向量练习题 | SPM Add Math

Q: 怎样从位置向量求出向量 \overrightarrow{AB}？

用终点减起点：AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}AB=OB−OA。写反了就得到由 BBB 指向 AAA 的向量，每个符号都会颠倒。

Q: 两个向量平行的条件是什么？

其中一个必须是另一个的数乘，即 b=λa\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}b=λa。实际做法是对应分量、解出 λ\lambdaλ；若同一个 λ\lambdaλ 同时符合两个分量，向量就平行。

Q: 最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确的法则行和正确的代入即使最后算术出错也能拿分。这就是为什么你应当始终按分量写出完整过程。

如何使用这些练习题

下面六道题的难度贯穿整章向量，从两个向量相加，一直到求分线段的点，逐题加深。每题给自己大约五到八分钟，先在纸上做，像真正考试那样写下每一行，一行方法（写出所用的法则）、一步清楚的分量代入，然后写出最终答案。

忍住偷看的冲动。只有当你真正把完整答案写出来之后，才打开解答，逐行给自己评分。

当你的算法和我们的不同，就停在两者开始分岔的那一行；那一步几乎总是丢分的地方。由于 Add Math 采用分析式评分，即使最后的算术出错，正确的法则与正确的代入仍能拿分，所以务必先把分量完整写出，再化简。

把这一页当作排练，而不是考试，目的是趁还有时间，现在就找出薄弱的步骤并修好它。

六道练习题

Q1[3 marks]

两个向量为 $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}$ 与 $\mathbf{b}=\mathbf{i}-4\mathbf{j}$ 。求 (a) $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，(b) $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 。

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(a) 按分量相加， $\mathbf{i}$ 部分相加， $\mathbf{j}$ 部分相加：

\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3+1)\mathbf{i}+(2-4)\mathbf{j}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}

(b) 先把 $\mathbf{a}$ 乘以 $2$ ，再减 $\mathbf{b}$ 。仔细处理 $\mathbf{b}$ 的符号；减去 $-4\mathbf{j}$ 就是加上 $4\mathbf{j}$ ：

2\mathbf{a}=6\mathbf{i}+4\mathbf{j}

2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(6-1)\mathbf{i}+(4-(-4))\mathbf{j}=5\mathbf{i}+8\mathbf{j}

答案

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}$ ， $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=5\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ 。(b) 最常见的失误是把 $-\mathbf{b}$ 当成 $-\mathbf{i}-4\mathbf{j}$ ；正确的负向量是 $-\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 。

Q2[3 marks]

已知向量 $\mathbf{v}=6\mathbf{i}-8\mathbf{j}$ 。求 (a) 模 $|\mathbf{v}|$ ，(b) 沿 $\mathbf{v}$ 方向的单位向量。

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(a) $x\mathbf{i}+y\mathbf{j}$ 的模为 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 。把每个分量平方、相加，再开方：

|\mathbf{v}|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

(b) 单位向量就是向量除以自己的模， $\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{1}{|\mathbf{v}|}\,\mathbf{v}$ ：

\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{10}\left(6\mathbf{i}-8\mathbf{j}\right)=\frac{3}{5}\mathbf{i}-\frac{4}{5}\mathbf{j}

答案

$|\mathbf{v}|=10$ ， $\hat{\mathbf{v}}=\tfrac{3}{5}\mathbf{i}-\tfrac{4}{5}\mathbf{j}$ 。检验单位向量的长度为 $1$ ： $\sqrt{(\tfrac{3}{5})^{2}+(\tfrac{4}{5})^{2}}=\sqrt{\tfrac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1$ ，正如所应。

Q3[4 marks]

相对于原点 $O$ ， $A$ 与 $B$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$ 与 $\overrightarrow{OB}=7\mathbf{i}+15\mathbf{j}$ 。求 (a) 向量 $\overrightarrow{AB}$ ，(b) 它的模 $|\overrightarrow{AB}|$ 。

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(a) 从 $A$ 到 $B$ ，先退回 $O$ 再走到 $B$ ，所以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ （终点减起点）：

\overrightarrow{AB}=(7-2)\mathbf{i}+(15-3)\mathbf{j}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}

(b) 再取结果的模：

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

答案

$\overrightarrow{AB}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}$ ， $|\overrightarrow{AB}|=13$ 。顺序很重要： $\overrightarrow{AB}$ 是终点减起点，即 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ；写反会得到 $-5\mathbf{i}-12\mathbf{j}$ ，方向相反的向量。

Q4[4 marks]

向量 $\mathbf{a}=4\mathbf{i}+6\mathbf{j}$ 与 $\mathbf{b}=k\mathbf{i}+9\mathbf{j}$ 平行，其中 $k$ 为常数。求 $k$ 的值。

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两个向量平行，就是其中一个是另一个的数乘，即 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ （ $\lambda$ 为某个数）。对应分量：

k=4\lambda \quad\text{,}\quad 9=6\lambda

先由 $\mathbf{j}$ 分量方程解出 $\lambda$ ，再代入 $\mathbf{i}$ 分量：

\lambda=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\;\Rightarrow\; k=4\times\frac{3}{2}=6

