方程组，SPM 高级数学（中四）

方程组是含有相同未知数的两条或多条方程所组成的集合，它们必须同时成立。求解方程组，就是找出使每一条方程都成立的数值，不是一条一条地解，而是让全部一起成立。

在 SPM 高级数学里，这是中四的第三章，它把你已经会的解方程技巧，提升为有条理、涉及多条方程的技能。

本章包含两项来自 KSSM DSKP 的内容标准。第一项，三元线性方程组，把熟悉的二元联立方程延伸为三条含三个未知数 $x$、$y$、$z$ 的方程。

第二项，一次方程与非一次方程联立，把一条直线方程与一条曲线方程配成一对，例如一条一次方程连同一条含 $x^{2}$、$y^{2}$ 或 $xy$ 的方程，要你求出它们相交的点。

这两部分其实都围绕着同一个念头：把一个难题化简为一个你已经会解的容易问题。对于三个未知数，你消去一个未知数，得到一对熟悉的联立方程；对于一次与非一次的配对，你把一次方程代入非一次方程，得到一条二次方程。

整章都是在训练你选一条干净的路线，并小心地把它走完。

由于 SPM 采用分析式评分，你是因为消元或代入的每一个正确步骤而得分，而不仅仅是最后的答案。我们的老师把本章当作培养整洁、有序书写的地方：把方程排好、标上编号、写出每一次代入。

这里整洁的排版能换来实实在在的分数，而这个习惯在往后每一个以解方程收尾的章节里都会带来回报。

想象一下解的含义也很有帮助。三元一次方程代表空间中的一个平面，求解方程组就是找出三个平面相交的那一个点。

一次方程与非一次方程配对，则代表一条直线与一条曲线相遇，解便给出相遇点的坐标。抓住这幅几何图像，就能明白为什么曲线与直线可以相交两次、一次，或完全不相交，它也把本章直接连接到课程后面的坐标几何与二次函数。

方程组分为两项内容标准。以下的编码与标题直接来自 DSKP，认清它们，你就知道一道题目到底在考什么。

两项标准共用同一个引擎，代入，只是用在不同的场合。标准 3.1 主要是跨三条方程的细心、有序的运算；标准 3.2 则依靠你在第二章练就的解二次方程技巧。

两者都熟练，几乎任何解方程的题目摆在你面前，你都能应对。

什么是三元方程组。三条含 $x$、$y$、$z$ 的一次方程，当三者必须同时成立时便构成一个方程组。

它的解是一个满足每一条方程的有序三元组 $(x, y, z)$。在这个程度的题目里，通常恰好只有一个这样的三元组。

$$a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1},\quad a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2},\quad a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}$$

用消元法求解。可靠的方法是消去一个未知数，把问题缩小。

把方程两两组合，使某一个未知数抵消，就剩下两条含两个未知数的方程，这正是你已经会解的方程组。解出那一对，再把这两个值代回任何一条原方程，就能求出第三个未知数。

一个演算示例。取 $x+y+z=6$、$2x-y+z=3$ 与 $x+2y-z=2$。

第一条与第三条相加得 $2x+3y=8$；第二条与第三条相加得 $3x+y=5$。由后者得 $y=5-3x$；代入得 $2x+3(5-3x)=8$，于是 $-7x=-7$，$x=1$。

接着 $y=2$，再由第一条方程得 $z=3$。解是 $(1, 2, 3)$，代回三条原方程快速检验即可确认。

代入法同样可行。除了消元，你也可以把一条方程中的一个未知数变成主项，再代入另外两条。

两条路线都行，选让运算最简单的那条，通常从系数最整齐的方程入手（系数是 $+1$ 或 $-1$ 最理想）。

一次与非一次方程联立。这里给你一条一次方程和一条并非一次的方程，含 $x^{2}$、$y^{2}$ 或 $xy$。

标准路线始终一样：把一次方程中的一个未知数变成主项，再把这个式子代入非一次方程。这样就剩下一条只含一个未知数的方程，而它几乎总能整理成一条二次方程。

$$ax^{2} + bx + c = 0$$

解出这条二次方程。一旦得到 $ax^{2}+bx+c=0$，就用因式分解、配方，或二次公式来解。

二次公式是 SPM 公式页所提供的结果之一，所以你无需背它，但你必须知道何时该用它。

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

务必求出两个未知数。第一个未知数的每一个值，都对应第二个未知数的一个值。

解出二次方程后，把每个根代回一次方程，找出它的搭档，并把答案写成一对一对的。例如 $x+y=6$ 与 $x^{2}+y^{2}=20$，得 $y=6-x$，再得 $x^{2}+(6-x)^{2}=20$，化简为 $x^{2}-6x+8=0$。

