Vektor Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Bagaimana saya menunjukkan tiga titik segaris?

Bentukkan dua vektor di sepanjang garis, seperti AB→\overrightarrow{AB}AB dan BC→\overrightarrow{BC}BC. Jika BC→=m AB→\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}BC=mAB untuk satu skalar mmm yang berkesan bagi kedua-dua komponen, titik-titik itu terletak pada satu garis lurus.

Q: Perlukah saya menyemak kedua-dua komponen semasa mencari nilai tak diketahui?

Ya. Gunakan satu komponen untuk mendapat mmm, tetapi jawapan hanya sah jika mmm yang sama turut memenuhi komponen yang satu lagi. Semakan AC→\overrightarrow{AC}AC yang pantas mengesahkannya.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Vektor sederhana ini beralih daripada aritmetik satu langkah kepada penaakulan yang paling diganjari SPM: menskala vektor unit kepada panjang yang dikehendaki, memadankan komponen untuk menyelesaikan dua skalar tak diketahui serentak, dan menggunakan syarat selari untuk memaksa tiga titik ke atas satu garis lurus. Nombornya masih kemas, tetapi setiap soalan kini meminta anda memegang dua idea sekali gus.

Gunakan set ini dengan disiplin yang sama, tutup penyelesaian, cuba seluruh soalan di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris. Apabila jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian bercapah; di situlah soalan sederhana secara senyap mengajar anda tabiat yang menjadikan soalan sukar terasa rutin.

Kekalkan komponen sejajar dan sentiasa tamatkan dengan semakan penggantian.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian, dan perhatikan bagaimana vektor unit, sepasang persamaan serentak, dan syarat selari masing-masing menukar soalan berjela-jela menjadi pengiraan pendek yang boleh disemak.

Q1[4 marks]

Vektor $\mathbf{p}=\binom{-8}{6}$ . Cari (a) magnitud $|\mathbf{p}|$ dan vektor unit $\hat{\mathbf{p}}$ , dan (b) vektor bermagnitud $20$ dalam arah $\mathbf{p}$ .

Show worked solution

(a) Ambil magnitud daripada komponen dahulu, kemudian bahagikan $\mathbf{p}$ dengannya untuk mendapat vektor unit:

|\mathbf{p}|=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10

\hat{\mathbf{p}}=\frac{1}{10}\binom{-8}{6}=\binom{-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}}

(b) Vektor bermagnitud $20$ dalam arah yang sama ialah $20$ kali vektor unit, vektor unit menunjukkan arah, dan skalar menetapkan panjang:

20\,\hat{\mathbf{p}}=20\binom{-\tfrac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}}=\binom{-16}{12}

Jawapan

$|\mathbf{p}|=10$ , $\hat{\mathbf{p}}=\binom{-4/5}{3/5}$ , dan vektor yang dikehendaki ialah $\binom{-16}{12}$ . Semak magnitudnya: $\sqrt{(-16)^{2}+12^{2}}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$ , tepat seperti diminta.

Q2[4 marks]

Diberi $\mathbf{a}=\binom{2}{1}$ dan $\mathbf{b}=\binom{-1}{3}$ , cari skalar $h$ dan $k$ supaya $h\mathbf{a}+k\mathbf{b}=\binom{7}{0}$ .

Show worked solution

Tuliskan gabungan itu dan padankan komponen atas dan bawah secara berasingan. Ini menukar satu persamaan vektor kepada dua persamaan biasa:

h\binom{2}{1}+k\binom{-1}{3}=\binom{2h-k}{\,h+3k\,}=\binom{7}{0}

Jadi $2h-k=7$ dan $h+3k=0$ . Persamaan kedua memberi $h=-3k$ ; gantikan ke dalam yang pertama:

2(-3k)-k=7 \;\Rightarrow\; -7k=7 \;\Rightarrow\; k=-1

Maka $h=-3k=-3(-1)=3$ .

Jawapan

$h=3$ dan $k=-1$ . Semak dengan menggantikan semula: $3\binom{2}{1}-1\binom{-1}{3}=\binom{6}{3}+\binom{1}{-3}=\binom{7}{0}$ , seperti yang dikehendaki.

Q3[4 marks]

Titik $A(1,2)$ , $B(3,5)$ dan $C(7,k)$ adalah segaris. Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Tiga titik adalah segaris apabila vektor di sepanjang garis itu selari. Bentukkan $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{BC}$ sebagai beza vektor kedudukan:

\overrightarrow{AB}=\binom{3-1}{5-2}=\binom{2}{3},\qquad \overrightarrow{BC}=\binom{7-3}{k-5}=\binom{4}{k-5}

Oleh sebab $A$ , $B$ , $C$ terletak pada satu garis dan berkongsi titik $B$ , kita perlukan $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ . Bandingkan komponen atas untuk mencari $m$ :

4=m(2)\;\Rightarrow\; m=2

Kenakan $m$ yang sama kepada komponen bawah:

k-5=m(3)=2(3)=6 \;\Rightarrow\; k=11

Jawapan

$k=11$ . Semak dengan $\overrightarrow{AC}=\binom{7-1}{11-2}=\binom{6}{9}=3\binom{2}{3}=3\,\overrightarrow{AB}$ ; oleh sebab $\overrightarrow{AC}$ selari dengan $\overrightarrow{AB}$ melalui $A$ , ketiga-tiga titik adalah segaris.

