Sukatan Membulat Contoh Kerja (KBAT)

Q: Bagaimana saya mencari luas rantau antara dua lengkok dari pusat yang sama?

Ia ialah sektor besar dengan sektor lebih kecil dikeluarkan. Oleh sebab kedua-duanya berkongsi sudut θ\thetaθ, luasnya ialah 12θ(R2−r2)\tfrac{1}{2}\theta(R^{2}-r^{2})21θ(R2−r2). Bagi perimeter, tambah lengkok luar, lengkok dalam, dan dua keping jejari lurus, setiap satu berpanjang R−rR-rR−r.

Q: Mengapa menggunakan identiti sudut berganda membantu dalam masalah perentas?

Setelah sin⁡ ⁣(θ2)=0.6\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=0.6sin(2θ)=0.6, segi tiga tegak memberi cos⁡ ⁣(θ2)=0.8\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=0.8cos(2θ)=0.8 dengan tepat, jadi sin⁡θ=2(0.6)(0.8)=0.96\sin\theta=2(0.6)(0.8)=0.96sinθ=2(0.6)(0.8)=0.96 adalah tepat. Hanya θ\thetaθ sendiri membawa nilai terbundar ke baris akhir, yang mengekalkan luas tembereng tepat.

Q: Bagaimana menggabungkan luas dan perimeter memberi kuadratik?

Luas memberi r2θ=90r^{2}\theta=90r2θ=90 dan perimeter memberi rθ=28−2rr\theta=28-2rrθ=28−2r. Menulis r2θr^{2}\thetar2θ sebagai r(rθ)r(r\theta)r(rθ) membolehkan anda menggantikan rθr\thetarθ, menghasilkan r(28−2r)=90r(28-2r)=90r(28−2r)=90. Disusun semula dan dibahagi dua, itulah r2−14r+45=0r^{2}-14r+45=0r2−14r+45=0.

Q: Bila kedua-dua punca kuadratik boleh diterima sebagai jawapan?

Sudut sektor mesti positif dan tidak lebih daripada satu pusingan penuh, 0<θ≤2π≈6.280<\theta\le2\pi\approx6.280<θ≤2π≈6.28. Di sini r=5r=5r=5 memberi θ=3.6\theta=3.6θ=3.6 dan r=9r=9r=9 memberi θ≈1.11\theta\approx1.11θ≈1.11; kedua-dua sudut kurang daripada 2π2\pi2π, jadi kedua-dua sektor benar-benar wujud dan kedua-dua jejari sah.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Sukatan Membulat sukar ini meminta anda memegang dua idea bersama dalam satu soalan. Anda akan mencari luas dan perimeter rantau yang terperangkap antara dua lengkok sepusat, mendapatkan semula sudut pusat daripada perentas yang diberi sebelum boleh mencari tembereng, dan mengubah sepasang syarat sektor menjadi kuadratik yang kedua-dua puncanya jawapan tulen.

Nombornya masih dipilih supaya kekal kemas, tetapi perancangan itulah kerja sebenar: tentukan apa yang dibuka oleh setiap fakta yang diberi, dan dalam susunan apa, sebelum anda menyentuh kalkulator. Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; pada soalan sukar itu hampir selalu langkah perancangan, bukan langkah aritmetik.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Setiap satu memberi ganjaran kepada rancangan yang jelas: memisahkan rantau kepada dua sektor, menggunakan perentas untuk mencapai sudut, atau menggabungkan rumus luas dan perimeter menjadi satu persamaan dalam satu anu.

Q1[5 marks]

Suatu sektor $OAB$ bulatan berpusat $O$ mempunyai jejari $OA=10$ cm dan sudut $AOB=1.2$ radian. Titik $C$ dan $D$ terletak pada $OA$ dan $OB$ dengan $OC=OD=4$ cm, dan lengkok $CD$ dilukis.

Cari (a) luas rantau berlorek $ABDC$ antara lengkok $AB$ dan lengkok $CD$ , dan (b) perimeter rantau itu.

