方程组，例题（中等）

把 $y$ 从线性方程解出为主项，因为它的系数是 $1$：

代入 $x^{2}+xy=10$。把 $x$ 保留为所代括号的因子：

合并同类项。结果是 $-x^{2}+7x-10=0$；两边乘以 $-1$，让首项为正，再因式分解：

所以 $x=2$ 或 $x=5$。把每一个代回 $y=7-2x$：

给方程编号：$(1)\;x+y+z=6$，$(2)\;2x-y+z=5$，$(3)\;x+2y-z=6$。字母 $z$ 最容易消去。

把 $(1)$ 与 $(3)$ 相加，让 $+z$ 与 $-z$ 抵消：

接着用第二种方式消去 $z$。用 $(1)$ 减 $(2)$：

方程 $(4)$ 与 $(5)$ 现在只含 $x$ 与 $y$。把 $x$ 从 $(5)$ 解出为主项，得 $x=2y-1$，代入 $(4)$：

把 $y=2$ 代回 $x=2y-1$，再用 $(1)$ 求 $z$：

设长为 $x$ m、宽为 $y$ m，且 $x>y$。把每个条件化成方程。

周长 $2(x+y)=26$ 给出线性方程，面积给出非线性方程：

把 $y$ 从线性方程解出为主项，$y=13-x$，代入 $xy=40$：

整理成二次方程并因式分解：

所以 $x=5$ 或 $x=8$。由于长是较大的一边，取 $x=8$；于是 $y=13-8=5$。

与其把一个方程代入另一个，不如利用恒等式 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$，直接从两个已知的和求出乘积 $xy$：

有了 $x+y=11$ 与 $xy=30$，$x$ 与 $y$ 就是二次方程 $t^{2}-(\text{和})t+(\text{积})=0$ 的两个根：

所以 $t=5$ 或 $t=6$，由于 $x+y=11$，两个根互相配对。

把左边两个分数通分；分子正好是已知的 $x+y$：

把 $x+y=5$ 代入分子，再求 $xy$：

有了 $x+y=5$ 与 $xy=6$，$x$ 与 $y$ 就是以下方程的根：

把 $y$ 从线性方程解出为主项：

代入 $xy=6$，并去分母：

整理后两边除以 $-2$，结果是一个完全平方式：

这个重根只给出一个 $x$ 值。代回求 $y$：

设阿曼现在的年龄为 $x$，弟弟的为 $y$。把第一句话写成方程：

$8$ 年后两人的年龄都增加 $8$；把第二句话写成方程：

$(1)$ 与 $(2)$ 都等于 $x$，令它们相等并解出 $y$，再求 $x$：

设第一个数为 $x$，用 $x$ 表示第二个数和第三个数：

代入 $x+y+z=28$，解出 $x$：

代回求 $y$ 与 $z$：