微分，练习题

用幂法则 $\dfrac{d}{dx}(ax^{n})=anx^{\,n-1}$ 逐项求导：每一项的次数降一次，并乘以原来的次数。常数 $7$ 求导后为 $0$：

$$\frac{dy}{dx}=3(4)x^{3}-5(2)x^{1}+0$$

$$\frac{dy}{dx}=12x^{3}-10x$$

曲线在某点的斜率就是 $\dfrac{dy}{dx}$ 在该点的值，所以先求导得到斜率函数：

$$\frac{dy}{dx}=6x^{2}-4$$

再把 $x=2$ 代入导数，而不是代入原曲线，否则得到的是 $y$ 值而不是斜率：

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=6(2)^{2}-4=6(4)-4=20$$

由于一整个函数在幂的里面，使用链式法则：先对外层的幂求导并保持内层不变，再乘以内层 $(3x-1)$ 的导数，即 $3$：

$$\frac{dy}{dx}=4(3x-1)^{3}\times3=12(3x-1)^{3}$$

再代入 $x=1$。先算内层，$3(1)-1=2$，再取三次方，然后相乘：

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=12(2)^{3}=12(8)=96$$

先求曲线上的点。把 $x=3$ 代入方程：$y=(3)^{2}-3(3)+4=9-9+4=4$，所以点为 $(3,4)$。

再求导得到斜率函数及其在此处的值：

$$\frac{dy}{dx}=2x-3 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2(3)-3=3$$

（a）切线斜率为 $3$，过点 $(3,4)$。用直线形式 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$：

$$y-4=3(x-3) \;\Rightarrow\; y=3x-5$$

（b）法线与切线垂直，所以其斜率为负倒数 $-\dfrac{1}{3}$。用同一点 $(3,4)$：

$$y-4=-\tfrac{1}{3}(x-3) \;\Rightarrow\; y=-\tfrac{1}{3}x+5$$

在转折点处斜率为零，所以求导并令 $\dfrac{dy}{dx}=0$。因式分解以读出 $x$ 的值：

$$\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ 或 } x=2$$

把每个 $x$ 代回原曲线求 $y$：当 $x=0$，$y=4$；当 $x=2$，$y=8-12+4=0$。再求一次导，用二阶导数判定类型：

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6$$

当 $x=0$：$6(0)-6=-6<0$，所以曲线在此处取极大。当 $x=2$：$6(2)-6=6>0$，所以曲线在此处取极小。

（a）题目给了一个对时间的变化率，又要另一个，所以用链式法则 $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ 把它们联系起来。对面积求导得 $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$，并用已知的 $\dfrac{dr}{dt}=0.3$：

$$\frac{dA}{dt}=2\pi r\times\frac{dr}{dt}=2\pi(4)(0.3)=2.4\pi$$

（b）对周长做同样处理。这里 $\dfrac{dC}{dr}=2\pi$，是一个与 $r$ 无关的常数：

$$\frac{dC}{dt}=2\pi\times\frac{dr}{dt}=2\pi(0.3)=0.6\pi$$