Pembezaan Contoh Kerja (Mudah)

Q: Perlukah saya menulis semula pecahan dan punca sebelum membezakan?

Itu laluan paling selamat sekali. Menulis 4x\dfrac{4}{x}x4 sebagai 4x−14x^{-1}4x−1, atau x\sqrt{x}x sebagai x1/2x^{1/2}x1/2, membolehkan petua kuasa dikenakan terus, jadi anda mengelak kesilapan biasa iaitu cuba membezakan pecahan seperti sedia ada.

Q: Apakah sebenarnya maksud kecerunan pada satu titik?

Ia ialah nilai dydx\frac{dy}{dx}dxdy pada xxx itu. Bezakan untuk mendapat fungsi kecerunan, kemudian gantikan nilai xxx. Hasil negatif bermakna lengkung menurun di situ.

Q: Apakah satu langkah yang pelajar lupa dalam petua rantai?

Terbitan kurungan. Bagi y=(3x−1)4y=(3x-1)^{4}y=(3x−1)4 anda turunkan kuasa dan kurangkannya, kemudian anda mesti juga darab dengan 333, iaitu terbitan 3x−13x-13x−1. Meninggalkan faktor itu ialah kesilapan biasa.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Pembezaan mudah ini membina empat gerak yang menjadi tunjang seluruh bab: menggunakan petua kuasa $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ pada polinomial, menulis semula salingan atau punca sebagai kuasa sebelum membezakan, mengenakan petua rantai pada kurungan berkuasa, dan mencari persamaan tangen pada satu titik. Setiap satu menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda dapat mengikuti setiap baris tanpa terganggu oleh kalkulator.

Tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris dengan kerja kami. Di mana jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah, baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, tulis semula sebagai kuasa, bezakan sebutan demi sebutan, kemudian gantikan dengan teliti, mengalir dalam setiap satu.

Q1[3 marks]

Diberi $y=x^{3}-4x^{2}+5$ , cari $\frac{dy}{dx}$ dan kecerunan lengkung pada titik apabila $x=2$ .

Show worked solution

Bezakan sebutan demi sebutan dengan petua kuasa $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ ; pemalar $5$ membeza kepada $0$ .

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x

Kecerunan lengkung pada satu titik ialah nilai $\frac{dy}{dx}$ di situ. Gantikan $x=2$ :

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=3(2)^{2}-8(2)=12-16=-4

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x$ , dan kecerunan pada $x=2$ ialah $-4$ . Kecerunan negatif memberitahu anda lengkung itu menurun ketika melalui titik tersebut.

Q2[3 marks]

Bezakan $y=3x^{2}+\dfrac{4}{x}$ terhadap $x$ .

Show worked solution

Mula-mula tulis semula sebutan salingan sebagai kuasa, supaya petua kuasa dapat dikenakan terus. Di sini $\dfrac{4}{x}=4x^{-1}$ .

y=3x^{2}+4x^{-1}

Kini bezakan sebutan demi sebutan, dengan mengekalkan indeks negatif:

\frac{dy}{dx}=6x+4(-1)x^{-2}=6x-4x^{-2}

Akhir sekali, tulis semula kuasa negatif sebagai pecahan supaya jawapan sepadan dengan bentuk soalan:

\frac{dy}{dx}=6x-\frac{4}{x^{2}}

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=6x-\dfrac{4}{x^{2}}$ . Menulis semula $\dfrac{4}{x}$ sebagai $4x^{-1}$ dahulu itulah yang membolehkan petua kuasa bekerja, cuba membezakan pecahan seperti sedia ada ialah tempat markah tergelincir.

Q3[3 marks]

Diberi $y=(3x-1)^{4}$ , cari $\frac{dy}{dx}$ .

Show worked solution

Ini fungsi bagi suatu fungsi, jadi gunakan petua rantai. Biar $u=3x-1$ , supaya $y=u^{4}$ .

\frac{dy}{du}=4u^{3}, \qquad \frac{du}{dx}=3

Darab kedua-dua terbitan, kemudian gantikan $u$ dengan $3x-1$ :

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}=4u^{3}\times 3=12(3x-1)^{3}

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=12(3x-1)^{3}$ . Jalan pintasnya: turunkan kuasa, kurangkan satu, kemudian darab dengan terbitan kurungan $(3)$ , jangan sesekali lupa faktor terakhir itu.

Q4[4 marks]

Suatu lengkung mempunyai persamaan $y=x^{2}-3x+4$ . Cari persamaan tangen kepada lengkung pada titik apabila $x=1$ .

Show worked solution

Mula-mula cari titik sentuh dengan menggantikan $x=1$ ke dalam lengkung:

y=(1)^{2}-3(1)+4=1-3+4=2

Jadi tangen menyentuh lengkung pada $(1,2)$ . Seterusnya cari fungsi kecerunan dan nilaikannya pada $x=1$ :

\frac{dy}{dx}=2x-3 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=2(1)-3=-1

Kecerunan tangen ialah $-1$ . Gunakan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ dengan $m=-1$ dan $(x_{1},y_{1})=(1,2)$ :

y-2=-1(x-1) \;\Rightarrow\; y=-x+1+2 \;\Rightarrow\; y=-x+3

Jawapan

Tangen ialah $y=-x+3$ . Semak titik itu terletak padanya: pada $x=1$ , $y=-1+3=2$ , yang sepadan dengan $(1,2)$ .

Q5[3 marks]

Bezakan $y=6\sqrt{x}+3x$ terhadap $x$ .