Q4[4 marks]

Titik $A$ dan $B$ mempunyai vektor kedudukan $\overrightarrow{OA}=\binom{1}{4}$ dan $\overrightarrow{OB}=\binom{16}{-6}$ relatif kepada asalan $O$ . Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian hingga $AP:PB=2:3$ .

Cari vektor kedudukan $P$ .

Show worked solution

$P$ membahagi $AB$ dalam nisbah $AP:PB=2:3$ , jadi $P$ berada $\tfrac{2}{5}$ daripada jarak dari $A$ ke $B$ . Gunakan teorem nisbah:

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\binom{16}{-6}-\binom{1}{4}=\binom{15}{-10}

Gantikan dan permudahkan:

\overrightarrow{OP}=\binom{1}{4}+\tfrac{2}{5}\binom{15}{-10}=\binom{1}{4}+\binom{6}{-4}=\binom{7}{0}

Jawapan

$\overrightarrow{OP}=\binom{7}{0}$ , jadi $P$ ialah titik $(7,0)$ . Semak: $\overrightarrow{AP}=\binom{6}{-4}$ dan $\overrightarrow{PB}=\binom{9}{-6}=\tfrac{3}{2}\overrightarrow{AP}$ , mengesahkan $AP:PB=2:3$ .

Q5[3 marks]

Dalam segi tiga $OAB$ , $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ dan $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ . Titik $N$ terletak pada $OB$ sedemikian hingga $ON:NB=1:2$ .

Ungkapkan $\overrightarrow{AN}$ dalam sebutan $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ .

Show worked solution

Oleh sebab $ON:NB=1:2$ , titik $N$ ialah $\tfrac13$ daripada jarak sepanjang $OB$ dari $O$ , jadi:

\overrightarrow{ON}=\tfrac13\overrightarrow{OB}=\tfrac13\mathbf{b}

Untuk sampai dari $A$ ke $N$ , pergi dari $A$ ke $O$ (menyongsang $\mathbf{a}$ ) dan kemudian dari $O$ ke $N$ :

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{ON}=-\mathbf{a}+\tfrac13\mathbf{b}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}

Jawapan

$\overrightarrow{AN}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}$ . Sebagai semakan, vektor yang sama boleh dicapai melalui $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=\tfrac13\mathbf{b}-\mathbf{a}$ , hasil yang sama daripada pasangan kaki yang berbeza.

Q6[4 marks]

$ABCD$ ialah segi empat selari dengan $A(2,1)$ , $B(7,3)$ dan $C(9,8)$ . Cari koordinat $D$ .

Show worked solution

Dalam segi empat selari $ABCD$ , sisi $AB$ selari dan sama dengan sisi $DC$ , jadi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ . Cari $\overrightarrow{AB}$ dahulu:

\overrightarrow{AB}=\binom{7-2}{3-1}=\binom{5}{2}

Oleh sebab $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ mestilah sama dengan $\overrightarrow{AB}$ , selesaikan untuk $\overrightarrow{OD}$ :

\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}=\binom{9}{8}-\binom{5}{2}=\binom{4}{6}

Jawapan

$D=(4,6)$ . Semak: titik tengah pepenjuru $AC$ ialah $\left(\tfrac{2+9}{2},\tfrac{1+8}{2}\right)=(5.5,4.5)$ , dan titik tengah pepenjuru $BD$ juga $\left(\tfrac{7+4}{2},\tfrac{3+6}{2}\right)=(5.5,4.5)$ , pepenjuru saling membahagi dua sama, mengesahkan $ABCD$ segi empat selari.

Q7[3 marks]

Diberi $\mathbf{a}=4\mathbf{i}-3\mathbf{j}$ dan $\mathbf{b}=-12\mathbf{i}+9\mathbf{j}$ , tunjukkan bahawa $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ selari, dan cari $|\mathbf{b}|$ .

