向量例题（中等）| SPM Add Math

Q: 怎么在某个方向上造出指定大小的向量？

先求出该方向上的单位向量，再乘以你想要的大小。对 ∣p∣=10|\mathbf{p}|=10∣p∣=10 的 p\mathbf{p}p，长度为 202020 的向量是 20p^=(−1612)20\hat{\mathbf{p}}=\binom{-16}{12}20p^=(12−16)。

Q: 为什么对 h\mathbf{a}+k\mathbf{b}=\mathbf{c} 可以匹配分量？

两个向量相等，当且仅当上分量相等且下分量相等。这就给出关于 hhh 与 kkk 的两个方程，联立求解即可。

Q: 怎么证明三点共线？

沿直线作两个向量，例如 AB→\overrightarrow{AB}AB 与 BC→\overrightarrow{BC}BC。若存在一个对两个分量都成立的标量 mmm，使 BC→=m AB→\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}BC=mAB，则这些点在同一条直线上。

Q: 求未知数时一定要检验两个分量吗？

要。用一个分量求出 mmm，但只有当同一个 mmm 也满足另一个分量时答案才有效。快速做一次 AC→\overrightarrow{AC}AC 检验即可确认。

这些例题涵盖什么

这组中等的向量例题从一步到位的算术，走向 SPM 最看重的推理：把单位向量放大到所需的长度、通过比较分量一次解出两个未知标量，以及用平行的条件迫使三点落在同一条直线上。数字依旧干净，但每一题现在都要求你同时抓住两个想法。

请用同样的纪律去做，把解答盖住、在纸上做完整题，再逐行对照。当答案不同时，找出两份解答分岔的确切那一步；正是在那里，中等题会悄悄教会你那种让难题变得像例行公事的习惯。

让分量对齐，并始终以代入检验收尾。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看解答，并留意单位向量、一对联立方程、以及平行的条件，如何各自把一道啰嗦的题变成简短、可检验的计算。

Q1[4 marks]

向量 $\mathbf{p}=\binom{-8}{6}$ 。求 (a) 大小 $|\mathbf{p}|$ 与单位向量 $\hat{\mathbf{p}}$ ，(b) $\mathbf{p}$ 方向上大小为 $20$ 的向量。

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(a) 先由分量求出大小，再把 $\mathbf{p}$ 除以它得到单位向量：

|\mathbf{p}|=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10

\hat{\mathbf{p}}=\frac{1}{10}\binom{-8}{6}=\binom{-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}}

(b) 同方向上大小为 $20$ 的向量，就是单位向量的 $20$ 倍，单位向量指出方向，标量设定长度：

20\,\hat{\mathbf{p}}=20\binom{-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}}=\binom{-16}{12}

答案

$|\mathbf{p}|=10$ ， $\hat{\mathbf{p}}=\binom{-4/5}{3/5}$ ，所求向量为 $\binom{-16}{12}$ 。检验它的大小： $\sqrt{(-16)^{2}+12^{2}}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ ，正是所要求的。

Q2[4 marks]

已知 $\mathbf{a}=\binom{2}{1}$ 与 $\mathbf{b}=\binom{-1}{3}$ ，求标量 $h$ 与 $k$ ，使得 $h\mathbf{a}+k\mathbf{b}=\binom{7}{0}$ 。

Show worked solution

把组合写开，分别匹配上、下分量。这会把一个向量方程变成两个普通方程：

h\binom{2}{1}+k\binom{-1}{3}=\binom{2h-k}{\,h+3k\,}=\binom{7}{0}

于是 $2h-k=7$ 且 $h+3k=0$ 。第二个方程给出 $h=-3k$ ；代入第一个：

2(-3k)-k=7 \;\Rightarrow\; -7k=7 \;\Rightarrow\; k=-1

于是 $h=-3k=-3(-1)=3$ 。

答案

$h=3$ ， $k=-1$ 。代回检验： $3\binom{2}{1}-1\binom{-1}{3}=\binom{6}{3}+\binom{1}{-3}=\binom{7}{0}$ ，与要求一致。

Q3[4 marks]

