Pembezaan Soalan Latihan

Q: Bila saya gantikan ke dalam terbitan dan bila ke dalam persamaan asal?

Gantikan ke dalam dydx\frac{dy}{dx}dxdy setiap kali anda perlukan kecerunan, kadar, atau kedudukan titik pusingan. Gantikan ke dalam yyy asal apabila anda perlukan koordinat yyy sebenar bagi suatu titik.

Q: Bagaimana ujian terbitan kedua membezakan maksimum daripada minimum?

Cari d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y dan masukkan nilai xxx titik pusingan. Jika ia positif, titik itu ialah minimum; jika negatif, ia maksimum. Gambaran berguna: lembah melengkung ke atas (positif), bukit melengkung ke bawah (negatif).

Q: Bagaimana saya tahu petua mana untuk digunakan, kuasa, rantai atau lain?

Guna petua kuasa biasa ddx(axn)=anxn−1\frac{d}{dx}(ax^{n})=anx^{n-1}dxd(axn)=anxn−1 sebutan demi sebutan bagi polinomial. Guna petua rantai hanya apabila seluruh fungsi berada di dalam kurungan yang dinaikkan kepada kuasa, seperti (3x−1)4(3x-1)^{4}(3x−1)4; kemudian bezakan bahagian luar dan darab dengan terbitan bahagian dalam.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab, daripada petua kuasa yang biasa hingga kadar perubahan yang menghubungkan dua terbitan. Beri diri anda kira-kira empat hingga tujuh minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, namakan petua yang anda guna, bezakan, kemudian gantikan nilai $x$ dan nyatakan kecerunan, titik atau kadar yang diminta.

Tahan keinginan untuk mengintai.

Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris. Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang.

Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, terbitan $\frac{dy}{dx}$ yang betul masih memperoleh markah kaedah walaupun penggantian akhir tergelincir, jadi tulis ungkapan terbitan dengan jelas sebelum anda memasukkan nombor.

Dua tabiat membawa seluruh bab ini. Pertama, $\frac{dy}{dx}$ ialah fungsi kecerunan: ia memberi kecerunan lengkung pada sebarang $x$ , jadi kecerunan, kadar atau titik pusingan sentiasa membawa anda kepada terbitan.

Kedua, bentuk jawapan penting, kecerunan ialah nombor, persamaan tangen ialah garis, dan titik pusingan ialah koordinat bersama jenisnya. Tentukan yang mana diminta soalan sebelum anda menulis apa-apa.

Enam soalan latihan

Q1[2 marks]

Diberi $y=3x^{4}-5x^{2}+7$ , cari $\dfrac{dy}{dx}$ .

Show worked solution

Bezakan sebutan demi sebutan dengan petua kuasa $\dfrac{d}{dx}(ax^{n})=anx^{\,n-1}$ : setiap sebutan menurunkan kuasanya satu dan mendarab dengan kuasa lama. Pemalar $7$ dibezakan menjadi $0$ :

\frac{dy}{dx}=3(4)x^{3}-5(2)x^{1}+0

\frac{dy}{dx}=12x^{3}-10x

Jawapan

$\dfrac{dy}{dx}=12x^{3}-10x$ . Setiap sebutan menurunkan kuasanya satu dan mendarab dengan kuasa lama; pemalar tunggal lenyap.

Q2[3 marks]

Diberi $y=2x^{3}-4x+1$ , cari kecerunan lengkung pada titik dengan $x=2$ .

Show worked solution

Kecerunan lengkung pada satu titik ialah nilai $\dfrac{dy}{dx}$ di situ, jadi bezakan dahulu untuk mendapat fungsi kecerunan:

\frac{dy}{dx}=6x^{2}-4

Kini gantikan $x=2$ ke dalam terbitan, bukan ke dalam lengkung asal, yang akan memberi nilai $y$ dan bukan kecerunan:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=6(2)^{2}-4=6(4)-4=20

Jawapan

Kecerunan pada $x=2$ ialah $20$ . Ingat untuk menggantikan ke dalam terbitan, bukan ke dalam $y$ asal.

