Vektor Contoh Kerja (Mudah)

Q: Apa yang menjadikan sesuatu vektor itu vektor unit?

Vektor unit mempunyai magnitud tepat 111. Untuk membina satu dalam arah a\mathbf{a}a, bahagikan a\mathbf{a}a dengan magnitudnya sendiri: a^=1∣a∣a\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}a^=∣a∣1a.

Q: Mengapa \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} dan bukan sebaliknya?

Bergerak dari AAA ke BBB sama seperti kembali ke asalan, kemudian keluar ke BBB: AB→=AO→+OB→=−OA→+OB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}AB=AO+OB=−OA+OB. Ringkasnya, titik hujung tolak titik mula.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Vektor mudah ini melatih empat gerak yang menjadi tunjang seluruh bab: mencari magnitud vektor daripada komponennya, menulis vektor unit dalam sesuatu arah, menambah dan menolak vektor yang ditulis sebagai lajur, dan menguji bila dua vektor selari. Setiap soalan menggunakan nombor kecil dan kemas supaya anda dapat mengikuti setiap baris dengan tangan, tanpa bergantung pada kalkulator.

Gunakan set ini secara jujur, tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah menyemak baris demi baris dengan kerja kami. Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Vektor menghargai penyusunan yang kemas, jadi jajarkan komponen $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ anda, atau entri atas dan bawah, dan markah datang dengan stabil.

Contoh kerja

Kerjakan keempat-empatnya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana disiplin yang sama, kekalkan komponen sejajar, keluarkan magnitud dengan kemas, dan semak melalui laluan bebas, mengalir dalam setiap soalan.

Q1[3 marks]

Vektor $\mathbf{a}$ diberi oleh $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ . Cari (a) magnitud $|\mathbf{a}|$ , dan (b) vektor unit dalam arah $\mathbf{a}$ .

Show worked solution

(a) Magnitud ialah panjang vektor, dibaca daripada komponennya dengan $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Di sini $x=3$ dan $y=4$ :

|\mathbf{a}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

(b) Vektor unit dalam arah $\mathbf{a}$ ialah $\mathbf{a}$ dibahagi dengan magnitudnya sendiri, $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ . Bahagikan setiap komponen dengan $5$ :

\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{5}(3\mathbf{i}+4\mathbf{j})=\frac{3}{5}\mathbf{i}+\frac{4}{5}\mathbf{j}

Jawapan

$|\mathbf{a}|=5$ dan $\hat{\mathbf{a}}=\frac{3}{5}\mathbf{i}+\frac{4}{5}\mathbf{j}$ . Semak vektor unit itu berpanjang $1$ : $\sqrt{(3/5)^{2}+(4/5)^{2}}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{1}=1$ , sepertimana yang mesti bagi vektor unit.

Q2[3 marks]

Dua vektor diberi oleh $\mathbf{a}=\binom{2}{-1}$ dan $\mathbf{b}=\binom{3}{5}$ . Cari (a) $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ , dan (b) $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ .

Show worked solution

(a) Darabkan $\mathbf{a}$ dengan skalar $2$ dahulu, ini mendarab setiap entri, kemudian tambahkan entri sepadan bagi $\mathbf{b}$ :

2\mathbf{a}=\binom{4}{-2},\qquad 2\mathbf{a}+\mathbf{b}=\binom{4+3}{-2+5}=\binom{7}{3}

(b) Tolak entri demi entri, berhati-hati dengan tanda negatif berganda pada baris kedua:

\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{3-2}{5-(-1)}=\binom{1}{6}

Jawapan

$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=\binom{7}{3}$ dan $\mathbf{b}-\mathbf{a}=\binom{1}{6}$ . Semak bahagian (b) dengan menambah semula $\mathbf{a}$ : $\binom{1}{6}+\binom{2}{-1}=\binom{3}{5}=\mathbf{b}$ , seperti yang dikehendaki.

Q3[3 marks]

Vektor $\mathbf{a}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$ . Vektor kedua $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+k\mathbf{j}$ selari dengan $\mathbf{a}$ .

Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Dua vektor bukan sifar adalah selari tepat apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain, jadi $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ untuk suatu nombor $m$ . Bandingkan komponen $\mathbf{i}$ untuk mencari $m$ :

6=m(2)\;\Rightarrow\; m=3

Skalar yang sama mesti berkesan bagi komponen $\mathbf{j}$ , jadi $k=m(3)$ :

k=3(3)=9

Jawapan

$k=9$ . Maka $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+9\mathbf{j}=3(2\mathbf{i}+3\mathbf{j})=3\mathbf{a}$ , yang jelas selari dengan $\mathbf{a}$ .

Q4[4 marks]

Vektor kedudukan bagi titik $A$ dan $B$ ialah $\overrightarrow{OA}=\binom{2}{3}$ dan $\overrightarrow{OB}=\binom{8}{11}$ . Cari (a) $\overrightarrow{AB}$ , dan (b) jarak $|\overrightarrow{AB}|$ .

Show worked solution

(a) Vektor dari $A$ ke $B$ ialah vektor kedudukan titik hujung tolak vektor kedudukan titik mula, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ :

\overrightarrow{AB}=\binom{8-2}{11-3}=\binom{6}{8}

(b) Jarak $AB$ ialah magnitud $\overrightarrow{AB}$ :

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

Jawapan

$\overrightarrow{AB}=\binom{6}{8}$ dan $|\overrightarrow{AB}|=10$ . Semak bahagian (a) dengan hukum segi tiga: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\binom{2}{3}+\binom{6}{8}=\binom{8}{11}=\overrightarrow{OB}$ , sepertimana sepatutnya.

Q5[3 marks]

Titik $P$ , $Q$ dan $R$ disambungkan sedemikian rupa sehingga $\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}$ dan $\overrightarrow{QR}=3\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ . Cari (a) $\overrightarrow{PR}$ , dan (b) jarak $PR$ .

Show worked solution

(a) Hukum segi tiga membenarkan vektor disambung hujung ke hujung: bergerak dari $P$ ke $Q$ kemudian $Q$ ke $R$ adalah sama seperti bergerak terus dari $P$ ke $R$ , jadi $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ . Tambahkan komponen yang sepadan:

\overrightarrow{PR}=(2\mathbf{i}+5\mathbf{j})+(3\mathbf{i}+7\mathbf{j})=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}

(b) Jarak $PR$ ialah magnitud $\overrightarrow{PR}$ :

PR=|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

Jawapan

$\overrightarrow{PR}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}$ dan $PR=13$ . $5,12,13$ ialah tripel Pythagoras yang kemas, satu tanda pantas bahawa penambahan komponen dalam bahagian (a) dilakukan dengan betul.

Q6[3 marks]

Titik $A$ dan $B$ mempunyai vektor kedudukan $\overrightarrow{OA}=\binom{2}{6}$ dan $\overrightarrow{OB}=\binom{8}{2}$ berbanding asalan $O$ . $M$ ialah titik tengah $AB$ .

Cari vektor kedudukan $\overrightarrow{OM}$ .

Show worked solution

Vektor kedudukan titik tengah garis yang menyambung dua titik ialah purata vektor kedudukan kedua-duanya, $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ . Tambahkan vektor kedudukan dahulu:

\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\binom{2}{6}+\binom{8}{2}=\binom{10}{8}

Kemudian bahagikan dua setiap komponen:

\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\binom{10}{8}=\binom{5}{4}

Jawapan

$\overrightarrow{OM}=\binom{5}{4}$ . Semak: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\binom{3}{-2}$ dan $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=\binom{3}{-2}$ , sama, mengesahkan $M$ memang di tengah-tengah $A$ dan $B$ .

Q7[3 marks]

Dua vektor $\mathbf{p}=(x+3)\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ dan $\mathbf{q}=9\mathbf{i}+(2y-1)\mathbf{j}$ ialah vektor sama. Cari nilai $x$ dan $y$ .