点 $A(1,2)$ 、 $B(3,5)$ 与 $C(7,k)$ 共线。求 $k$ 的值。

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三点共线，当且仅当沿直线的向量平行。把 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 作为位置向量之差：

\overrightarrow{AB}=\binom{3-1}{5-2}=\binom{2}{3},\qquad \overrightarrow{BC}=\binom{7-3}{k-5}=\binom{4}{k-5}

由于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上且共享点 $B$ ，我们需要 $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ 。比较上分量求出 $m$ ：

4=m(2)\;\Rightarrow\; m=2

把同一个 $m$ 用在下分量上：

k-5=m(3)=2(3)=6 \;\Rightarrow\; k=11

答案

$k=11$ 。用 $\overrightarrow{AC}=\binom{7-1}{11-2}=\binom{6}{9}=3\binom{2}{3}=3\,\overrightarrow{AB}$ 检验；由于 $\overrightarrow{AC}$ 经过 $A$ 且与 $\overrightarrow{AB}$ 平行，三点共线。

Q4[4 marks]

点 $A$ 与 $B$ 相对于原点 $O$ 的位置向量分别为 $\overrightarrow{OA}=\binom{1}{4}$ 与 $\overrightarrow{OB}=\binom{16}{-6}$ 。点 $P$ 在 $AB$ 上，且 $AP:PB=2:3$ 。

求 $P$ 的位置向量。

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P 以比例 $AP:PB=2:3$ 分割 AB，即 P 位于从 A 到 B 路径的 $\tfrac{2}{5}$ 处，用比例定理：

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\binom{16}{-6}-\binom{1}{4}=\binom{15}{-10}

代入并化简：

\overrightarrow{OP}=\binom{1}{4}+\tfrac{2}{5}\binom{15}{-10}=\binom{1}{4}+\binom{6}{-4}=\binom{7}{0}

答案

$\overrightarrow{OP}=\binom{7}{0}$ ，即 P 为点 $(7,0)$ 。检验： $\overrightarrow{AP}=\binom{6}{-4}$ ， $\overrightarrow{PB}=\binom{9}{-6}=\tfrac{3}{2}\overrightarrow{AP}$ ，确认 $AP:PB=2:3$ 。

Q5[3 marks]

在三角形 $OAB$ 中， $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ ， $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ 。点 $N$ 在 $OB$ 上，且 $ON:NB=1:2$ 。

用 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 表示 $\overrightarrow{AN}$ 。

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由于 $ON:NB=1:2$ ，点 N 位于从 O 到 B 路径的 $\tfrac13$ 处，所以：

\overrightarrow{ON}=\tfrac13\overrightarrow{OB}=\tfrac13\mathbf{b}

要从 A 到达 N，先从 A 到 O（即 $-\mathbf{a}$ ），再从 O 到 N：

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{ON}=-\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}

答案

$\overrightarrow{AN}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 。检验：同一向量也可由 $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 得到，走另一组路径结果相同。

Q6[4 marks]

$ABCD$ 是平行四边形， $A(2,1)$ 、 $B(7,3)$ 、 $C(9,8)$ 。求 $D$ 的坐标。

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在平行四边形 ABCD 中，边 AB 与边 DC 平行且相等，即 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ 。先求 $\overrightarrow{AB}$ ：

\overrightarrow{AB}=\binom{7-2}{3-1}=\binom{5}{2}

由于 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ 必须等于 $\overrightarrow{AB}$ ，求解 $\overrightarrow{OD}$ ：

\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}=\binom{9}{8}-\binom{5}{2}=\binom{4}{6}

答案

$D=(4,6)$ 。检验：对角线 $AC$ 的中点为 $\left(\tfrac{2+9}{2},\tfrac{1+8}{2}\right)=(5.5,4.5)$ ，对角线 $BD$ 的中点同样是 $\left(\tfrac{7+4}{2},\tfrac{3+6}{2}\right)=(5.5,4.5)$ ，两条对角线互相平分，确认 ABCD 是平行四边形。

Q7[3 marks]

