微分例题（简单）| SPM Add Math

Q: 求导前一定要先改写分数和根式吗？

这是最稳妥的做法。把 4x\dfrac{4}{x}x4 写成 4x−14x^{-1}4x−1，或把 x\sqrt{x}x 写成 x1/2x^{1/2}x1/2，就能直接套用幂法则，从而避开直接对分数求导这个常见失误。

Q: 某点的斜率到底是什么意思？

它是 dydx\frac{dy}{dx}dxdy 在该 xxx 处的值。先求导得到斜率函数，再代入 xxx 值。结果为负，表示曲线在该处正在下降。

Q: 链式法则里学生最常忘记哪一步？

括号的导数。对 y=(3x−1)4y=(3x-1)^{4}y=(3x−1)4，你把幂拿下来并减一后，还必须乘以 333，也就是 3x−13x-13x−1 的导数。漏掉这个因子是常见错误。

Q: 切线方程怎么写？

先求出曲线上的点，再把 xxx 代入 dydx\frac{dy}{dx}dxdy 求斜率，然后把两者代入 y−y1=m(x−x1)y-y_{1}=m(x-x_{1})y−y1=m(x−x1)，化简成 y=mx+cy=mx+cy=mx+c 形式。

这些例题涵盖什么

这组简单的微分例题帮你打好整章赖以立足的四个动作：用幂法则 $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对多项式求导、在求导前把倒数或根式写成幂、对括号的幂运用链式法则，以及在某一点求切线方程。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。若答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步，那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，先写成幂、逐项求导、再仔细代入，如何贯穿每一题。

Q1[3 marks]

已知 $y=x^{3}-4x^{2}+5$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ ，以及曲线在 $x=2$ 处的斜率。

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用幂法则 $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 逐项求导；常数 $5$ 求导得 $0$ 。

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x

曲线在某点的斜率，就是 $\frac{dy}{dx}$ 在该处的值。代入 $x=2$ ：

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=3(2)^{2}-8(2)=12-16=-4

答案

$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x$ ，且在 $x=2$ 处的斜率是 $-4$ 。斜率为负，说明曲线经过该点时正在下降。

Q2[3 marks]

对 $x$ 求 $y=3x^{2}+\dfrac{4}{x}$ 的导数。

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先把倒数项写成幂，让幂法则可以直接用。这里 $\dfrac{4}{x}=4x^{-1}$ 。

y=3x^{2}+4x^{-1}

现在逐项求导，保留负指数：

\frac{dy}{dx}=6x+4(-1)x^{-2}=6x-4x^{-2}

最后把负幂写回分数，让答案与题目形式一致：

\frac{dy}{dx}=6x-\frac{4}{x^{2}}

答案

$\frac{dy}{dx}=6x-\dfrac{4}{x^{2}}$ 。先把 $\dfrac{4}{x}$ 写成 $4x^{-1}$ ，才让幂法则派得上用场，直接对分数求导正是丢分的地方。

Q3[3 marks]

已知 $y=(3x-1)^{4}$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ 。

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这是复合函数，所以用链式法则。令 $u=3x-1$ ，于是 $y=u^{4}$ 。

\frac{dy}{du}=4u^{3}, \qquad \frac{du}{dx}=3

把两个导数相乘，再把 $u$ 换回 $3x-1$ ：

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}=4u^{3}\times 3=12(3x-1)^{3}

答案

$\frac{dy}{dx}=12(3x-1)^{3}$ 。捷径是：把幂拿下来、减一，再乘以括号的导数 $(3)$ ，千万别漏掉最后这个因子。

Q4[4 marks]

曲线的方程为 $y=x^{2}-3x+4$ 。求曲线在 $x=1$ 处的切线方程。

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先把 $x=1$ 代入曲线，求出切点：

y=(1)^{2}-3(1)+4=1-3+4=2

所以切线在 $(1,2)$ 处与曲线相切。接着求斜率函数，并在 $x=1$ 处求值：

\frac{dy}{dx}=2x-3 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=2(1)-3=-1

切线斜率为 $-1$ 。用 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，其中 $m=-1$ ， $(x_{1},y_{1})=(1,2)$ ：

y-2=-1(x-1) \;\Rightarrow\; y=-x+1+2 \;\Rightarrow\; y=-x+3

答案

切线是 $y=-x+3$ 。检验切点在其上：当 $x=1$ ， $y=-1+3=2$ ，与 $(1,2)$ 一致。

Q5[3 marks]

