Sistem Persamaan Contoh (Sederhana)

Q: Apa yang saya buat apabila penggantian menghasilkan sebutan xy?

Kembangkan kurungan supaya sebutan xyxyxy menjadi sebutan x2x^{2}x2 atau xxx biasa, kemudian kumpulkan semuanya di satu sebelah. Anda akan tinggal dengan kuadratik biasa dalam satu pemboleh ubah untuk difaktorkan.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Sistem Persamaan sederhana ini menuntut sedikit lebih daripada aljabar anda berbanding set mudah. Dalam yang pertama, penggantian menghasilkan sebutan $xy$ , jadi anda perlu mengembang dan mengumpul dengan teliti sebelum kuadratik muncul.

Dalam yang kedua, sistem linear tiga pemboleh ubah tidak selesai dengan satu tolakan sahaja, anda hapuskan satu huruf untuk sampai kepada sepasang persamaan, kemudian selesaikan pasangan itu. Dalam yang ketiga, anda terjemahkan segi empat tepat yang diperihalkan dalam ayat kepada dua persamaan, kemudian selesaikan dan pilih jawapan yang sesuai dengan konteks.

Nombornya kekal kemas sepanjang. Tutup penyelesaian, cuba setiap soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris.

Langkah tempat kerja anda mula bercapah daripada kerja kami itulah tempat pembelajaran sebenar.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaian, dan perhatikan bagaimana rancangan yang sama, kecilkan sistem kepada satu persamaan yang boleh diurus, selesaikannya, kemudian gantikan semula, membawa setiap soalan, walaupun bentuknya kelihatan berbeza.

Q1[4 marks]

Selesaikan persamaan serentak $2x+y=7$ dan $x^{2}+xy=10$ .

Show worked solution

Jadikan $y$ sebagai perkara rumus persamaan linear, kerana pekalinya $1$ :

y=7-2x

Gantikan ke dalam $x^{2}+xy=10$ . Kekalkan $x$ sebagai faktor bagi kurungan yang digantikan:

x^{2}+x(7-2x)=10 \;\Rightarrow\; x^{2}+7x-2x^{2}=10

Kumpulkan sebutan serupa. Hasilnya $-x^{2}+7x-10=0$ ; darab semua dengan $-1$ supaya sebutan pendahulu positif, kemudian faktorkan:

x^{2}-7x+10=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-5)=0

Jadi $x=2$ atau $x=5$ . Gantikan setiap satu semula ke dalam $y=7-2x$ :

x=2 \Rightarrow y=3, \qquad x=5 \Rightarrow y=-3

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(2,3)$ dan $(5,-3)$ . Semak yang kedua dalam persamaan tak linear: $(5)^{2}+(5)(-3)=25-15=10$ , seperti yang dikehendaki.

Q2[5 marks]

Selesaikan sistem $x+y+z=6$ , $2x-y+z=5$ dan $x+2y-z=6$ .

Show worked solution

Labelkan persamaan: $(1)\;x+y+z=6$ , $(2)\;2x-y+z=5$ , $(3)\;x+2y-z=6$ . Huruf $z$ paling mudah dihapuskan.

Tambah $(1)$ dan $(3)$ supaya $+z$ dan $-z$ terhapus:

(1)+(3):\; 2x+3y=12 \quad (4)

Seterusnya hapuskan $z$ dengan cara kedua. Tolak $(2)$ daripada $(1)$ :

(1)-(2):\; -x+2y=1 \quad (5)

Persamaan $(4)$ dan $(5)$ kini melibatkan $x$ dan $y$ sahaja. Jadikan $x$ sebagai perkara rumus $(5)$ , memberi $x=2y-1$ , dan gantikan ke dalam $(4)$ :

2(2y-1)+3y=12 \;\Rightarrow\; 7y-2=12 \;\Rightarrow\; y=2

Gantikan semula $y=2$ ke dalam $x=2y-1$ , kemudian guna $(1)$ untuk $z$ :

x=2(2)-1=3, \qquad z=6-x-y=6-3-2=1

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $x=3,\; y=2,\; z=1$ . Semak $(2)$ : $2(3)-2+1=5$ , dan $(3)$ : $3+2(2)-1=6$ , kedua-duanya betul.

Q3[4 marks]

Sebidang tanah segi empat tepat mempunyai perimeter $26$ m dan luas $40$ m $^{2}$ . Cari panjang dan lebarnya.

Show worked solution

Biar panjang $x$ m dan lebar $y$ m, dengan $x>y$ . Tukar setiap fakta kepada persamaan.