Q3[4 marks]

Diberi $y=(3x-1)^{4}$ , cari $\dfrac{dy}{dx}$ dan seterusnya kecerunan lengkung pada $x=1$ .

Show worked solution

Oleh sebab seluruh fungsi berada di dalam kuasa, guna petua rantai: bezakan kuasa luar dengan mengekalkan bahagian dalam, kemudian darab dengan terbitan bahagian dalam $(3x-1)$ , iaitu $3$ :

\frac{dy}{dx}=4(3x-1)^{3}\times3=12(3x-1)^{3}

Kini gantikan $x=1$ . Kira bahagian dalam dahulu, $3(1)-1=2$ , kemudian kubuskannya sebelum mendarab:

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=12(2)^{3}=12(8)=96

Jawapan

$\dfrac{dy}{dx}=12(3x-1)^{3}$ , dan kecerunan pada $x=1$ ialah $96$ . Faktor $3$ daripada bahagian dalam ialah langkah yang paling kerap dilupakan.

Q4[5 marks]

Suatu lengkung mempunyai persamaan $y=x^{2}-3x+4$ . Cari persamaan (a) tangen dan (b) normal kepada lengkung pada titik dengan $x=3$ .

Show worked solution

Cari titik pada lengkung dahulu. Gantikan $x=3$ ke dalam persamaan: $y=(3)^{2}-3(3)+4=9-9+4=4$ , jadi titiknya ialah $(3,4)$ .

Kemudian bezakan untuk mendapat fungsi kecerunan dan nilainya di sini:

\frac{dy}{dx}=2x-3 \;\Rightarrow\; \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2(3)-3=3

(a) Tangen mempunyai kecerunan $3$ dan melalui $(3,4)$ . Guna bentuk garis lurus $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ :

y-4=3(x-3) \;\Rightarrow\; y=3x-5

(b) Normal berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah salingan negatif, $-\dfrac{1}{3}$ . Guna titik yang sama $(3,4)$ :

y-4=-\tfrac{1}{3}(x-3) \;\Rightarrow\; y=-\tfrac{1}{3}x+5

Jawapan

(a) Tangen: $y=3x-5$ . (b) Normal: $y=-\tfrac{1}{3}x+5$ , atau setara dengan $x+3y=15$ .

Semak titik pada setiap satu: pada $x=3$ , tangen memberi $4$ dan normal memberi $4$ .

Q5[5 marks]

Cari koordinat titik pusingan bagi lengkung $y=x^{3}-3x^{2}+4$ , dan tentukan jenis setiap satu.

Show worked solution

Pada titik pusingan, kecerunan ialah sifar, jadi bezakan dan tetapkan $\dfrac{dy}{dx}=0$ . Faktorkan untuk membaca nilai $x$ :

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x=3x(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ atau } x=2

Cari setiap $y$ dengan menggantikan semula ke dalam lengkung asal: pada $x=0$ , $y=4$ ; pada $x=2$ , $y=8-12+4=0$ . Kini bezakan sekali lagi untuk menguji jenisnya dengan terbitan kedua:

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6

Pada $x=0$ : $6(0)-6=-6<0$ , jadi lengkung berada pada titik maksimum. Pada $x=2$ : $6(2)-6=6>0$ , jadi lengkung berada pada titik minimum.

Jawapan

$(0,4)$ ialah titik maksimum dan $(2,0)$ ialah titik minimum. Terbitan kedua yang positif bermaksud minimum; yang negatif bermaksud maksimum.

Q6[6 marks]

Jejari $r\ \text{cm}$ suatu bulatan bertambah pada kadar tetap $0.3\ \text{cm s}^{-1}$ . Cari (a) kadar pertambahan luas apabila $r=4\ \text{cm}$ , (b) kadar pertambahan lilitan.

[Luas $A=\pi r^{2}$ , lilitan $C=2\pi r$ .]