Show worked solution

Rantau berlorek ialah sektor luar dengan sektor dalam dikeluarkan, kedua-duanya berkongsi pusat $O$ yang sama dan sudut $1.2$ rad yang sama, tetapi berjejari $10$ dan $4$ .

(a) Tolak sektor kecil daripada sektor besar. Oleh sebab sudutnya sepunya, keluarkannya sebagai faktor:

A=\tfrac{1}{2}R^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\theta\,(R^{2}-r^{2})

Gantikan $R=10$ , $r=4$ dan $\theta=1.2$ :

A=\tfrac{1}{2}(1.2)\,(10^{2}-4^{2})=0.6\,(100-16)=0.6\times84=50.4

(b) Sempadan ada empat bahagian: lengkok luar $AB$ , lengkok dalam $CD$ , dan dua keping lurus $CA$ dan $DB$ sepanjang jejari. Setiap keping lurus ialah $R-r=10-4=6$ cm.

Cari dua lengkok dengan $s=r\theta$ :

\text{lengkok } AB=10\times1.2=12\qquad \text{lengkok } CD=4\times1.2=4.8

Tambah keempat-empat tepi:

P=12+4.8+6+6=28.8

Jawapan

(a) Luas berlorek ialah $50.4$ cm $^{2}$ ; (b) perimeternya ialah $28.8$ cm. Semak luas dengan cara kedua: sektor besar ialah $\tfrac{1}{2}(100)(1.2)=60$ dan sektor kecil ialah $\tfrac{1}{2}(16)(1.2)=9.6$ , dan $60-9.6=50.4$ .

Q2[5 marks]

Suatu perentas $AB$ bulatan berjejari $10$ cm mempunyai panjang $12$ cm. Cari (a) sudut $\theta$ yang dicangkum oleh perentas di pusat, dalam radian, dan (b) luas tembereng minor yang dipotong oleh perentas, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

(a) Perentas dan dua jejari membentuk segi tiga sama kaki. Pisahkannya menyusuri paksi simetri kepada dua segi tiga bersudut tegak; setiap satu mempunyai hipotenus $r=10$ , sisi bertentangan $\tfrac{12}{2}=6$ dan sudut $\tfrac{\theta}{2}$ di pusat:

\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{6}{10}=0.6

Ambil sinus songsang, kemudian gandakannya untuk mencapai $\theta$ :

\dfrac{\theta}{2}=\sin^{-1}(0.6)=0.6435\;\Rightarrow\;\theta=1.2870

(b) Tembereng minor ialah sektor tolak segi tiga: $A=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ . Di sini $\sin\theta$ adalah tepat melalui identiti sudut berganda, kerana $\cos\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)=\sqrt{1-0.6^{2}}=0.8$ :

\sin\theta=2\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2(0.6)(0.8)=0.96

Gantikan $r=10$ , $\theta=1.2870$ dan $\sin\theta=0.96$ :

A=\tfrac{1}{2}(10^{2})(1.2870-0.96)=50\times0.3270=16.35

Jawapan

(a) $\theta=1.2870$ rad (4 t.p.); (b) luas tembereng minor ialah $16.35$ cm $^{2}$ (2 t.p.). Laluan sudut berganda mengelak pembundaran kedua: mengekalkan $\sin\theta=0.96$ tepat bermakna hanya $\theta$ membawa sebarang pembundaran ke baris akhir.

Q3[6 marks]

Suatu sektor bulatan mempunyai luas $45$ cm $^{2}$ dan perimeter $28$ cm. Tunjukkan bahawa jejari memenuhi $r^{2}-14r+45=0$ , dan seterusnya cari kedua-dua jejari yang mungkin serta sudut sektornya dalam radian.

