Sistem Persamaan, Matematik Tambahan SPM Tingkatan 4

Sistem persamaan ialah satu set dua atau lebih persamaan dalam anu yang sama, yang mesti dipenuhi serentak. Menyelesaikan sistem bermaksud mencari nilai yang menjadikan setiap persamaan benar pada masa yang sama, bukan satu persamaan pada satu masa, tetapi kesemuanya sekali gus.

Dalam Matematik Tambahan SPM, ini ialah Bab 3 Tingkatan 4, dan ia mengubah kemahiran menyelesaikan persamaan yang sedia ada menjadi kemahiran berstruktur yang melibatkan banyak persamaan.

Bab ini mengandungi dua standard kandungan daripada DSKP KSSM. Yang pertama, sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah, memanjangkan pasangan persamaan serentak yang biasa kepada tiga persamaan dalam tiga anu $x$, $y$ dan $z$.

Yang kedua, persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear, memasangkan satu persamaan garis lurus dengan satu persamaan lengkung, contohnya persamaan linear bersama persamaan yang mengandungi $x^{2}$, $y^{2}$ atau $xy$, dan meminta anda mencari titik pertemuan mereka.

Kedua-dua bahagian sebenarnya berkisar pada satu idea: menurunkan masalah yang sukar kepada masalah yang lebih mudah yang anda sudah tahu selesaikan. Bagi tiga pemboleh ubah, anda menghapuskan satu anu untuk mendapatkan sepasang persamaan serentak yang biasa; bagi pasangan linear dan tak linear, anda menggantikan persamaan linear ke dalam persamaan tak linear untuk mendapatkan satu persamaan kuadratik sahaja.

Keseluruhan bab ini ialah latihan memilih laluan yang kemas dan menjayakannya dengan berhati-hati.

Oleh sebab SPM menggunakan permarkahan analitik, anda memperoleh markah bagi setiap langkah penghapusan atau penggantian yang betul, bukan hanya bagi jawapan akhir. Guru kami menjadikan bab ini tempat membina kerja yang kemas dan teratur: susun persamaan anda, labelkannya, dan tunjukkan setiap penggantian.

Susun atur yang kemas di sini bernilai markah sebenar, dan ia tabiat yang berbaloi dalam setiap bab kemudian yang berakhir dengan persamaan untuk diselesaikan.

Ia juga membantu untuk membayangkan maksud sesuatu penyelesaian. Persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah mewakili satah rata dalam ruang, dan menyelesaikan sistem itu mencari satu titik di mana ketiga-tiga satah bersilang.

Persamaan linear yang dipasangkan dengan yang tak linear pula mewakili garis lurus yang bertemu lengkung, dan penyelesaiannya memberi koordinat titik pertemuan. Berpegang pada gambaran geometri ini menjelaskan mengapa lengkung dan garis boleh bertemu dua kali, sekali, atau tidak langsung, dan ia menghubungkan bab ini terus dengan geometri koordinat dan fungsi kuadratik kemudian dalam kursus.

Sistem Persamaan disusun kepada dua standard kandungan. Kod dan tajuk ini datang terus daripada DSKP, kenali supaya anda tahu dengan tepat apa yang diuji oleh sesuatu soalan.

Kedua-dua standard berkongsi satu enjin, penggantian, tetapi mengaplikasikannya dalam keadaan berbeza. Standard 3.1 kebanyakannya aritmetik yang teliti dan teratur merentasi tiga persamaan; standard 3.2 bergantung pada kemahiran menyelesaikan kuadratik anda dari Bab 2.

Selesa dengan kedua-duanya bermakna anda boleh menyerang hampir mana-mana soalan menyelesaikan persamaan yang dikemukakan oleh kertas peperiksaan.

Apa itu sistem tiga pemboleh ubah. Tiga persamaan linear dalam $x$, $y$ dan $z$ membentuk sistem apabila ketiga-tiganya mesti benar serentak.

Penyelesaiannya ialah tigaan tertib $(x, y, z)$ yang memenuhi setiap persamaan. Dalam soalan pada peringkat ini biasanya terdapat tepat satu tigaan sedemikian.

$$a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1},\quad a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2},\quad a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}$$

Selesaikan dengan penghapusan. Kaedah yang boleh diharap ialah menghapuskan satu pemboleh ubah dan mengecilkan masalah.

Gabungkan persamaan secara berpasangan supaya satu anu terhapus, meninggalkan dua persamaan dalam dua anu, sistem yang anda sudah tahu selesaikan. Selesaikan pasangan itu, kemudian gantikan kedua-dua nilai kembali ke dalam mana-mana persamaan asal untuk mendapatkan anu ketiga.

Satu contoh kerja. Ambil $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$ dan $x+2y-z=2$.

Menambah yang pertama dan ketiga memberi $2x+3y=8$; menambah yang kedua dan ketiga memberi $3x+y=5$. Daripada yang kedua ini $y=5-3x$; penggantian memberi $2x+3(5-3x)=8$, maka $-7x=-7$ dan $x=1$.