Show worked solution

Tulis semula punca sebagai kuasa sebelum membezakan: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , jadi $y=6x^{1/2}+3x$ .

y=6x^{1/2}+3x

Bezakan sebutan demi sebutan dengan petua kuasa $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ :

\frac{dy}{dx}=6\left(\frac{1}{2}\right)x^{-1/2}+3=3x^{-1/2}+3

Tulis semula kuasa negatif sebagai punca supaya jawapan sepadan dengan bentuk soalan:

\frac{dy}{dx}=\frac{3}{\sqrt{x}}+3

Jawapan

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{\sqrt{x}}+3$ . Menulis semula $\sqrt{x}$ sebagai $x^{1/2}$ dahulu yang membolehkan petua kuasa digunakan, gerak yang sama seperti menukar salingan kepada kuasa negatif.

Q6[3 marks]

Suatu lengkung mempunyai persamaan $y=x^{2}-8x+10$ . Cari koordinat titik pusingan lengkung itu.

Show worked solution

Pada titik pusingan, kecerunan ialah sifar, jadi cari $\frac{dy}{dx}$ dahulu.

\frac{dy}{dx}=2x-8

Samakan kecerunan dengan sifar dan selesaikan bagi $x$ :

2x-8=0 \;\Rightarrow\; x=4

Gantikan $x=4$ semula ke dalam persamaan asal untuk mencari nilai $y$ yang sepadan:

y=(4)^{2}-8(4)+10=16-32+10=-6

Jawapan

Titik pusingan ialah $(4,-6)$ . Mencari $\frac{dy}{dx}=0$ dahulu, kemudian menggantikan semula ke dalam $y$ , ialah rutin bagi setiap soalan titik pusingan.

Q7[3 marks]

Diberi $y=x^{3}-5x^{2}+2x$ , cari $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ , dan nilainya apabila $x=2$ .

Show worked solution

Bezakan sekali untuk mencari $\frac{dy}{dx}$ , menggunakan petua kuasa sebutan demi sebutan.

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-10x+2

Bezakan sekali lagi untuk mencari $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ :

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-10

Gantikan $x=2$ untuk mencari nilainya pada titik itu:

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=2}=6(2)-10=2

Jawapan

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-10$ , dan nilainya pada $x=2$ ialah $2$ . Terbitan kedua hanyalah terbitan pertama dibezakan sekali lagi, satu lagi penggunaan petua kuasa yang sama.

Q8[3 marks]

Panjang sisi sebuah segi empat sama bertambah pada kadar malar $2\text{ cm/s}$ . Cari kadar luas segi empat sama itu bertambah pada ketika sisinya $5\text{ cm}$ .

Show worked solution

Biar sisi ialah $x$ cm dan luas ialah $A=x^{2}$ . Diberi $\frac{dx}{dt}=2$ , dan kita mahu $\frac{dA}{dt}$ .

\frac{dA}{dx}=2x

Hubungkan kedua-dua kadar dengan petua rantai:

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\times\frac{dx}{dt}=2x\times 2=4x

Gantikan $x=5$ :

\frac{dA}{dt}=4(5)=20

Jawapan

Luas bertambah pada kadar $20\text{ cm}^{2}\text{/s}$ apabila sisinya $5\text{ cm}$ . Menghubungkan kadar sentiasa melalui petua rantai $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dx}\times\frac{dx}{dt}$ .

Walau berbeza rupa keempat-empatnya, rutin di sebaliknya sama: masukkan setiap sebutan ke dalam bentuk kuasa, bezakan dengan teliti, dan gantikan satu langkah kemas pada satu masa. Kestabilan itulah yang menukar Pembezaan menjadi sumber markah yang boleh dipercayai dalam kedua-dua kertas.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran yang membuka hampir setiap soalan Pembezaan dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Bezakan polinomial sebutan demi sebutan dengan petua kuasa $\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ ; sebarang pemalar membeza kepada $0$ .
Tulis semula salingan dan punca sebagai kuasa, $\dfrac{4}{x}=4x^{-1}$ , $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , sebelum membezakan.
Kecerunan lengkung pada satu titik ialah nilai $\frac{dy}{dx}$ pada titik itu.
Untuk kurungan berkuasa, gunakan petua rantai: turunkan kuasa, kurangkan satu, dan darab dengan terbitan kurungan.
Untuk tangen, cari titik dahulu, kemudian kecerunan, kemudian gantikan ke dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris terbitan yang jelas masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia biasanya satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, pecahan yang tidak ditulis semula sebelum membezakan, atau terbitan kurungan yang terlupa dalam langkah petua rantai. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Perlukah saya menulis semula pecahan dan punca sebelum membezakan?

Itu laluan paling selamat sekali. Menulis $\dfrac{4}{x}$ sebagai $4x^{-1}$ , atau $\sqrt{x}$ sebagai $x^{1/2}$ , membolehkan petua kuasa dikenakan terus, jadi anda mengelak kesilapan biasa iaitu cuba membezakan pecahan seperti sedia ada.

Apakah sebenarnya maksud kecerunan pada satu titik?

Ia ialah nilai $\frac{dy}{dx}$ pada $x$ itu. Bezakan untuk mendapat fungsi kecerunan, kemudian gantikan nilai $x$ .

Hasil negatif bermakna lengkung menurun di situ.

Apakah satu langkah yang pelajar lupa dalam petua rantai?

Terbitan kurungan. Bagi $y=(3x-1)^{4}$ anda turunkan kuasa dan kurangkannya, kemudian anda mesti juga darab dengan $3$ , iaitu terbitan $3x-1$ .

Meninggalkan faktor itu ialah kesilapan biasa.

Bagaimana saya menulis persamaan tangen?

Cari titik pada lengkung, cari kecerunan dengan menggantikan ke dalam $\frac{dy}{dx}$ , kemudian masukkan kedua-duanya ke dalam $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ . Permudahkan kepada bentuk $y=mx+c$ .

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pembezaan, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?