Show worked solution

Tulis kedua-dua syarat. Biar jejari ialah $r$ dan sudut $\theta$ radian:

\text{Luas: }\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=45\quad\Rightarrow\quad r^{2}\theta=90

\text{Perimeter: }2r+r\theta=28\quad\Rightarrow\quad r\theta=28-2r

Perhatikan $r^{2}\theta=r\,(r\theta)$ . Gantikan hasil perimeter ke dalam hasil luas untuk menyingkirkan $\theta$ :

r\,(r\theta)=90\;\Rightarrow\;r\,(28-2r)=90\;\Rightarrow\;28r-2r^{2}=90

Susun semula kepada kuadratik piawai dan bahagi dengan $2$ :

2r^{2}-28r+90=0\;\Rightarrow\;r^{2}-14r+45=0

Inilah persamaan yang dikehendaki. Faktorkannya, dua nombor dengan hasil darab $45$ dan hasil tambah $14$ ialah $5$ dan $9$ :

(r-5)(r-9)=0\;\Rightarrow\;r=5\ \text{atau}\ r=9

Cari setiap sudut daripada $r\theta=28-2r$ . Bagi $r=5$ : $5\theta=28-10=18$ , jadi $\theta=3.6$ .

Bagi $r=9$ : $9\theta=28-18=10$ , jadi $\theta=\dfrac{10}{9}=1.11$ (2 t.p.).

Jawapan

Kedua-dua penyelesaian sah kerana setiap sudut kurang daripada satu pusingan penuh $2\pi\approx6.28$ : sama ada $r=5$ cm dengan $\theta=3.6$ rad, atau $r=9$ cm dengan $\theta=\dfrac{10}{9}\approx1.11$ rad. Semak: $\tfrac{1}{2}(25)(3.6)=45$ dan $\tfrac{1}{2}(81)\!\left(\tfrac{10}{9}\right)=45$ , kedua-duanya memberi luas yang dinyatakan.

Q4[5 marks]

Suatu sektor bulatan mempunyai luas $48$ cm $^2$ dan panjang lengkok $12$ cm. Cari (a) jejari bulatan itu, (b) sudut yang tercakup di pusat, dalam radian, dan (c) panjang perentas yang menyambungkan kedua-dua hujung lengkok itu, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Tulis kedua-dua fakta yang diberi menggunakan simbol yang sama supaya anda boleh menggabungkannya. Biar jejari ialah $r$ dan sudut $\theta$ radian.

\text{Luas: }\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=48\qquad \text{Panjang lengkok: }r\theta=12

(a) Perhatikan $r^{2}\theta=r\,(r\theta)$ , jadi persamaan luas sebenarnya ialah $\tfrac12 r\,(r\theta)=48$ . Gantikan panjang lengkok terus, tanpa mencari $\theta$ dahulu:

\tfrac{1}{2}r(12)=48\;\Rightarrow\;6r=48\;\Rightarrow\;r=8

(b) Setelah jejari diketahui, sudut boleh didapati serta-merta daripada persamaan panjang lengkok.

\theta=\dfrac{12}{r}=\dfrac{12}{8}=1.5

(c) Perentas $AB$ menutup segi tiga sama kaki yang dibentuk oleh dua jejari, jadi gunakan $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ :

AB=2(8)\sin(0.75)=16\times0.6816=10.91

Jawapan

(a) $r=8$ cm; (b) $\theta=1.5$ rad; (c) perentas $AB\approx10.91$ cm (2 t.p.). Semak: luas sektor ialah $\tfrac12(8^{2})(1.5)=48$ cm $^2$ dan lengkoknya ialah $8\times1.5=12$ cm, kedua-duanya sepadan dengan soalan.

Q5[6 marks]

Dua bulatan, masing-masing berjejari $10$ cm, mempunyai pusat $O_1$ dan $O_2$ yang berjarak tepat $10$ cm antara satu sama lain. Kedua-dua bulatan bersilang di titik $P$ dan $Q$ .

Cari luas yang sepunya kepada kedua-dua bulatan itu, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Oleh sebab $O_1O_2=O_1P=O_2P=10$ cm, segi tiga $O_1O_2P$ mempunyai tiga sisi sama, ia sama sisi, jadi setiap sudut di dalamnya ialah $60^{\circ}=\tfrac{\pi}{3}$ rad.