Kemudian $y=2$, dan persamaan pertama memberi $z=3$. Penyelesaiannya ialah $(1, 2, 3)$, dan semakan pantas dalam ketiga-tiga persamaan asal mengesahkannya.

Penggantian juga dibenarkan. Selain menghapuskan, anda boleh menjadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus satu persamaan dan menggantikannya ke dalam dua yang lain.

Kedua-dua laluan sesuai, pilih yang mengekalkan aritmetik paling ringkas, biasanya dengan bermula daripada persamaan yang mempunyai pekali paling kemas ($+1$ atau $-1$ adalah ideal).

Persamaan serentak linear dan tak linear. Di sini anda diberi satu persamaan linear dan satu persamaan yang bukan linear, yang mengandungi $x^{2}$, $y^{2}$ atau $xy$.

Laluan piawainya sentiasa sama: jadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus persamaan linear, kemudian gantikan ungkapan itu ke dalam persamaan tak linear. Ini meninggalkan satu persamaan dalam satu pemboleh ubah, yang hampir sentiasa disusun semula menjadi kuadratik.

$$ax^{2} + bx + c = 0$$

Selesaikan kuadratik itu. Sebaik sahaja anda mempunyai $ax^{2}+bx+c=0$, selesaikannya dengan pemfaktoran, dengan penyempurnaan kuasa dua, atau dengan rumus kuadratik.

Rumus kuadratik ialah salah satu keputusan yang dibekalkan pada muka surat rumus SPM, jadi anda tidak perlu menghafalnya, tetapi anda mesti tahu bila hendak menggunakannya.

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Sentiasa cari kedua-dua pemboleh ubah. Setiap nilai anu pertama memberi nilai sepadan bagi anu kedua.

Selepas menyelesaikan kuadratik, gantikan setiap punca kembali ke dalam persamaan linear untuk mencari pasangannya, dan tuliskan jawapan anda sebagai pasangan. Contohnya, $x+y=6$ dengan $x^{2}+y^{2}=20$ memberi $y=6-x$, kemudian $x^{2}+(6-x)^{2}=20$, yang dipermudahkan menjadi $x^{2}-6x+8=0$.

Ini difaktorkan menjadi $(x-2)(x-4)=0$, maka $x=2$ atau $x=4$, dan penyelesaian berpasangan ialah $(2, 4)$ dan $(4, 2)$.

Berapa penyelesaian yang dijangka. Oleh sebab pasangan linear dan tak linear ialah garis bertemu lengkung, ia boleh mempunyai dua pasangan penyelesaian (garis memotong lengkung dua kali), satu pasangan penyelesaian (garis hanya menyentuh lengkung), atau tiada dalam nombor nyata (garis terlepas lengkung).

Pembeza $b^{2}-4ac$ bagi kuadratik yang telah diringkaskan memberitahu anda keadaan yang mana, pautan kemas kembali ke Bab 2.

Apa yang diberi dan apa yang perlu dihafal. Hanya rumus kuadratik muncul dalam senarai rumus SPM; kaedah penghapusan dan penggantian itu sendiri bukan rumus yang dibekalkan, ia teknik yang anda fahami dan latih sehingga menjadi automatik.

Sistem Persamaan boleh diuji dalam mana-mana kertas bertulis. Kertas 1 (3472/1) berlangsung selama 2 jam dan membawa 80 markah: Bahagian A mempunyai 12 soalan bernilai 64 markah yang anda jawab semua, dan Bahagian B mempunyai 3 soalan bernilai 16 markah yang anda jawab 2 daripadanya.

Kertas 2 (3472/2) berlangsung selama 2 jam 30 minit dan membawa 100 markah merentasi Bahagian A (7 soalan, 50 markah, jawab semua), Bahagian B (4 soalan, 30 markah, jawab 3) dan Bahagian C (4 soalan, 20 markah, jawab 2).

Dalam kedua-dua kertas, item ialah soalan subjektif respons terhad dan berstruktur, ia diperiksa menggunakan permarkahan analitik, dan anda mendudukinya dengan kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara. Kami tidak meramal berapa markah yang akan dibawa oleh mana-mana bab tunggal, kerana ia berubah dari tahun ke tahun, tetapi kerja penggantian dalam bab ini turut menyokong soalan dalam geometri koordinat dan fungsi kuadratik, jadi kemahiran ini bernilai lebih daripada bahagian markahnya sendiri.

Bab ini amat sesuai dengan format berstruktur yang menuntut anda tunjukkan kerja. Menyelesaikan tiga persamaan, atau meringkaskan sepasang persamaan kepada kuadratik lalu menyelesaikannya, secara semula jadi ialah tugas berbilang langkah, dan kerana permarkahan bersifat analitik, setiap baris penghapusan yang betul, setiap penggantian yang kemas dan setiap punca yang diselesaikan boleh memperoleh markahnya sendiri.

Susun kerja anda dalam baris bernombor supaya pemeriksa dapat mengikutinya, dan sentiasa tuliskan jawapan akhir sebagai set nilai yang lengkap.