已知 $\mathbf{a}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}$ 与 $\mathbf{b}=-12\mathbf{i}+9\mathbf{j}$ ，证明 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，并求 $|\mathbf{b}|$ 。

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比较 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 的系数，把 $\mathbf{b}$ 写成 $\mathbf{a}$ 的标量倍数：

\mathbf{b}=-12\mathbf{i}+9\mathbf{j}=-3(4\mathbf{i}-3\mathbf{j})=-3\mathbf{a}

由于 $\mathbf{b}$ 是 $\mathbf{a}$ 的标量倍数，两向量平行（负标量表示方向相反）。它们的大小之比为 $3:1$ ：

|\mathbf{a}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5, \qquad |\mathbf{b}|=3|\mathbf{a}|=3(5)=15

答案

$\mathbf{b}=-3\mathbf{a}$ ，所以 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，且 $|\mathbf{b}|=15$ 。直接检验： $|\mathbf{b}|=\sqrt{(-12)^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ ，一致。

Q8[4 marks]

一名徒步者从营地 $P$ 走到检查点 $Q$ ，位移向量为 $\binom{12}{5}$ 公里，再从 $Q$ 走到目的地 $R$ ，位移向量为 $\binom{-3}{7}$ 公里。求 (a) 位移向量 $\overrightarrow{PR}$ ，(b) $P$ 到 $R$ 的直线距离。

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(a) 从 P 直接到 R 的路径等于两段位移之和（向量加法的三角形法则）：

\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\binom{12}{5}+\binom{-3}{7}=\binom{9}{12}

(b) 直线距离就是这个合向量的大小：

|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15

答案

$\overrightarrow{PR}=\binom{9}{12}$ 公里，直线距离为 $15$ 公里，这是 $9\text{-}12\text{-}15$ （即 $3\text{-}4\text{-}5$ 的三倍）的组合，可以快速检验计算是否正确。

留意三题共用的引擎：单位向量承载方向，好让标量设定长度；匹配分量把向量方程变成联立方程；而平行条件 $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ 正是把点钉在一条直线上的东西。看清一道题到底在问哪一样，算法就会迅速变短。

关键方法要点

这些中等例题把基本动作连成一条条简短的推理链。题目变大时，把这几点放在手边。

要造出某方向上指定大小的向量，就把单位向量放大： $\text{(长度)}\times\hat{\mathbf{a}}$ 。
匹配分量把一个向量方程变成两个方程，当作普通联立方程去解。
三点共线，当连接它们的向量平行时成立， $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ 。
由一个分量求出标量 $m$ ，再把同一个 $m$ 用在另一个分量上。
始终以代入或大小检验收尾，这是又快又独立的确认。
由于采用分析式评分，清楚地列出分量方程即可拿到方法分，即使后面某一步出错。

老师如何帮忙

中等题正是一个学生要么练成真正的熟练、要么悄悄养出盲点的地方，解出一个标量却忘了第二个，或者只检验了平行条件的一个分量。在一对一的课堂上，我们的老师会看你如何摆布这道题，并稳住那个摇晃的确切步骤，让方法在考试压力下变成自动反应。

我们的老师经验丰富，所以你学到的是推理，而不只是一个配方。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套向量记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

怎么在某个方向上造出指定大小的向量？

先求出该方向上的单位向量，再乘以你想要的大小。对 $|\mathbf{p}|=10$ 的 $\mathbf{p}$ ，长度为 $20$ 的向量是 $20\hat{\mathbf{p}}=\binom{-16}{12}$ 。

为什么对

h\mathbf{a}+k\mathbf{b}=\mathbf{c}

可以匹配分量？

两个向量相等，当且仅当上分量相等且下分量相等。这就给出关于 $h$ 与 $k$ 的两个方程，联立求解即可。

怎么证明三点共线？

沿直线作两个向量，例如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 。若存在一个对两个分量都成立的标量 $m$ ，使 $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ ，则这些点在同一条直线上。

求未知数时一定要检验两个分量吗？

要。用一个分量求出 $m$ ，但只有当同一个 $m$ 也满足另一个分量时答案才有效。

快速做一次 $\overrightarrow{AC}$ 检验即可确认。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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