\angle PO_1O_2=\dfrac{\pi}{3}

Secara simetri, $Q$ ialah imej cermin $P$ merentasi garis $O_1O_2$ , jadi $\angle QO_1O_2$ juga $\tfrac{\pi}{3}$ . Sudut penuh $\angle PO_1Q$ di pusat bulatan 1 dengan itu dua kali ganda, dan pemikiran yang sama memberi sudut serupa di $O_2$ :

\theta=\angle PO_1Q=\angle PO_2Q=2\times\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}

Rantau bertindih ('kanta') terdiri daripada dua tembereng serupa, satu dipotong daripada setiap bulatan oleh perentas sepunya $PQ$ , masing-masing berjejari $10$ dan bersudut $\tfrac{2\pi}{3}$ . Cari satu tembereng, menggunakan $\sin\theta=\sin120^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ :

A_{\text{tembereng}}=\tfrac12r^{2}(\theta-\sin\theta)=\tfrac12(10^{2})\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=50(2.0944-0.8660)=61.42

Gandakannya, kerana kedua-dua bulatan menyumbang tembereng yang sama besar kepada kanta itu:

A_{\text{kanta}}=2\times61.42=122.84

Jawapan

Luas yang sepunya kepada kedua-dua bulatan ialah $122.84$ cm $^2$ (2 t.p.). Semak akal: kanta itu mesti lebih kecil daripada mana-mana bulatan penuh ( $\pi(10)^2\approx314.16$ cm $^2$ ) dan lebih besar daripada $0$ , $122.84$ berada selesa antara kedua-duanya, seperti dijangka apabila pusat berjarak satu jejari.

Q6[6 marks]

Seekor kambing diikat dengan tali sepanjang $7$ m pada sudut $A$ sebuah bangsal berbentuk segi empat tepat berukuran $4$ m dengan $3$ m, berdiri di tengah-tengah padang terbuka. Tali itu hanya tetap pada $A$ dan boleh melilit sudut-sudut bangsal semasa kambing berjalan.

Cari jumlah luas yang boleh diragut oleh kambing itu, berikan jawapan sebagai gandaan tepat $\pi$ dan betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Jauh daripada bangsal, kambing meragut bulatan penuh berjejari $7$ m kecuali baji $90^{\circ}$ yang disekat oleh bangsal itu sendiri di $A$ , jadi rantau utama ialah sektor bersudut $360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}=\tfrac{3\pi}{2}$ rad:

A_1=\tfrac12(7^{2})\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=\tfrac12(49)\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=36.75\pi

Apabila tali ditarik tegang melilit sisi $4$ m ke sudut seterusnya $B$ , hanya $7-4=3$ m tali tinggal melepasi $B$ , meragut satu lagi suku pusingan (bangsal berbelok $90^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}$ rad lagi di situ):

A_2=\tfrac12(3^{2})\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac12(9)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2.25\pi

Melilit ke arah lain, sepanjang sisi $3$ m ke sudut $D$ , meninggalkan $7-3=4$ m tali melepasi $D$ , meragut satu lagi suku pusingan di situ:

A_3=\tfrac12(4^{2})\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac12(16)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=4\pi

Dalam kedua-dua kes, baki tali tepat menyamai sisi bangsal yang berbaki ( $3$ m dan $4$ m), jadi ia sampai ke sudut jauh $C$ tanpa baki, tiada sektor ketiga diperlukan pada mana-mana sisi. Tambah ketiga-tiga luas:

A=36.75\pi+2.25\pi+4\pi=43\pi\approx135.09

Jawapan

Kambing boleh meragut $43\pi$ m $^2$ , iaitu $135.09$ m $^2$ (2 t.p.). Semak saiz: bulatan penuh berjejari $7$ m sahaja memberi $49\pi\approx153.94$ m $^2$ ; bangsal menyekat sebahagian daripadanya tetapi kedua-dua lilitan sudut menambah semula sedikit, jadi jumlah yang sedikit di bawah $49\pi$ memanglah dijangka.

Q7[5 marks]

Suatu sektor $OPQ$ mempunyai perimeter tepat $24$ cm. Tunjukkan bahawa luasnya, $A$ cm $^2$ , boleh ditulis sebagai $A=12r-r^{2}$ dengan $r$ ialah jejari, dan seterusnya cari jejari yang memberi luas maksimum yang mungkin, berserta luas maksimum itu.

