向量例题（简单）| SPM Add Math

Q: 怎么求一个向量的大小？

把每个分量平方、相加，再取正的平方根：∣xi+yj∣=x2+y2|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}∣xi+yj∣=x2+y2。对 3i+4j3\mathbf{i}+4\mathbf{j}3i+4j 得到 9+16=5\sqrt{9+16}=59+16=5。

Q: 什么样的向量才是单位向量？

单位向量的大小恰好是 111。要在 a\mathbf{a}a 方向上造一个，就把 a\mathbf{a}a 除以它自己的大小：a^=1∣a∣a\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}a^=∣a∣1a。

Q: 怎么判断两个向量是否平行？

当其中一个是另一个的标量倍时它们平行，b=ma\mathbf{b}=m\mathbf{a}b=ma。比较一对分量求出 mmm，再检验同一个 mmm 对另一对分量也成立。

Q: 为什么是 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}，而不是反过来？

从 AAA 走到 BBB，等同于先回到原点再走到 BBB：AB→=AO→+OB→=−OA→+OB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}AB=AO+OB=−OA+OB。简单说，就是终点减起点。

这些例题涵盖什么

这组简单的向量例题帮你练好整章赖以立足的四个动作：由分量求出向量的大小、写出某个方向上的单位向量、把写成列的向量相加相减，以及判断两个向量是否平行。每一题都用小而干净的数字，让你不靠计算器也能看清每一行。

请老实地用这组题，先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。

向量最讲究整齐的记账，所以把 $\mathbf{i}$ 与 $\mathbf{j}$ 的分量对齐，或者把上下两个分量对齐，分数就会稳稳地来。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，分量对齐、把大小干净地开出来、再用一条独立的路径检验，如何贯穿每一题。

Q1[3 marks]

向量 $\mathbf{a}$ 为 $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 。求 (a) 大小 $|\mathbf{a}|$ ，(b) $\mathbf{a}$ 方向上的单位向量。

Show worked solution

(a) 大小就是向量的长度，由它的分量按 $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 求出。这里 $x=3$ ， $y=4$ ：

|\mathbf{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

(b) $\mathbf{a}$ 方向上的单位向量，是 $\mathbf{a}$ 除以它自己的大小， $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ 。把每个分量都除以 $5$ ：

\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{5}(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})=\frac{3}{5}\mathbf{i}+\frac{4}{5}\mathbf{j}

答案

$|\mathbf{a}|=5$ ， $\hat{\mathbf{a}}=\frac{3}{5}\mathbf{i}+\frac{4}{5}\mathbf{j}$ 。检验单位向量长度为 $1$ ： $\sqrt{(3/5)^{2}+(4/5)^{2}}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{1}=1$ ，正是单位向量应有的长度。

Q2[3 marks]

两个向量为 $\mathbf{a}=\binom{2}{-1}$ 与 $\mathbf{b}=\binom{3}{5}$ 。求 (a) $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，(b) $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 。

Show worked solution

(a) 先把 $\mathbf{a}$ 乘以标量 $2$ ，这会乘到每个分量，再与 $\mathbf{b}$ 对应的分量相加：

2\mathbf{a}=\binom{4}{-2},\qquad 2\mathbf{a}+\mathbf{b}=\binom{4+3}{-2+5}=\binom{7}{3}

(b) 逐个分量相减，注意第二行的双重负号：

\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{3-2}{5-(-1)}=\binom{1}{6}

答案

$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=\binom{7}{3}$ ， $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{1}{6}$ 。把 $\mathbf{a}$ 加回来检验 (b)： $\binom{1}{6}+\binom{2}{-1}=\binom{3}{5}=\mathbf{b}$ ，与要求一致。

Q3[3 marks]

向量 $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$ 。第二个向量 $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+k\mathbf{j}$ 与 $\mathbf{a}$ 平行。

求 $k$ 的值。

Show worked solution

两个非零向量平行，恰好当其中一个是另一个的标量倍，所以 $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ ，其中 $m$ 为某个数。比较 $\mathbf{i}$ 分量求出 $m$ ：

6=m(2)\;\Rightarrow\; m=3

同一个标量必须对 $\mathbf{j}$ 分量也成立，所以 $k=m(3)$ ：

k=3(3)=9

答案

$k=9$ 。于是 $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+9\mathbf{j}=3(2\mathbf{i}+3\mathbf{j})=3\mathbf{a}$ ，显然与 $\mathbf{a}$ 平行。

Q4[4 marks]

点 $A$ 与 $B$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=\binom{2}{3}$ 与 $\overrightarrow{OB}=\binom{8}{11}$ 。求 (a) $\overrightarrow{AB}$ ，(b) 距离 $|\overrightarrow{AB}|$ 。

Show worked solution

(a) 从 $A$ 到 $B$ 的向量，是终点的位置向量减去起点的位置向量， $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ：

\overrightarrow{AB}=\binom{8-2}{11-3}=\binom{6}{8}

(b) 距离 $AB$ 就是 $\overrightarrow{AB}$ 的大小：

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

答案

$\overrightarrow{AB}=\binom{6}{8}$ ， $|\overrightarrow{AB}|=10$ 。用三角形法则检验 (a)： $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\binom{2}{3}+\binom{6}{8}=\binom{8}{11}=\overrightarrow{OB}$ ，正如所料。

