Vektor Soalan Latihan | Add Math SPM

Q: Bagaimana saya mencari vektor \overrightarrow{AB} daripada vektor kedudukan?

Gunakan hujung tolak mula: AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}AB=OB−OA. Menulisnya secara terbalik memberi vektor yang menghala dari BBB ke AAA, yang membalikkan setiap tanda.

Q: Apakah yang menjadikan dua vektor selari?

Satu mesti gandaan skalar bagi yang lain, b=λa\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}b=λa. Dalam amalan, anda padankan komponen dan selesaikan untuk λ\lambdaλ; jika satu λ\lambdaλ sesuai untuk kedua-dua komponen, vektor itu selari.

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan di bawah meningkat kesukarannya merentas seluruh bab Vektor, daripada menambah dua vektor hingga mencari titik yang membahagi tembereng. Beri diri anda kira-kira lima hingga lapan minit bagi setiap soalan dan kerjakan di atas kertas dahulu, menulis setiap baris seperti dalam peperiksaan sebenar, satu baris kaedah yang menyatakan hukum yang digunakan, penggantian komponen yang jelas, kemudian jawapan akhir.

Tahan keinginan untuk mengintai. Hanya selepas anda benar-benar menyiapkan jawapan penuh barulah anda buka penyelesaian dan nilai diri baris demi baris.

Apabila kerja anda berbeza dengan kerja kami, berhenti pada baris tepat tempat kedua-duanya mula bercapah; langkah tunggal itulah yang hampir selalu menyebabkan markah hilang. Oleh sebab Add Math dinilai secara analitik, hukum yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir, jadi tulis komponen anda sepenuhnya sebelum memudahkan.

Anggap halaman ini sebagai latihan, bukan ujian, tujuannya ialah mencari langkah lemah sekarang, sementara masih ada masa untuk membetulkannya.

Enam soalan latihan

Q1[3 marks]

Dua vektor ialah $\mathbf{a}=3\mathbf{i}+2\mathbf{j}$ dan $\mathbf{b}=\mathbf{i}-4\mathbf{j}$ . Cari (a) $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ , dan (b) $2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ .

Show worked solution

(a) Tambah vektor komponen demi komponen, bahagian $\mathbf{i}$ bersama, bahagian $\mathbf{j}$ bersama:

\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3+1)\mathbf{i}+(2-4)\mathbf{j}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}

(b) Skalakan $\mathbf{a}$ dengan $2$ dahulu, kemudian tolak $\mathbf{b}$ . Jaga tanda $\mathbf{b}$ dengan teliti; menolak $-4\mathbf{j}$ menambah $4\mathbf{j}$ :

2\mathbf{a}=6\mathbf{i}+4\mathbf{j}

2\mathbf{a}-\mathbf{b}=(6-1)\mathbf{i}+(4-(-4))\mathbf{j}=5\mathbf{i}+8\mathbf{j}

Jawapan

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=4\mathbf{i}-2\mathbf{j}$ dan $2\mathbf{a}-\mathbf{b}=5\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ . Kesilapan paling lazim dalam (b) ialah menganggap $-\mathbf{b}$ sebagai $-\mathbf{i}-4\mathbf{j}$ ; negatif yang betul ialah $-\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ .

Q2[3 marks]

Suatu vektor ialah $\mathbf{v}=6\mathbf{i}-8\mathbf{j}$ . Cari (a) magnitud $|\mathbf{v}|$ , dan (b) vektor unit dalam arah $\mathbf{v}$ .

Show worked solution

(a) Magnitud $x\mathbf{i}+y\mathbf{j}$ ialah $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Kuasa duakan setiap komponen, jumlahkan, kemudian ambil punca:

|\mathbf{v}|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10

(b) Vektor unit ialah vektor dibahagi magnitudnya sendiri, $\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{1}{|\mathbf{v}|}\,\mathbf{v}$ :

\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{10}\left(6\mathbf{i}-8\mathbf{j}\right)=\frac{3}{5}\mathbf{i}-\frac{4}{5}\mathbf{j}

Jawapan

$|\mathbf{v}|=10$ dan $\hat{\mathbf{v}}=\tfrac{3}{5}\mathbf{i}-\tfrac{4}{5}\mathbf{j}$ . Semak bahawa vektor unit berpanjangan $1$ : $\sqrt{(\tfrac{3}{5})^{2}+(\tfrac{4}{5})^{2}}=\sqrt{\tfrac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1$ , sebagaimana sepatutnya.