对 $x$ 求 $y=6\sqrt{x}+3x$ 的导数。

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先把根号写成幂，才能求导： $\sqrt{x}=x^{1/2}$ ，所以 $y=6x^{1/2}+3x$ 。

y=6x^{1/2}+3x

用幂法则 $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 逐项求导：

\frac{dy}{dx}=6\left(\frac{1}{2}\right)x^{-1/2}+3=3x^{-1/2}+3

把负幂写回根号，让答案与题目形式一致：

\frac{dy}{dx}=\frac{3}{\sqrt{x}}+3

答案

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{\sqrt{x}}+3$ 。先把 $\sqrt{x}$ 写成 $x^{1/2}$ ，才能用上幂法则，这与把倒数改写成负幂是同一招。

Q6[3 marks]

曲线的方程为 $y=x^{2}-8x+10$ 。求曲线转折点的坐标。

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在转折点处，斜率为零，所以先求 $\frac{dy}{dx}$ 。

\frac{dy}{dx}=2x-8

令斜率等于零，解出 $x$ ：

2x-8=0 \;\Rightarrow\; x=4

把 $x=4$ 代回原方程，求出对应的 $y$ 值：

y=(4)^{2}-8(4)+10=16-32+10=-6

答案

转折点是 $(4,-6)$ 。先求 $\frac{dy}{dx}=0$ ，再代回 $y$ ，是每一道转折点题目的固定做法。

Q7[3 marks]

已知 $y=x^{3}-5x^{2}+2x$ ，求 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ，以及当 $x=2$ 时的值。

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先求一次导数 $\frac{dy}{dx}$ ，逐项用幂法则。

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-10x+2

再求一次导数，得到二阶导数 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ：

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-10

代入 $x=2$ ，求出该点的值：

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=2}=6(2)-10=2

答案

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-10$ ，在 $x=2$ 处的值是 $2$ 。二阶导数就是把一阶导数再求一次导，同样是幂法则的又一次应用。

Q8[3 marks]

一个正方形的边长以每秒 $2\text{ cm}$ 的定速增加。求当边长为 $5\text{ cm}$ 时，正方形面积的增加速率。

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设边长为 $x$ cm，面积为 $A=x^{2}$ 。已知 $\frac{dx}{dt}=2$ ，要求的是 $\frac{dA}{dt}$ 。

\frac{dA}{dx}=2x

用链式法则把两个速率连接起来：

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\times\frac{dx}{dt}=2x\times 2=4x

代入 $x=5$ ：

\frac{dA}{dt}=4(5)=20

答案

当边长为 $5\text{ cm}$ 时，面积以 $20\text{ cm}^{2}\text{/s}$ 的速率增加。连接两个速率，靠的正是链式法则 $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ 。

这四题表面各异，底下的套路却一致：把每一项都化成幂的形式、仔细求导、一步一步干净地代入。正是这份稳定，把《微分》变成两张试卷里都可靠的得分点。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 微分题都要用到的技能。多做练习时，记住以下几点。

用幂法则 $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对多项式逐项求导；任何常数求导都得 $0$ 。
在求导前把倒数与根式写成幂， $\dfrac{4}{x}=4x^{-1}$ ， $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 。
曲线在某点的斜率，就是 $\frac{dy}{dx}$ 在该点的值。
对括号的幂，用链式法则：把幂拿下来、减一，再乘以括号的导数。
求切线：先找点，再求斜率，再代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ 。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行清楚的求导仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，通常是一个可以纠正的小习惯，求导前分数没有先改写，或者链式法则那一步漏了括号的导数。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

求导前一定要先改写分数和根式吗？

这是最稳妥的做法。把 $\dfrac{4}{x}$ 写成 $4x^{-1}$ ，或把 $\sqrt{x}$ 写成 $x^{1/2}$ ，就能直接套用幂法则，从而避开直接对分数求导这个常见失误。

某点的斜率到底是什么意思？

它是 $\frac{dy}{dx}$ 在该 $x$ 处的值。先求导得到斜率函数，再代入 $x$ 值。

结果为负，表示曲线在该处正在下降。

链式法则里学生最常忘记哪一步？

括号的导数。对 $y=(3x-1)^{4}$ ，你把幂拿下来并减一后，还必须乘以 $3$ ，也就是 $3x-1$ 的导数。

漏掉这个因子是常见错误。

切线方程怎么写？

先求出曲线上的点，再把 $x$ 代入 $\frac{dy}{dx}$ 求斜率，然后把两者代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，化简成 $y=mx+c$ 形式。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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