Q5[3 marks]

点 $P$ 、 $Q$ 与 $R$ 相连，使得 $\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}$ ， $\overrightarrow{QR}=3\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ 。求 (a) $\overrightarrow{PR}$ ，(b) 距离 $PR$ 。

Show worked solution

(a) 三角形法则允许把向量首尾相接：从 $P$ 到 $Q$ 再到 $R$ ，等同于直接从 $P$ 到 $R$ ，所以 $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ 。把对应的分量相加：

\overrightarrow{PR}=(2\mathbf{i}+5\mathbf{j})+(3\mathbf{i}+7\mathbf{j})=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}

(b) 距离 $PR$ 就是 $\overrightarrow{PR}$ 的大小：

PR=|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

答案

$\overrightarrow{PR}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}$ ， $PR=13$ 。 $5,12,13$ 是一组干净的毕氏数，可以快速确认 (a) 中的分量相加是正确的。

Q6[3 marks]

点 $A$ 与 $B$ 相对于原点 $O$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=\binom{2}{6}$ 与 $\overrightarrow{OB}=\binom{8}{2}$ 。 $M$ 是 $AB$ 的中点。

求位置向量 $\overrightarrow{OM}$ 。

Show worked solution

连接两点的线段的中点，其位置向量是这两点位置向量的平均值， $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 。先把位置向量相加：

\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\binom{2}{6}+\binom{8}{2}=\binom{10}{8}

再把每个分量除以 2：

\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\binom{10}{8}=\binom{5}{4}

答案

$\overrightarrow{OM}=\binom{5}{4}$ 。检验： $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\binom{3}{-2}$ ， $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\binom{3}{-2}$ ，两者相等，确认 $M$ 确实在 $A$ 与 $B$ 的正中间。

Q7[3 marks]

两个向量 $\mathbf{p}=(x+3)\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ 与 $\mathbf{q}=9\mathbf{i}+(2y-1)\mathbf{j}$ 是相等向量。求 $x$ 与 $y$ 的值。

Show worked solution

两个向量相等，恰好当它们的 $\mathbf{i}$ 分量相同、 $\mathbf{j}$ 分量也相同。先比较 $\mathbf{i}$ 分量：

x+3=9\;\Rightarrow\; x=6

再比较 $\mathbf{j}$ 分量：

7=2y-1\;\Rightarrow\; 2y=8\;\Rightarrow\; y=4

答案

$x=6$ ， $y=4$ 。代回检验： $\mathbf{p}=9\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ ， $\mathbf{q}=9\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ ，是同一个向量，符合要求。

Q8[3 marks]

一个向量为 $\mathbf{v}=x\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ ，其中 $x>0$ 。已知 $|\mathbf{v}|=17$ ，求 $x$ 的值。

Show worked solution

把大小公式 $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+8^{2}}$ 两边平方，消去根号：

17^{2}=x^{2}+8^{2}

代入并解出 $x^{2}$ ，再取正的平方根（因为 $x>0$ ）：

x^{2}=289-64=225\;\Rightarrow\; x=15

答案

$x=15$ 。检验： $|\mathbf{v}|=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ ，与所给的大小一致。

这四道题表面看来各不相同，底下却共享一个习惯：把分量对齐、一次只做一个运算、再用第二条路径确认。正是这份整齐的记账，把《向量》从小失误的来源，变成一整块可靠的分数。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每一道 Add Math 向量题都要用到的日常技能。多做练习时，记住以下几点。

向量的大小来自它的分量： $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。
某方向上的单位向量，是该向量除以它自己的大小， $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ ；它的长度永远是 $1$ 。
标量乘法与向量加法都逐分量进行，把 $\mathbf{i}$ 对 $\mathbf{i}$ 、 $\mathbf{j}$ 对 $\mathbf{j}$ 对齐。
两个非零向量平行，恰好当其中一个是另一个的标量倍， $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ 。
对点而言， $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ，而距离 $AB$ 就是 $|\overrightarrow{AB}|$ 。
由于采用分析式评分，即使最后的算术出错，一行清楚的分量或大小仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，几乎总是一个可以纠正的小习惯，减法里丢了一个符号，或者还没把分量平方就先开了根号。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人，而不只是「怎么做」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套向量记号在两种版本里对你都是同一个意思。

获取一对一辅导。

预约试课

常见问题

怎么求一个向量的大小？

把每个分量平方、相加，再取正的平方根： $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。对 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 得到 $\sqrt{9+16}=5$ 。

什么样的向量才是单位向量？

单位向量的大小恰好是 $1$ 。要在 $\mathbf{a}$ 方向上造一个，就把 $\mathbf{a}$ 除以它自己的大小： $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ 。

怎么判断两个向量是否平行？

当其中一个是另一个的标量倍时它们平行， $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ 。比较一对分量求出 $m$ ，再检验同一个 $m$ 对另一对分量也成立。

为什么是

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

，而不是反过来？

从 $A$ 走到 $B$ ，等同于先回到原点再走到 $B$ ： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 。简单说，就是终点减起点。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

向量，例题（简单）

这些例题涵盖什么

例题解析

关键方法要点

老师如何帮忙

常见问题

准备好开始了吗？