Show worked solution

Dua vektor adalah sama tepat apabila komponen $\mathbf{i}$ mereka sepadan dan komponen $\mathbf{j}$ mereka sepadan. Bandingkan komponen $\mathbf{i}$ dahulu:

x+3=9\;\Rightarrow\; x=6

Sekarang bandingkan komponen $\mathbf{j}$ :

7=2y-1\;\Rightarrow\; 2y=8\;\Rightarrow\; y=4

Jawapan

$x=6$ dan $y=4$ . Semak dengan menggantikan semula: $\mathbf{p}=9\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ dan $\mathbf{q}=9\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ , vektor yang sama, seperti yang dikehendaki.

Q8[3 marks]

Suatu vektor diberi oleh $\mathbf{v}=x\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ , dengan $x>0$ . Diberi $|\mathbf{v}|=17$ , cari nilai $x$ .

Show worked solution

Kuasa duakan kedua-dua belah formula magnitud $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+8^{2}}$ untuk menghapuskan punca kuasa dua:

17^{2}=x^{2}+8^{2}

Gantikan dan selesaikan untuk $x^{2}$ , kemudian ambil punca kuasa dua positif kerana $x>0$ :

x^{2}=289-64=225\;\Rightarrow\; x=15

Jawapan

$x=15$ . Semak: $|\mathbf{v}|=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$ , sepadan dengan magnitud yang diberi.

Walaupun kelihatan berbeza, keempat-empat soalan ini berkongsi satu tabiat: kekalkan komponen sejajar, buat satu operasi pada satu masa, dan sahkan melalui laluan kedua. Penyusunan kemas itulah yang menukar Vektor menjadi blok markah yang boleh dipercayai, bukan tempat untuk kesilapan kecil.

Poin kaedah utama

Empat contoh ini melatih kemahiran harian yang membuka hampir setiap soalan Vektor dalam Add Math. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Magnitud vektor datang daripada komponennya: $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .
Vektor unit dalam sesuatu arah ialah vektor dibahagi dengan magnitudnya sendiri, $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ ; ia sentiasa berpanjang $1$ .
Pendaraban skalar dan penambahan vektor bertindak komponen demi komponen, jajarkan $\mathbf{i}$ dengan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ dengan $\mathbf{j}$ .
Dua vektor bukan sifar selari tepat apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain, $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ .
Bagi titik, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ , dan jarak $AB$ ialah $|\overrightarrow{AB}|$ .
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris komponen atau magnitud yang jelas masih boleh memperoleh markah kaedah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Apabila seorang pelajar kehilangan markah pada soalan seperti ini, ia hampir selalu satu tabiat kecil yang boleh dibetulkan, tanda yang hilang dalam penolakan, atau punca kuasa dua diambil sebelum komponen dikuasa duakan. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat kesilapan berlaku dan membetulkannya serta-merta, sebelum ia menjadi rutin.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah, bukan hanya caranya. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda vektor kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya mencari magnitud sesuatu vektor?

Kuasa duakan setiap komponen, tambahkan kuasa dua itu, dan ambil punca kuasa dua positif: $|x\mathbf{i}+y\mathbf{j}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Bagi $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ini memberi $\sqrt{9+16}=5$ .

Apa yang menjadikan sesuatu vektor itu vektor unit?

Vektor unit mempunyai magnitud tepat $1$ . Untuk membina satu dalam arah $\mathbf{a}$ , bahagikan $\mathbf{a}$ dengan magnitudnya sendiri: $\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$ .

Bagaimana saya tahu sama ada dua vektor selari?

Ia selari apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain, $\mathbf{b}=m\mathbf{a}$ . Bandingkan satu pasangan komponen untuk mencari $m$ , kemudian semak bahawa $m$ yang sama berkesan bagi pasangan yang lain.

Mengapa

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

dan bukan sebaliknya?

Bergerak dari $A$ ke $B$ sama seperti kembali ke asalan, kemudian keluar ke $B$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ . Ringkasnya, titik hujung tolak titik mula.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Vektor, Contoh Kerja (mudah)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?