Perimeter $2(x+y)=26$ memberi persamaan linear, dan luas memberi persamaan tak linear:

x+y=13, \qquad xy=40

Jadikan $y$ sebagai perkara rumus persamaan linear, $y=13-x$ , dan gantikan ke dalam $xy=40$ :

x(13-x)=40 \;\Rightarrow\; 13x-x^{2}=40

Susun semula menjadi kuadratik dan faktorkan:

x^{2}-13x+40=0 \;\Rightarrow\; (x-5)(x-8)=0

Jadi $x=5$ atau $x=8$ . Oleh sebab panjang ialah sisi yang lebih besar, ambil $x=8$ ; maka $y=13-8=5$ .

Jawapan

Tanah itu $8$ m panjang dan $5$ m lebar. Semak kedua-dua fakta: perimeter $2(8+5)=26$ m dan luas $8\times 5=40$ m $^{2}$ , seperti yang dinyatakan.

Q4[4 marks]

Dua nombor mempunyai hasil tambah $11$ dan hasil tambah kuasa dua kedua-duanya ialah $61$ . Cari kedua-dua nombor itu.

Show worked solution

Daripada menggantikan satu persamaan ke dalam yang satu lagi, guna identiti $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ untuk terus mendapatkan hasil darab $xy$ daripada dua hasil tambah yang diberi:

(11)^{2}=61+2xy \;\Rightarrow\; xy=30

Dengan $x+y=11$ dan $xy=30$ yang telah diketahui, $x$ dan $y$ ialah dua punca kuadratik $t^{2}-(\text{hasil tambah})t+(\text{hasil darab})=0$ :

t^{2}-11t+30=0 \;\Rightarrow\; (t-5)(t-6)=0

Jadi $t=5$ atau $t=6$ , dan oleh sebab $x+y=11$ , setiap punca berpasangan dengan punca yang satu lagi.

Jawapan

Kedua-dua nombor itu ialah $5$ dan $6$ . Semak: $5+6=11$ dan $5^{2}+6^{2}=25+36=61$ , seperti yang diberi.

Q5[4 marks]

Selesaikan persamaan serentak $x+y=5$ dan $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$ .

Show worked solution

Gabungkan dua pecahan di sebelah kiri dengan penyebut sepunya; pengangkanya menjadi $x+y$ , yang telah anda ketahui:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{5}{6}

Gantikan $x+y=5$ ke dalam pengangka, kemudian selesaikan untuk $xy$ :

\frac{5}{xy}=\frac{5}{6} \;\Rightarrow\; xy=6

Dengan $x+y=5$ dan $xy=6$ , $x$ dan $y$ ialah punca bagi:

t^{2}-5t+6=0 \;\Rightarrow\; (t-2)(t-3)=0

Jawapan

Penyelesaiannya ialah $(x,y)=(2,3)$ atau $(3,2)$ . Semak: $2+3=5$ dan $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ , seperti yang dikehendaki.

Q6[4 marks]

Selesaikan persamaan serentak $2x+3y=12$ dan $xy=6$ .

Show worked solution

Jadikan $y$ sebagai perkara rumus persamaan linear:

y=\frac{12-2x}{3}

Gantikan ke dalam $xy=6$ dan buang pecahan:

x\left(\frac{12-2x}{3}\right)=6 \;\Rightarrow\; 12x-2x^{2}=18

Susun semula dan bahagikan seluruhnya dengan $-2$ ; hasilnya ialah kuasa dua sempurna:

x^{2}-6x+9=0 \;\Rightarrow\; (x-3)^{2}=0 \;\Rightarrow\; x=3

Punca berganda ini memberi hanya satu nilai $x$ . Gantikan semula untuk cari $y$ :

y=\frac{12-2(3)}{3}=2

Jawapan

Satu-satunya penyelesaian ialah $(3,2)$ . Punca berganda bermaksud garis $2x+3y=12$ menyentuh lengkung $xy=6$ pada tepat satu titik, bukannya memotongnya dua kali.

Semak: $2(3)+3(2)=12$ dan $3\times2=6$ .

Q7[3 marks]

Aiman sekarang berumur $3$ kali umur adiknya. Dalam $8$ tahun, Aiman akan berumur dua kali umur adiknya.

Cari umur mereka sekarang.

Show worked solution

Biar umur Aiman sekarang $x$ dan umur adiknya $y$ . Tukar ayat pertama kepada persamaan:

x=3y \quad (1)

Dalam $8$ tahun, kedua-dua umur bertambah $8$ ; tukar ayat kedua kepada persamaan:

x+8=2(y+8) \;\Rightarrow\; x=2y+8 \quad (2)

Kedua-dua $(1)$ dan $(2)$ sama dengan $x$ , jadi samakan dan selesaikan untuk $y$ , kemudian cari $x$ :

3y=2y+8 \;\Rightarrow\; y=8, \qquad x=3(8)=24

Jawapan

Aiman berumur $24$ tahun dan adiknya $8$ tahun. Semak: dalam $8$ tahun mereka berumur $32$ dan $16$ , dan $32=2\times16$ , seperti yang dikehendaki.