Show worked solution

Biar jejari ialah $r$ dan sudut $\theta$ radian. Perimeter ialah dua jejari campur lengkok:

2r+r\theta=24\;\Rightarrow\;r\theta=24-2r\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{24-2r}{r}

Gantikan $\theta$ ini ke dalam rumus luas supaya luas bergantung kepada $r$ sahaja:

A=\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r^{2}\left(\dfrac{24-2r}{r}\right)=\tfrac12r(24-2r)=12r-r^{2}

Inilah ungkapan yang dikehendaki. Lengkapkan kuasa dua untuk mencari maksimumnya, kerana pekali $r^{2}$ adalah negatif:

A=-(r^{2}-12r)=-\left[(r-6)^{2}-36\right]=36-(r-6)^{2}

Sebutan $(r-6)^{2}$ tidak boleh negatif, jadi $A$ paling besar, bersamaan $36$ , tepat apabila $(r-6)^{2}=0$ , iaitu apabila $r=6$ .

Jawapan

Luas maksimum ialah $36$ cm $^2$ , dicapai apabila $r=6$ cm (dan $\theta=\dfrac{24-12}{6}=2$ rad, sudut sektor yang sah). Semak terus: $\tfrac12(6^{2})(2)=36$ cm $^2$ dan perimeternya ialah $2(6)+6(2)=24$ cm, kedua-duanya sepadan dengan syarat yang diberi.

Q8[5 marks]

Laluan dalam sebuah trek larian dibina daripada dua bahagian lurus, masing-masing sepanjang $40$ m, disambung oleh dua hujung separuh bulatan berjejari $r$ meter. Laluan seterusnya di luar dipisahkan tepat $1$ m, jadi kedua-dua hujung separuh bulatannya berjejari $(r+1)$ meter, manakala bahagian lurus kekal sama panjang.

(a) Tunjukkan bahawa jarak tambahan yang dilalui dalam satu pusingan laluan luar, berbanding laluan dalam, adalah tepat $2\pi$ m, tidak kira nilai $r$ . (b) Dengan mengambil $r=30$ , cari jumlah jarak sekeliling laluan luar bagi satu pusingan, betul kepada meter yang terdekat.

Show worked solution

Kedua-dua hujung separuh bulatan sesuatu laluan sentiasa bercantum membentuk satu bulatan penuh, jadi jarak satu pusingan ialah dua kali panjang lurus campur lilitan bulatan itu.

\text{Laluan dalam: } D_{\text{dlm}}=2(40)+2\pi r=80+2\pi r

\text{Laluan luar: } D_{\text{luar}}=2(40)+2\pi(r+1)=80+2\pi r+2\pi

(a) Tolak kedua-dua jarak. Bahagian lurus dan sebutan $2\pi r$ sama dalam kedua-duanya, jadi ia batal sepenuhnya:

D_{\text{luar}}-D_{\text{dlm}}=(80+2\pi r+2\pi)-(80+2\pi r)=2\pi

Perbezaan ini langsung tiada $r$ di dalamnya, jadi ia benar untuk sebarang jejari, jarak tambahan sentiasa $2\pi\approx6.28$ m, tidak kira selebar mana selekoh itu.

(b) Gantikan $r=30$ ke dalam rumus laluan luar:

D_{\text{luar}}=80+2\pi(31)=80+62\pi=80+194.78=274.78

Jawapan

(a) Laluan luar sentiasa tepat $2\pi$ m (lebih kurang $6.28$ m) lebih panjang setiap pusingan, tidak bergantung kepada $r$ , inilah sebabnya permulaan berperingkat wujud. (b) Dengan $r=30$ m, laluan luar berukuran $275$ m kepada meter terdekat.

Semak: laluan dalam pada $r=30$ ialah $80+60\pi\approx268.50$ m, dan $274.78-268.50\approx6.28=2\pi$ , mengesahkan bahagian (a).

