petua rantai dua kali, sekali daripada $V$ ke $r$ , sekali lagi daripada $r$ ke $S$ .

Q7[5 marks]

Lengkung $y=x\sqrt{2x+3}$ ditakrifkan bagi $x\ge-\frac{3}{2}$ . Dengan menggunakan petua hasil darab dan petua rantai, cari $\frac{dy}{dx}$ dalam bentuk pecahan tunggal yang paling ringkas, dan seterusnya cari koordinat titik pusingan lengkung itu.

Show worked solution

Tulis punca sebagai kuasa dan gunakan petua hasil darab, $\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'$ , dengan $u=x$ dan $v=(2x+3)^{1/2}$ . Membezakan $v$ memerlukan petua rantai:

\frac{dy}{dx}=(2x+3)^{\frac{1}{2}}+x\times\frac{1}{2}(2x+3)^{-\frac{1}{2}}\times2=(2x+3)^{\frac{1}{2}}+x(2x+3)^{-\frac{1}{2}}

Gabungkan kedua-dua sebutan atas faktor sepunya $(2x+3)^{-1/2}$ untuk menuliskannya sebagai satu pecahan:

\frac{dy}{dx}=\frac{(2x+3)+x}{\sqrt{2x+3}}=\frac{3x+3}{\sqrt{2x+3}}=\frac{3(x+1)}{\sqrt{2x+3}}

Pada titik pusingan, pengangka bersamaan sifar (penyebut tidak pernah sifar dalam domain yang diberi, kerana $2x+3>0$ ):

3(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1

Nilai ini terletak dalam domain $x\ge-\frac{3}{2}$ , jadi gantikan semula ke dalam persamaan asal untuk $y$ :

y=(-1)\sqrt{2(-1)+3}=(-1)\sqrt{1}=-1

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=\frac{3(x+1)}{\sqrt{2x+3}}$ , dan titik pusingan itu ialah $(-1,-1)$ . Menguji titik di kedua-dua belah, seperti $x=-1.2$ dan $x=-0.8$ , memberi $y$ sedikit lebih tinggi daripada $-1$ dalam kedua-dua kes, mengesahkan ia minimum.

Q8[6 marks]

Garis lurus $y=kx-9$ ialah tangen kepada lengkung $y=x^{2}-4x$ di titik $P$ . Cari dua nilai $k$ yang mungkin, dan nyatakan koordinat $P$ bagi setiap kes.

Show worked solution

Pada titik sentuhan, garis dan lengkung mesti mempunyai kecerunan yang sama di situ. Bezakan lengkung dan samakan hasilnya dengan $k$ :

\frac{dy}{dx}=2x-4=k

Garis dan lengkung juga mesti melalui titik yang sama, jadi nilai $y$ kedua-duanya bersamaan pada $x$ itu. Gantikan $k=2x-4$ ke dalam syarat ini:

x^{2}-4x=kx-9 \;\Rightarrow\; x^{2}-4x=(2x-4)x-9=2x^{2}-4x-9

Permudahkan persamaan ini dan selesaikan untuk $x$ :

x^{2}-4x-2x^{2}+4x+9=0 \;\Rightarrow\; -x^{2}+9=0 \;\Rightarrow\; x^{2}=9 \;\Rightarrow\; x=3 \text{ atau } x=-3

Cari $k$ dan titik $P$ bagi setiap nilai $x$ , menggunakan $k=2x-4$ dan $y=x^{2}-4x$ :

x=3: \;k=2(3)-4=2,\;y=9-12=-3 \;\Rightarrow\; P(3,-3)

x=-3: \;k=2(-3)-4=-10,\;y=9+12=21 \;\Rightarrow\; P(-3,21)

Jawapan

Terdapat dua garis tangen: $k=2$ menyentuh di $P(3,-3)$ , dan $k=-10$ menyentuh di $P(-3,21)$ . Semak mana-mana satu dengan menggantikan semula, contohnya pada $x=3$ , garis memberi $y=2(3)-9=-3$ , sepadan dengan lengkung.

Perhatikan bentuk sepunya ketiga-tiganya: tukar situasi kepada satu persamaan yang boleh dibezakan, lakukan kalkulus dengan teliti, kemudian tafsir nombor itu dalam bahasa soalan, satu kadar, satu perubahan hampir, atau satu luas maksimum. Langkah penterjemahan itulah yang diberi ganjaran oleh markah yang lebih sukar.

Poin kaedah utama

Contoh ini menghimpunkan aplikasi bab ini. Ingat poin berikut untuk soalan yang lebih panjang dan bermarkah tinggi.

Kadar perubahan: rantaikan terbitan, $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ , dan nilaikan $\frac{dy}{dx}$ pada saat yang diberi.
Perubahan kecil: $\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x$ , dengan $\frac{dy}{dx}$ diambil pada nilai permulaan $x$ .
Nilai anggaran: tambah perubahan hampir kepada nilai yang diketahui, $y_{\text{baru}}\approx y+\delta y$ .
Pengoptimuman: bina fungsi bagi satu pemboleh ubah dahulu, guna kekangan yang diberi untuk menghapuskan pemboleh ubah kedua.
Tetapkan $\frac{dA}{dx}=0$ untuk mencari titik pegun, kemudian sahkan maksimum dengan $\frac{d^{2}A}{dx^{2}}<0$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, hubungan yang betul dan terbitan yang jelas memperoleh markah kaedah walaupun sebelum nombor akhir.

Bagaimana guru membantu

Pada soalan panjang ini, markah dimenangi atau hilang pada persediaan, bukan kalkulus. Pelajar yang boleh membeza dengan sempurna pun tersekat apabila mereka tidak dapat menukar perkataan kepada satu persamaan yang kemas.

Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami bekerja tepat pada penterjemahan itu, pemboleh ubah mana hendak dikekalkan, kekangan mana hendak digantikan, apa makna jawapan sepatutnya, supaya kalkulus menjadi langkah terakhir yang mudah. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda belajar cara membaca masalah ini yang boleh diulang.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu rantai mana hendak dibina untuk kadar perubahan?

Tuliskan kadar yang anda mahu dan kadar yang diberi, kemudian sambungkannya melalui pemboleh ubah yang dikongsi. Bagi $y$ dan $x$ dengan $x$ berubah dalam masa, pautan itu ialah $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ .

Nilaikan $\frac{dy}{dx}$ pada saat yang dinyatakan.

Mengapa rumus perubahan kecil menggunakan kecerunan pada titik permulaan?

Penghampiran $\delta y\approx\frac{dy}{dx}\,\delta x$ menganggap lengkung sebagai garis lurus sepanjang selang yang amat kecil. Garis itu mempunyai kecerunan di tempat anda bermula, jadi anda nilaikan $\frac{dy}{dx}$ pada nilai $x$ awal sebelum mendarab dengan $\delta x$ .

Dalam masalah pengoptimuman, mengapa saya mesti turun kepada satu pemboleh ubah?

Anda hanya boleh membeza terhadap satu pemboleh ubah. Guna kekangan, di sini $24$ m pagar yang tetap, untuk menulis satu pemboleh ubah dalam sebutan yang lain, supaya kuantiti yang anda maksimumkan menjadi fungsi $x$ sahaja.

Adakah saya sentiasa perlukan terbitan kedua untuk mengesahkan maksimum?

Ia pengesahan paling kemas dan diharapkan untuk markah penuh. Jika $\frac{d^{2}A}{dx^{2}}<0$ titik pegun itu maksimum; jika positif, minimum.

Semakan tanda pada $\frac{dA}{dx}$ di kedua-dua sisi juga berfungsi.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pembezaan, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?