Q3[4 marks]

Vektor kedudukan $A$ dan $B$ relatif kepada asalan $O$ ialah $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}$ dan $\overrightarrow{OB}=7\mathbf{i}+15\mathbf{j}$ . Cari (a) vektor $\overrightarrow{AB}$ , dan (b) magnitudnya $|\overrightarrow{AB}|$ .

Show worked solution

(a) Bergerak dari $A$ ke $B$ dengan kembali ke $O$ kemudian keluar ke $B$ , jadi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ (hujung tolak mula):

\overrightarrow{AB}=(7-2)\mathbf{i}+(15-3)\mathbf{j}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}

(b) Kini ambil magnitud hasilnya:

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

Jawapan

$\overrightarrow{AB}=5\mathbf{i}+12\mathbf{j}$ dan $|\overrightarrow{AB}|=13$ . Susunan penting: $\overrightarrow{AB}$ ialah hujung tolak mula, $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ; membalikkannya memberi $-5\mathbf{i}-12\mathbf{j}$ , vektor yang menghala ke arah salah.

Q4[4 marks]

Vektor $\mathbf{a}=4\mathbf{i}+6\mathbf{j}$ dan $\mathbf{b}=k\mathbf{i}+9\mathbf{j}$ adalah selari, dengan $k$ ialah pemalar. Cari nilai $k$ .

Show worked solution

Dua vektor selari apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain, jadi $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ untuk suatu nombor $\lambda$ . Padankan komponen:

k=4\lambda \quad\text{dan}\quad 9=6\lambda

Selesaikan persamaan komponen $\mathbf{j}$ untuk $\lambda$ dahulu, kemudian gantikan ke dalam komponen $\mathbf{i}$ :

\lambda=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\;\Rightarrow\; k=4\times\frac{3}{2}=6

Jawapan

$k=6$ . Semak syarat selari: $\mathbf{b}=6\mathbf{i}+9\mathbf{j}=\tfrac{3}{2}(4\mathbf{i}+6\mathbf{j})=\tfrac{3}{2}\mathbf{a}$ , jadi $\mathbf{b}$ memang gandaan skalar bagi $\mathbf{a}$ .

Q5[5 marks]

Relatif kepada asalan $O$ , titik $A$ , $B$ dan $C$ mempunyai vektor kedudukan $\overrightarrow{OA}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}$ , $\overrightarrow{OB}=5\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ dan $\overrightarrow{OC}=9\mathbf{i}+15\mathbf{j}$ . Tunjukkan bahawa $A$ , $B$ dan $C$ segaris, dan cari nisbah $AB:BC$ .

Show worked solution

Cari dua vektor sepanjang laluan, menggunakan hujung tolak mula setiap kali:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\mathbf{i}+6\mathbf{j}

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=4\mathbf{i}+8\mathbf{j}

Uji sama ada satu ialah gandaan skalar bagi yang lain. Faktorkan $\overrightarrow{BC}$ :

\overrightarrow{BC}=4\mathbf{i}+8\mathbf{j}=\frac{4}{3}\left(3\mathbf{i}+6\mathbf{j}\right)=\frac{4}{3}\,\overrightarrow{AB}

Oleh sebab $\overrightarrow{BC}$ ialah gandaan skalar bagi $\overrightarrow{AB}$ dan kedua-duanya berkongsi titik $B$ , ketiga-tiga titik terletak pada satu garis lurus. Untuk nisbah, bandingkan magnitud:

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}

Jawapan

Kerana $\overrightarrow{BC}=\tfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}$ dengan titik sepunya $B$ , titik $A$ , $B$ , $C$ segaris. Nisbahnya ialah $AB:BC=3\sqrt{5}:4\sqrt{5}=3:4$ .

Q6[5 marks]

Relatif kepada asalan $O$ , titik $A$ dan $B$ mempunyai vektor kedudukan $\overrightarrow{OA}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}$ dan $\overrightarrow{OB}=7\mathbf{i}+8\mathbf{j}$ . Titik $P$ terletak pada $AB$ supaya $AP:PB=1:2$ .

Cari $\overrightarrow{OP}$ dan magnitudnya $|\overrightarrow{OP}|$ .