Show worked solution

Tuliskan $\mathbf{b}$ sebagai gandaan skalar bagi $\mathbf{a}$ dengan membandingkan pekali $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ :

\mathbf{b}=-12\mathbf{i}+9\mathbf{j}=-3(4\mathbf{i}-3\mathbf{j})=-3\mathbf{a}

Oleh sebab $\mathbf{b}$ ialah gandaan skalar bagi $\mathbf{a}$ , kedua-dua vektor adalah selari (skalar negatif bermaksud arahnya bertentangan). Magnitud kedua-duanya kemudian dalam nisbah $3:1$ :

|\mathbf{a}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25}=5, \qquad |\mathbf{b}|=3|\mathbf{a}|=3(5)=15

Jawapan

$\mathbf{b}=-3\mathbf{a}$ , jadi $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ selari, dan $|\mathbf{b}|=15$ . Semak terus: $|\mathbf{b}|=\sqrt{(-12)^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$ , sepadan.

Q8[4 marks]

Seorang pendaki berjalan dari kem $P$ ke pusat pemeriksaan $Q$ dengan vektor sesaran $\binom{12}{5}$ km, kemudian dari $Q$ ke destinasi $R$ dengan vektor sesaran $\binom{-3}{7}$ km. Cari (a) vektor sesaran $\overrightarrow{PR}$ , dan (b) jarak terus dari $P$ ke $R$ .

Show worked solution

(a) Laluan terus dari $P$ ke $R$ ialah jumlah kedua-dua kaki (hukum segi tiga penambahan vektor):

\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\binom{12}{5}+\binom{-3}{7}=\binom{9}{12}

(b) Jarak terus ialah magnitud vektor paduan ini:

|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15

Jawapan

$\overrightarrow{PR}=\binom{9}{12}$ km dan jarak terus ialah $15$ km, nisbah $9\text{-}12\text{-}15$ (tiga kali $3\text{-}4\text{-}5$ ), cara pantas untuk mengesahkan pengiraan.

Perhatikan enjin yang dikongsi merentas ketiga-tiganya: vektor unit membawa arah supaya skalar boleh menetapkan panjang; memadankan komponen menukar persamaan vektor kepada persamaan serentak; dan syarat selari $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ ialah tepat apa yang mengunci titik ke atas satu garis. Kenal pasti yang mana sebenarnya diminta soalan, dan kerja menjadi lebih pendek dengan cepat.

Poin kaedah utama

Contoh sederhana ini menyambung gerak asas menjadi rantaian penaakulan yang pendek. Simpan poin ini semasa soalan menjadi lebih besar.

Untuk membina vektor bermagnitud tetap dalam sesuatu arah, skalakan vektor unit: $\text{(panjang)}\times\hat{\mathbf{a}}$ .
Memadankan komponen menukar satu persamaan vektor kepada dua persamaan, selesaikannya sebagai pasangan serentak biasa.
Tiga titik segaris apabila vektor penyambungnya selari, $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ .
Cari skalar $m$ daripada satu komponen, kemudian kenakan $m$ yang sama kepada komponen yang lain.
Sentiasa tutup dengan semakan penggantian atau magnitud, ia pengesahan bebas yang pantas.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, menyusun persamaan komponen dengan jelas memperoleh markah kaedah walaupun langkah kemudian tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana ialah tempat seorang pelajar sama ada membina kefasihan sebenar atau secara senyap membentuk titik buta, menyelesaikan satu skalar dan terlupa yang kedua, atau menyemak hanya satu komponen bagi syarat selari. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati cara anda menyusun kerja dan menstabilkan langkah tepat yang goyah, supaya kaedah menjadi automatik di bawah tekanan peperiksaan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mempelajari penaakulan, bukan sekadar resipi. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda vektor kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya membuat vektor dengan magnitud tertentu dalam sesuatu arah?

Cari vektor unit dalam arah itu, kemudian darabkannya dengan magnitud yang anda mahu. Bagi $\mathbf{p}$ dengan $|\mathbf{p}|=10$ , vektor berpanjang $20$ ialah $20\hat{\mathbf{p}}=\binom{-16}{12}$ .

Mengapa memadankan komponen berkesan untuk

h\mathbf{a}+k\mathbf{b}=\mathbf{c}

Dua vektor adalah sama hanya apabila komponen atasnya sepadan dan komponen bawahnya sepadan. Itu memberi dua persamaan dalam $h$ dan $k$ , yang anda selesaikan serentak.

Bagaimana saya menunjukkan tiga titik segaris?

Bentukkan dua vektor di sepanjang garis, seperti $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{BC}$ . Jika $\overrightarrow{BC}=m\,\overrightarrow{AB}$ untuk satu skalar $m$ yang berkesan bagi kedua-dua komponen, titik-titik itu terletak pada satu garis lurus.

Perlukah saya menyemak kedua-dua komponen semasa mencari nilai tak diketahui?

Ya. Gunakan satu komponen untuk mendapat $m$ , tetapi jawapan hanya sah jika $m$ yang sama turut memenuhi komponen yang satu lagi.

Semakan $\overrightarrow{AC}$ yang pantas mengesahkannya.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Vektor, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?