它因式分解为 $(x-2)(x-4)=0$，所以 $x=2$ 或 $x=4$，成对的解是 $(2, 4)$ 与 $(4, 2)$。

该预期多少个解。由于一次与非一次的配对就是直线遇曲线，它可以有两对解（直线与曲线相交两次）、一对解（直线恰好与曲线相切），或在实数范围内没有解（直线与曲线不相交）。

化简后那条二次方程的判别式 $b^{2}-4ac$ 会告诉你属于哪一种情形，这是回到第二章的一个漂亮衔接。

哪些会给、哪些要记。公式表里只有二次公式；消元与代入这些方法本身并不是会提供的公式，它们是你要理解并反复练习、直到变得自然的技巧。

方程组可以在任何一份笔试中被考到。试卷一（3472/1）历时 2小时，共 80分：甲组有 12题，占 64分，全部作答；乙组有 3题，占 16分，从中作答 2题。

试卷二（3472/2）历时 2小时30分钟，共 100分，分布于甲组（7题，50分，全部作答）、乙组（4题，30分，作答 3题）与丙组（4题，20分，作答 2题）。

两份试卷的题目都是有限作答主观题与结构式题目，采用分析式评分，作答时可使用不可编程的科学计算器。我们不会预测任何单独一章会占多少分，因为这逐年不同，但本章的代入功夫同样支撑着坐标几何与二次函数的题目，所以这项技能的价值超过它自身所占的分数。

本章特别适合这种要你写出过程的结构式格式。解三条方程，或把一对方程化为二次方程再求解，本身就是多步骤的任务，而因为评分是分析式的，每一行正确的消元、每一次干净的代入、每一个解出的根，都能各自得分。

把过程写成一行行编号的步骤，让阅卷者能跟上，并始终把最终答案写成一整组完整的数值。

值得一提的是，我们的课程以英语授课，而 SPM 试卷以国文（马来文）与英文双语命题，因此你会用两种语言的术语来练习，在考试当天不会被任何一个词卡住。

本章丢掉的分数，大多来自少数几个可以避免的习惯。在每一套练习之前先读一读，直到它们成为本能。

• 代入方向弄反。对于一次与非一次的配对，把一个未知数变成一次方程的主项，再代入非一次方程。反过来做通常会得到更凌乱的方程，招来不必要的错误。
• 只求出一个未知数。二次方程的每个根都有搭档。解完之后，把每个值代回去找出对应的那个，并把答案写成一对一对的，而不是孤零零的一串 $x$ 值。
• 代回非一次方程去配对。要配对数值，请把根代回一次方程。代入非一次方程可能冒出一个其实并不满足原配对的多余值。
• 展开平方时马虎。当你代入像 $6-x$ 这样的式子再平方时，要完整展开：$(6-x)^{2}=36-12x+x^{2}$。漏掉中间项是丢掉整道题的常见方式。
• 三元消元时的运算失误。从两对方程中消去同一个未知数，控制好正负号，并把各项按列对齐，别把某项加错位置。
• 漏掉第三个值或省略检验。把 $x$、$y$、$z$ 全部写出，并把你的解代回每一条原方程。三十秒的检验能在大多数失误让你失分之前把它们逮住。

这些错误没有一个关乎能力，每一个都只是习惯，而习惯是可以纠正的。在练习中一个一个把它们划掉，你的准确度就会迅速提升。

在这里考得好的学生很少是最快的；他们是那些把过程保持整洁、并且总会检验的人。

方程组会回报有条理、稳扎稳打的学习方式。按顺序做完以下步骤，再用下面的资源来温习和自我测验。

争取短而频繁的练习，而不是一次漫长的死记硬背。每天解一个三元方程组和一对一次与非一次的配对，这个流程很快就会变得自然。

当某个步骤感觉稳了，就往下走；若还不稳，就放慢并重复，直到它变稳。分散在几个星期里，这份安静的练习会把一个繁琐的章节，变成你最可靠的分数之一。

1. 1

   先用二元配对热身

   确保用消元法和代入法解普通联立方程完全流畅，三元的情形正是直接建立在它之上。

2. 2

   延伸到三个未知数

   练习消去一个未知数，把 3×3 方程组降为 2×2，再求解并回代求出第三个值。

3. 3

   掌握一次与非一次的固定流程

   把一个未知数变成一次方程的主项，代入非一次方程，把这一对化为一条二次方程。

4. 4

   用三种方法解二次方程

   练习因式分解、配方、二次公式，让你能为每道题挑出最快的路线。

5. 5

   配对、检验，再计时

   务必求出每一对中的两个值并代回原方程检验，然后在计时的情况下做综合练习与例题精解。

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