Show worked solution

Titik $P$ berada $\tfrac{1}{3}$ sepanjang jalan dari $A$ ke $B$ , jadi $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ . Cari $\overrightarrow{AB}$ dahulu:

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=6\mathbf{i}+6\mathbf{j}

Kini bina $\overrightarrow{OP}$ , menambah satu pertiga $\overrightarrow{AB}$ kepada $\overrightarrow{OA}$ :

\overrightarrow{OP}=(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+\frac{1}{3}(6\mathbf{i}+6\mathbf{j})=(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+(2\mathbf{i}+2\mathbf{j})=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}

Ambil magnitud $\overrightarrow{OP}$ :

|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Jawapan

$\overrightarrow{OP}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ dan $|\overrightarrow{OP}|=5$ . Semak dengan rumus pembahagian $\overrightarrow{OP}=\tfrac{2\,\overrightarrow{OA}+1\,\overrightarrow{OB}}{3}=\tfrac{2(\mathbf{i}+2\mathbf{j})+(7\mathbf{i}+8\mathbf{j})}{3}=\tfrac{9\mathbf{i}+12\mathbf{j}}{3}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ , yang sepadan.

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Add Math dinilai secara analitik, bermakna markah dilekatkan pada langkah, bukan hanya pada vektor akhir. Apabila menyemak skrip sendiri, berikan markah kepada diri anda seperti seorang pemeriksa: cari hukum yang betul, komponen yang tepat pada tempatnya, dan pernyataan akhir yang jelas.

Markah kaedah: adakah anda menulis hukum yang betul, hujung tolak mula bagi $\overrightarrow{AB}$ , $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ bagi magnitud, atau $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ bagi vektor selari?
Markah penggantian: adakah komponen diletakkan pada slot yang betul, dengan tanda setiap sebutan $\mathbf{j}$ dikekalkan, terutama semasa menolak suatu vektor?
Markah jawapan: adakah vektor atau nilai akhir dinyatakan dengan jelas, dan bertahan apabila disemak dengan cara lain?
Bagi kesegarisan, anda hanya memperoleh markah penuh dengan menunjukkan gandaan skalar dan menamakan titik sepunya.
Jika jawapan akhir anda salah tetapi baris hukum dan penggantian betul, berikan diri anda markah itu, itulah tepat yang dilakukan oleh pemeriksa sebenar.

Bagaimana guru membantu

Menilai diri sendiri amat berkuasa, tetapi sukar untuk melihat titik buta sendiri. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat markah tergelincir, $\overrightarrow{AB}$ ditulis sebagai mula tolak hujung, tanda tercicir semasa menolak vektor, atau kesegarisan didakwa tanpa menamakan titik sepunya, dan membetulkan tabiat itu serta-merta.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan sebab di sebalik setiap langkah. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi kami pastikan tatatanda kelihatan sama kepada anda dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Berapa lama masa yang patut saya ambil bagi setiap soalan?

Sasarkan kira-kira lima hingga lapan minit setiap satu, meningkat dengan nilai markah. Jika satu soalan mengambil masa jauh lebih lama, catatkan dan bawa ke kelas, masa yang dicurinya dalam peperiksaan selalunya masalah sebenar, bukan topik itu sendiri.

Bagaimana saya mencari vektor

\overrightarrow{AB}

daripada vektor kedudukan?

Gunakan hujung tolak mula: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ . Menulisnya secara terbalik memberi vektor yang menghala dari $B$ ke $A$ , yang membalikkan setiap tanda.

Apakah yang menjadikan dua vektor selari?

Satu mesti gandaan skalar bagi yang lain, $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$ . Dalam amalan, anda padankan komponen dan selesaikan untuk $\lambda$ ; jika satu $\lambda$ sesuai untuk kedua-dua komponen, vektor itu selari.

Adakah saya hilang semua markah jika jawapan akhir saya salah?

Tidak. Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, satu baris hukum yang betul dan penggantian yang betul masih memperoleh markah walaupun aritmetik tergelincir di akhir.

Sebab itulah anda patut sentiasa menunjukkan kerja penuh dalam komponen.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Vektor, Soalan Latihan

Cara menggunakan soalan latihan ini

Enam soalan latihan

Cara menilai diri seperti pemeriksa

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?