Q8[3 marks]

Hasil tambah tiga nombor ialah $28$ . Nombor kedua ialah dua kali nombor pertama, dan nombor ketiga ialah $3$ lebih daripada nombor kedua.

Cari ketiga-tiga nombor itu.

Show worked solution

Biar nombor pertama $x$ . Tuliskan nombor kedua dan ketiga dalam sebutan $x$ :

y=2x, \qquad z=2x+3

Gantikan kedua-duanya ke dalam $x+y+z=28$ dan selesaikan untuk $x$ :

x+2x+(2x+3)=28 \;\Rightarrow\; 5x+3=28 \;\Rightarrow\; x=5

Gantikan semula untuk cari $y$ dan $z$ :

y=2(5)=10, \qquad z=2(5)+3=13

Jawapan

Ketiga-tiga nombor itu ialah $5$ , $10$ , dan $13$ . Semak: $5+10+13=28$ , dan $13$ ialah $3$ lebih daripada $10$ , iaitu dua kali $5$ .

Merentasi ketiga-tiganya, bentuk kerjanya sama. Kecilkan sistem kepada satu persamaan yang boleh anda selesaikan, melalui penggantian, penghapusan, atau menterjemah ayat kepada aljabar, selesaikan persamaan itu, kemudian gantikan semula dan, dalam masalah ayat, pilih punca yang dibenarkan oleh konteks.

Pegang rancangan itu dan soalan sederhana tidak lagi terasa satu lonjakan.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini menunjukkan bagaimana kaedah teras yang sama meregang untuk meliputi susunan yang lebih sukar. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila penggantian menghasilkan sebutan $xy$ , kembangkan sepenuhnya dan kumpulkan sebutan serupa sebelum anda cuba memfaktorkan.
Jika pekali pendahulu keluar negatif, darab seluruh persamaan dengan $-1$ supaya pemfaktoran lebih kemas.
Dalam sistem tiga pemboleh ubah, hapuskan huruf yang sama dua kali untuk sampai kepada dua persamaan dalam dua anu, kemudian selesaikan pasangan itu.
Bagi masalah ayat, namakan pemboleh ubah, tukar setiap fakta yang dinyatakan kepada satu persamaan, dan nyatakan sebarang syarat seperti panjang $>$ lebar.
Kuadratik mungkin memberi dua punca yang sah secara matematik, tetapi konteks dunia sebenar sering mengekalkan hanya satu, sentiasa semak yang mana sesuai.
Oleh sebab pemarkahan bersifat analitik, set persamaan yang betul dan satu baris kaedah yang jelas memperoleh markah walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Bagaimana guru membantu

Soalan sederhana ialah tempat tabiat baik mula membuahkan hasil, dan tempat satu baris yang tergesa-gesa senyap-senyap merugikan markah, tanda yang hilang semasa mengumpul sebutan $xy$ , atau punca yang salah dikekalkan dalam masalah ayat. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memperlahankan saat itu, menamakan langkah yang anda berada, dan menunjukkan cara menyemaknya sebelum meneruskan.

Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda mempelajari kaedah yang boleh anda ulang di bawah tekanan peperiksaan, bukan helah untuk satu soalan. Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris, jadi tatatanda kekal biasa dalam kedua-dua versi.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apa yang saya buat apabila penggantian menghasilkan sebutan

xy

Kembangkan kurungan supaya sebutan $xy$ menjadi sebutan $x^{2}$ atau $x$ biasa, kemudian kumpulkan semuanya di satu sebelah. Anda akan tinggal dengan kuadratik biasa dalam satu pemboleh ubah untuk difaktorkan.

Dalam sistem tiga pemboleh ubah, huruf mana patut saya hapuskan dahulu?

Pilih huruf yang terhapus paling mudah, selalunya yang pekalinya $+1$ dan $-1$ dalam dua persamaan, supaya satu penambahan menghapuskannya. Hapuskannya dua kali untuk sampai kepada dua persamaan dalam dua anu.

Bagaimana saya menukar masalah ayat kepada persamaan?

Namakan setiap anu dengan satu huruf, kemudian tulis satu persamaan bagi setiap fakta yang dinyatakan. Perimeter dan luas segi empat tepat memberi satu persamaan linear dan satu tak linear, yang anda selesaikan bersama.

Mengapa kadangkala saya menolak satu punca dalam masalah ayat?

Kerana aljabar tidak tahu konteksnya. Panjang negatif atau lebar yang lebih besar daripada panjang tiada makna di sini, jadi anda kekalkan hanya punca yang sesuai dengan situasi yang diperihalkan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sistem Persamaan, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?