弧度与圆的度量，例题（KBAT）

阴影区域是一个外扇形挖去一个内扇形，两者共用同一个圆心 $O$ 和同一个角 $1.2$ 弧度，只是半径分别为 $10$ 与 $4$。

（a）用大扇形减去小扇形。由于角是共用的，把它提到括号外：

$$A=\tfrac{1}{2}R^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\theta\,(R^{2}-r^{2})$$

代入 $R=10$、$r=4$ 与 $\theta=1.2$：

$$A=\tfrac{1}{2}(1.2)\,(10^{2}-4^{2})=0.6\,(100-16)=0.6\times84=50.4$$

（b）边界有四部分：外弧 $AB$、内弧 $CD$，以及沿半径的两段直边 $CA$ 与 $DB$。每段直边为 $R-r=10-4=6$ 厘米。

用 $s=r\theta$ 求两条弧：

$$\text{弧 } AB=10\times1.2=12\qquad \text{弧 } CD=4\times1.2=4.8$$

把四条边相加：

$$P=12+4.8+6+6=28.8$$

（a）弦与两条半径构成一个等腰三角形。沿它的对称轴切成两个直角三角形；每个的斜边为 $r=10$、对边为 $\tfrac{12}{2}=6$、在圆心处的角为 $\tfrac{\theta}{2}$：

$$\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{6}{10}=0.6$$

取反正弦，再翻倍得到 $\theta$：

$$\dfrac{\theta}{2}=\sin^{-1}(0.6)=0.6435\;\Rightarrow\;\theta=1.2870$$

（b）劣弓形是扇形减三角形：$A=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$。这里 $\sin\theta$ 可由倍角公式得到精确值，因为 $\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)=\sqrt{1-0.6^{2}}=0.8$：

$$\sin\theta=2\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2(0.6)(0.8)=0.96$$

代入 $r=10$、$\theta=1.2870$ 与 $\sin\theta=0.96$：

$$A=\tfrac{1}{2}(10^{2})(1.2870-0.96)=50\times0.3270=16.35$$

写下两个条件。设半径为 $r$、角为 $\theta$ 弧度：

$$\text{面积：}\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=45\quad\Rightarrow\quad r^{2}\theta=90$$

$$\text{周长：}2r+r\theta=28\quad\Rightarrow\quad r\theta=28-2r$$

留意 $r^{2}\theta=r\,(r\theta)$。把周长的结果代入面积的结果，消去 $\theta$：

$$r\,(r\theta)=90\;\Rightarrow\;r\,(28-2r)=90\;\Rightarrow\;28r-2r^{2}=90$$

整理成标准二次方程，再两边除以 $2$：

$$2r^{2}-28r+90=0\;\Rightarrow\;r^{2}-14r+45=0$$

这就是所要的方程。把它因式分解，乘积为 $45$、和为 $14$ 的两个数是 $5$ 与 $9$：

$$(r-5)(r-9)=0\;\Rightarrow\;r=5\ \text{或}\ r=9$$

由 $r\theta=28-2r$ 求每个角。当 $r=5$：$5\theta=28-10=18$，故 $\theta=3.6$。

当 $r=9$：$9\theta=28-18=10$，故 $\theta=\dfrac{10}{9}=1.11$（两位小数）。

把两个已知条件用同一组符号写出来，方便合并。设半径为 $r$、角为 $\theta$ 弧度。

$$\text{面积：}\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=48\qquad \text{弧长：}r\theta=12$$

（a）留意 $r^{2}\theta=r\,(r\theta)$，所以面积方程其实是 $\tfrac12 r\,(r\theta)=48$。直接代入弧长，完全不用先求 $\theta$：

$$\tfrac{1}{2}r(12)=48\;\Rightarrow\;6r=48\;\Rightarrow\;r=8$$

（b）知道半径后，角可以立刻由弧长方程求出。

$$\theta=\dfrac{12}{r}=\dfrac{12}{8}=1.5$$

（c）弦 $AB$ 把两条半径构成的等腰三角形封起来，所以用 $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$：

$$AB=2(8)\sin(0.75)=16\times0.6816=10.91$$

由于 $O_1O_2=O_1P=O_2P=10$ 厘米，三角形 $O_1O_2P$ 三边相等，它是等边三角形，所以其中每个角都是 $60^{\circ}=\tfrac{\pi}{3}$ 弧度。

$$\angle PO_1O_2=\dfrac{\pi}{3}$$

由对称性，$Q$ 是 $P$ 关于直线 $O_1O_2$ 的镜像，所以 $\angle QO_1O_2$ 也是 $\tfrac{\pi}{3}$。圆 1 圆心处的完整角 $\angle PO_1Q$ 因此是它的两倍，同样的道理在 $O_2$ 处给出相同的角：

$$\theta=\angle PO_1Q=\angle PO_2Q=2\times\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$$