Perlu diingat, kelas kami disampaikan dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa (BM/Inggeris), jadi anda berlatih dengan istilah dalam kedua-dua bahasa dan tidak terkejut dengan mana-mana perkataan pada hari peperiksaan.

Kebanyakan markah yang hilang dalam bab ini datang daripada segelintir tabiat yang boleh dielakkan. Baca ini sebelum setiap set latihan sehingga ia menjadi lumrah.

• Menggantikan secara terbalik. Bagi pasangan linear dan tak linear, jadikan satu pemboleh ubah perkara rumus persamaan linear dan gantikan ke dalam yang tak linear. Melakukannya secara terbalik biasanya menghasilkan persamaan yang lebih berselerak dan kesilapan yang tidak perlu.
• Mencari hanya satu pemboleh ubah. Setiap punca kuadratik mempunyai pasangan. Selepas menyelesaikan, gantikan setiap nilai kembali untuk mencari yang sepadan dan tuliskan jawapan sebagai pasangan, bukan senarai nilai $x$ yang bersendirian.
• Menggantikan kembali ke dalam persamaan tak linear. Untuk memasangkan nilai, gantikan punca anda ke dalam persamaan linear. Menggantikan ke dalam yang tak linear boleh menimbulkan nilai tambahan yang sebenarnya tidak memenuhi pasangan asal.
• Mengembangkan kuasa dua secara cuai. Apabila anda menggantikan ungkapan seperti $6-x$ lalu menguasa duakannya, kembangkan sepenuhnya: $(6-x)^{2}=36-12x+x^{2}$. Menggugurkan sebutan tengah ialah cara yang sangat lazim untuk kehilangan keseluruhan soalan.
• Tersilap aritmetik dalam penghapusan tiga pemboleh ubah. Hapuskan pemboleh ubah yang sama daripada kedua-dua pasangan persamaan, kawal tanda anda, dan bariskan sebutan dalam lajur supaya tiada yang ditambah ke tempat yang salah.
• Meninggalkan nilai ketiga atau melangkau semakan. Nyatakan kesemua $x$, $y$ dan $z$, dan gantikan penyelesaian anda kembali ke dalam setiap persamaan asal. Semakan tiga puluh saat menangkap kebanyakan tersilap sebelum ia meragut markah anda.

Tiada satu pun daripada kesilapan ini berkaitan kebolehan, setiap satu hanyalah tabiat, dan tabiat boleh diperbetulkan. Tandakan satu demi satu dalam latihan anda dan ketepatan anda akan meningkat dengan cepat.

Murid yang cemerlang di sini jarang yang paling laju; mereka ialah yang mengekalkan kerja mereka kemas dan sentiasa menyemak.

Sistem Persamaan memberi ganjaran kepada pendekatan yang teratur dan mantap. Ikuti langkah-langkah ini mengikut susunan, kemudian gunakan sumber di bawah untuk mengulang kaji dan menguji diri.

Sasarkan sesi yang pendek dan kerap, bukan satu sesi hafalan yang panjang. Selesaikan satu sistem tiga pemboleh ubah dan satu pasangan linear dan tak linear setiap hari, dan rutin itu tidak lama kemudian menjadi automatik.

Apabila sesuatu langkah terasa mantap, teruskan; apabila tidak, perlahankan dan ulang sehingga ia menjadi automatik. Tersebar merentasi beberapa minggu, latihan senyap ini menjadikan bab yang leceh sebagai antara markah yang paling boleh diharap.

1. 1

   Panaskan badan dengan pasangan dua pemboleh ubah

   Pastikan persamaan serentak biasa melalui penghapusan dan penggantian benar-benar lancar, kes tiga pemboleh ubah dibina terus di atasnya.

2. 2

   Panjangkan kepada tiga pemboleh ubah

   Latih menghapuskan satu anu untuk menurunkan sistem 3×3 kepada 2×2, kemudian selesaikan dan ganti balik untuk mendapatkan nilai ketiga.

3. 3

   Kuasai rutin linear dan tak linear

   Jadikan satu pemboleh ubah perkara rumus persamaan linear, gantikan ke dalam yang tak linear, dan turunkan pasangan itu kepada satu kuadratik.

4. 4

   Selesaikan kuadratik dengan tiga cara

   Latih pemfaktoran, penyempurnaan kuasa dua, dan rumus kuadratik supaya anda boleh memilih laluan terpantas bagi setiap soalan.

5. 5

   Pasangkan, semak, kemudian ukur masa

   Sentiasa cari kedua-dua nilai dalam setiap pasangan dan semak dalam persamaan asal, kemudian cuba latihan campuran dan contoh kerja dengan jam berjalan.

• Sistem Persamaan, Nota Ringkas
• Sistem Persamaan, Kesilapan Lazim
• Sistem Persamaan, Soalan Latihan
• Sistem Persamaan, Panduan Menjawab Kertas 2
• Sistem Persamaan, Istilah Penting
• Sistem Persamaan, Contoh Kerja (Mudah)
• Sistem Persamaan, Contoh Kerja (Sederhana)
• Sistem Persamaan, Contoh Kerja (KBAT)