Show worked solution

(a) Anda diberi satu kadar terhadap masa dan diminta satu lagi, jadi hubungkan keduanya dengan petua rantai $\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}$ . Bezakan luas untuk mendapat $\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$ , dan guna $\dfrac{dr}{dt}=0.3$ yang diberi:

\frac{dA}{dt}=2\pi r\times\frac{dr}{dt}=2\pi(4)(0.3)=2.4\pi

(b) Lakukan perkara yang sama untuk lilitan. Di sini $\dfrac{dC}{dr}=2\pi$ , suatu pemalar yang tidak bergantung pada $r$ :

\frac{dC}{dt}=2\pi\times\frac{dr}{dt}=2\pi(0.3)=0.6\pi

Jawapan

(a) Luas bertambah pada $2.4\pi\approx7.54\ \text{cm}^{2}\,\text{s}^{-1}$ . (b) Lilitan bertambah pada $0.6\pi\approx1.88\ \text{cm s}^{-1}$ .

Kadar lilitan tetap kerana $\frac{dC}{dr}$ tidak mengandungi $r$ .

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada nombor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari terbitan yang betul, petua yang tepat dinamakan, penggantian yang kemas, dan jawapan akhir dalam bentuk yang diminta soalan.

Lalui senarai semak di bawah bagi setiap soalan, dan jujur tentang baris tepat tempat markah diperoleh atau hilang.

Markah terbitan: adakah $\frac{dy}{dx}$ betul, dengan setiap kuasa diturunkan satu dan didarab dengan kuasa lama?
Markah petua rantai: apabila suatu fungsi berada di dalam kuasa, adakah anda mendarab dengan terbitan bahagian dalam?
Markah penggantian: adakah anda memasukkan nilai $x$ ke dalam terbitan bagi kecerunan, dan ke dalam lengkung asal bagi koordinat $y$ ?
Markah jenis: bagi titik pusingan, adakah anda menguji dengan terbitan kedua, positif bermaksud minimum, negatif bermaksud maksimum?
Jika nombor akhir anda salah tetapi terbitan dan kaedah betul, berikan diri anda markah kaedah, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, terlupa faktor bahagian dalam dalam petua rantai, menggantikan ke dalam $y$ dan bukan $\frac{dy}{dx}$ bagi kecerunan, atau tersilap membaca tanda terbitan kedua, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bila saya gantikan ke dalam terbitan dan bila ke dalam persamaan asal?

Gantikan ke dalam $\frac{dy}{dx}$ setiap kali anda perlukan kecerunan, kadar, atau kedudukan titik pusingan. Gantikan ke dalam $y$ asal apabila anda perlukan koordinat $y$ sebenar bagi suatu titik.

Bagaimana ujian terbitan kedua membezakan maksimum daripada minimum?

Cari $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dan masukkan nilai $x$ titik pusingan. Jika ia positif, titik itu ialah minimum; jika negatif, ia maksimum.

Gambaran berguna: lembah melengkung ke atas (positif), bukit melengkung ke bawah (negatif).

Apakah kecerunan normal?

Normal berserenjang dengan tangen, jadi kecerunannya ialah salingan negatif kecerunan tangen. Jika kecerunan tangen ialah $3$ , kecerunan normal ialah $-\frac{1}{3}$ .

Bagaimana saya tahu petua mana untuk digunakan, kuasa, rantai atau lain?

Guna petua kuasa biasa $\frac{d}{dx}(ax^{n})=anx^{n-1}$ sebutan demi sebutan bagi polinomial. Guna petua rantai hanya apabila seluruh fungsi berada di dalam kurungan yang dinaikkan kepada kuasa, seperti $(3x-1)^{4}$ ; kemudian bezakan bahagian luar dan darab dengan terbitan bahagian dalam.

Adakah jawapan akhir yang salah menyebabkan saya hilang setiap markah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, terbitan yang betul dan kaedah yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sentiasa tulis $\frac{dy}{dx}$ dengan jelas sebelum anda menggantikan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Pembezaan, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?