重叠区域（「透镜形」）由两个全等的弓形组成，分别从每个圆中，由公共弦 $PQ$ 截出，半径都是 $10$，角都是 $\tfrac{2\pi}{3}$。先求一个弓形，用 $\sin\theta=\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$：

$$A_{\text{弓形}}=\tfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)=\tfrac12(10^{2})\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=50(2.0944-0.8660)=61.42$$

把它翻倍，因为两个圆对透镜形的贡献相等：

$$A_{\text{透镜}}=2\times61.42=122.84$$

远离棚屋的一侧，山羊本可吃遍半径 $7$ 米的整个圆，只是 $A$ 点处被棚屋本身挡住了 $90^{\circ}$ 的一块，所以主要区域是一个角为 $360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}=\tfrac{3\pi}{2}$ 弧度的扇形：

$$A_1=\tfrac12(7^{2})\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\tfrac12(49)\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=36.75\pi$$

当绳子绷紧、绕过 $4$ 米那条边到下一个角 $B$ 时，越过 $B$ 只剩下 $7-4=3$ 米绳子，能再吃到四分之一圈（棚屋在那里又转了 $90^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}$ 弧度）：

$$A_2=\tfrac12(3^{2})\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac12(9)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2.25\pi$$

反方向绕过 $3$ 米那条边到角 $D$ 时，越过 $D$ 剩下 $7-3=4$ 米绳子，同样再吃到那里的四分之一圈：

$$A_3=\tfrac12(4^{2})\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac12(16)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=4\pi$$

两边剩下的绳长恰好等于棚屋剩余那条边的长度（$3$ 米和 $4$ 米），所以绳子刚好到达最远的角 $C$ 而没有剩余，两边都不需要第三个扇形。把三块面积相加：

$$A=36.75\pi+2.25\pi+4\pi=43\pi\approx135.09$$

设半径为 $r$、角为 $\theta$ 弧度。周长是两条半径加上弧长：

$$2r+r\theta=24\;\Rightarrow\;r\theta=24-2r\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{24-2r}{r}$$

把这个 $\theta$ 代入面积公式，使面积只由 $r$ 决定：

$$A=\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r^{2}\left(\dfrac{24-2r}{r}\right)=\tfrac12r(24-2r)=12r-r^{2}$$

这就是所要的表达式。由于 $r^{2}$ 的系数为负，配方以找出其最大值：

$$A=-(r^{2}-12r)=-\left[(r-6)^{2}-36\right]=36-(r-6)^{2}$$

$(r-6)^{2}$ 永远不会是负数，所以 $A$ 在 $(r-6)^{2}=0$，也就是 $r=6$ 时取得最大值 $36$。

一条跑道的两个半圆弯道合起来总是恰好构成一个整圆，所以一圈的距离等于两倍直道长度加上这个圆的周长。

$$\text{内圈：} D_{\text{内}}=2(40)+2\pi r=80+2\pi r$$

$$\text{外圈：} D_{\text{外}}=2(40)+2\pi(r+1)=80+2\pi r+2\pi$$

（a）把两个距离相减。直道部分与 $2\pi r$ 这一项在两者中完全相同，因此完全抵消：

$$D_{\text{外}}-D_{\text{内}}=(80+2\pi r+2\pi)-(80+2\pi r)=2\pi$$

这个差里根本没有 $r$，所以不论半径是多少都成立，多跑的距离永远是 $2\pi\approx6.28$ 米，与弯道有多宽无关。

（b）把 $r=30$ 代入外圈的公式：

$$D_{\text{外}}=80+2\pi(31)=80+62\pi=80+194.78=274.78$$