答案

$k=6$ 。检验平行条件： $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+9\mathbf{j}=\tfrac{3}{2}(4\mathbf{i}+6\mathbf{j})=\tfrac{3}{2}\mathbf{a}$ ，所以 $\mathbf{b}$ 确实是 $\mathbf{a}$ 的数乘。

Q5[5 marks]

相对于原点 $O$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$ 、 $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ 、 $\overrightarrow{OC}=9\mathbf{i}+15\mathbf{j}$ 。证明 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，并求比 $AB:BC$ 。

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每次用终点减起点，求出路径上的两个向量：

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\mathbf{i}+6\mathbf{j}

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=4\mathbf{i}+8\mathbf{j}

检验其中一个是否为另一个的数乘。把 $\overrightarrow{BC}$ 提取公因子：

\overrightarrow{BC}=4\mathbf{i}+8\mathbf{j}=\frac{4}{3}\left(3\mathbf{i}+6\mathbf{j}\right)=\frac{4}{3}\,\overrightarrow{AB}

由于 $\overrightarrow{BC}$ 是 $\overrightarrow{AB}$ 的数乘，且二者共有点 $B$ ，三点在同一条直线上。求比时，比较模：

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}

答案

因为 $\overrightarrow{BC}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}$ 且共有点 $B$ ，故 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 共线。比为 $AB:BC=3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=3:4$ 。

Q6[5 marks]

相对于原点 $O$ ，点 $A$ 与 $B$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}$ 与 $\overrightarrow{OB}=7\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ 。点 $P$ 在 $AB$ 上，使得 $AP:PB=1:2$ 。

求 $\overrightarrow{OP}$ 及其模 $|\overrightarrow{OP}|$ 。

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点 $P$ 位于从 $A$ 到 $B$ 的 $\tfrac{1}{3}$ 处，所以 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ 。先求 $\overrightarrow{AB}$ ：

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=6\mathbf{i}+6\mathbf{j}

再构造 $\overrightarrow{OP}$ ，把 $\overrightarrow{AB}$ 的三分之一加到 $\overrightarrow{OA}$ 上：

\overrightarrow{OP}=(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+\frac{1}{3}(6\mathbf{i}+6\mathbf{j})=(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+(2\mathbf{i}+2\mathbf{j})=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}

取 $\overrightarrow{OP}$ 的模：

|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

答案

$\overrightarrow{OP}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ， $|\overrightarrow{OP}|=5$ 。用分点公式检验： $\overrightarrow{OP}=\tfrac{2\,\overrightarrow{OA}+1\,\overrightarrow{OB}}{3}=\tfrac{2(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+(7\mathbf{i}+8\mathbf{j})}{3}=\tfrac{9\mathbf{i}+12\mathbf{j}}{3}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ，一致。

如何像考官那样给自己评分

Add Math 采用分析式评分，也就是分数挂在步骤上，而不仅是最后那个向量。检查自己的答卷时，要像考官那样给自己算分：看是否用对了法则、分量是否放对位置、最终陈述是否清楚。

方法分：你是否写出了正确的法则， $\overrightarrow{AB}$ 用终点减起点、模用 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，或平行用 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ ？
代入分：分量是否放进了正确的位置，每个 $\mathbf{j}$ 项的符号是否保留，尤其在做向量相减时？
答案分：最终向量或数值是否清楚写出，用另一途径检验后能否成立？
对共线，只有写出数乘关系并指明共有点，才能拿满分。
如果最后答案错了但法则行与代入行对，就给自己那些分，真正的考官正是这么做的。

老师如何帮忙

自我评分很有用，但要看清自己的盲点却很难。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住丢分的那一行， $\overrightarrow{AB}$ 写成起点减终点、向量相减时漏掉一个符号，或者声称共线却没有指明共有点，并当场纠正这个习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚每一步「为什么」的人。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此我们会确保这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

每道题我该花多少时间？

每题大约五到八分钟，随分值上升。如果某题花的时间远超于此，就记下来带到课上，它在考试里偷走的时间，往往才是真正的问题，而不是这个题型本身。

怎样从位置向量求出向量

\overrightarrow{AB}

？

用终点减起点： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 。写反了就得到由 $B$ 指向 $A$ 的向量，每个符号都会颠倒。

两个向量平行的条件是什么？

其中一个必须是另一个的数乘，即 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ 。实际做法是对应分量、解出 $\lambda$ ；若同一个 $\lambda$ 同时符合两个分量，向量就平行。

最终答案错了，是不是这道题的分全丢了？

不是。由于评分是分析式的，正确的法则行和正确的代入即使最后算术出错也能拿分。

这就是为什么你应当始终按分量写出完整过程。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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如何使用这些练习题

六道练习题

如何像考官那样给自己评分

老师如何帮忙

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