Pada setiap soalan sukar, kemenangan datang daripada rancangan, bukan menekan kekunci. Memisahkan rantau kepada dua sektor, menggunakan perentas untuk mencapai sudut pusat, atau melipat dua syarat menjadi satu kuadratik semuanya mengubah soalan yang berselirat menjadi rantaian pendek langkah tepat, dan kuadratik mengingatkan anda untuk menguji setiap punca terhadap geometri sebelum menerimanya.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih gerak gabungan yang menandakan jalur sukar dalam Sukatan Membulat. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Rantau antara dua lengkok sepusat ialah satu sektor tolak satu lagi: $A=\tfrac{1}{2}\theta(R^{2}-r^{2})$ , dan perimeternya menambah kedua-dua lengkok serta dua keping lurus $R-r$ .
Daripada perentas, capai sudut pusat dengan $\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{\text{separuh perentas}}{r}$ , kemudian gandakan sinus songsang.
Gunakan identiti sudut berganda $\sin\theta=2\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ untuk mengekalkan $\sin\theta$ tepat dan mengehadkan pembundaran.
Gabungkan luas $\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ dan perimeter $2r+r\theta$ dengan menulis $r^{2}\theta=r(r\theta)$ ; ini menyingkirkan $\theta$ dan meninggalkan kuadratik dalam $r$ .
Kuadratik boleh memberi dua jawapan sah, sentiasa uji setiap punca terhadap geometri (di sini, bahawa $\theta<2\pi$ ).
Sahkan luas atau perimeter akhir melalui laluan kedua, dan kekalkan setiap baris kaedah untuk markah analitik.

Bagaimana guru membantu

Soalan sukar dimenangi atau dikalahkan dalam perancangan, dan di situlah tepatnya guru yang baik memperoleh tempatnya. Pelajar selalunya nampak satu sektor tetapi terlepas bahawa suatu rantau ialah dua sektor yang ditolak, atau membuang punca kedua kuadratik tanpa menyemaknya.

Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami mengerjakan rancangan dengan suara lantang, supaya anda belajar bertanya apa yang dibuka oleh setiap fakta yang diberi sebelum mencapai kalkulator. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang boleh menunjukkan mengapa dua jawapan boleh kedua-duanya betul di sini.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari luas rantau antara dua lengkok dari pusat yang sama?

Ia ialah sektor besar dengan sektor lebih kecil dikeluarkan. Oleh sebab kedua-duanya berkongsi sudut $\theta$ , luasnya ialah $\tfrac{1}{2}\theta(R^{2}-r^{2})$ .

Bagi perimeter, tambah lengkok luar, lengkok dalam, dan dua keping jejari lurus, setiap satu berpanjang $R-r$ .

Mengapa menggunakan identiti sudut berganda membantu dalam masalah perentas?

Setelah $\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=0.6$ , segi tiga tegak memberi $\cos\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=0.8$ dengan tepat, jadi $\sin\theta=2(0.6)(0.8)=0.96$ adalah tepat. Hanya $\theta$ sendiri membawa nilai terbundar ke baris akhir, yang mengekalkan luas tembereng tepat.

Bagaimana menggabungkan luas dan perimeter memberi kuadratik?

Luas memberi $r^{2}\theta=90$ dan perimeter memberi $r\theta=28-2r$ . Menulis $r^{2}\theta$ sebagai $r(r\theta)$ membolehkan anda menggantikan $r\theta$ , menghasilkan $r(28-2r)=90$ .

Disusun semula dan dibahagi dua, itulah $r^{2}-14r+45=0$ .

Bila kedua-dua punca kuadratik boleh diterima sebagai jawapan?

Sudut sektor mesti positif dan tidak lebih daripada satu pusingan penuh, $0<\theta\le2\pi\approx6.28$ . Di sini $r=5$ memberi $\theta=3.6$ dan $r=9$ memberi $\theta\approx1.11$ ; kedua-dua sudut kurang daripada $2\pi$ , jadi kedua-dua sektor benar-benar wujud dan kedua-dua jejari sah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sukatan Membulat, Contoh Kerja (KBAT)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?