方程组，例题（KBAT）

把 $x$ 从线性方程解出为主项：

$$x=y+1$$

代入 $x^{2}+xy=6$。把 $(y+1)^{2}$ 与乘积 $(y+1)y$ 都展开：

$$(y+1)^{2}+(y+1)y=6 \;\Rightarrow\; y^{2}+2y+1+y^{2}+y=6$$

合并同类项，把所有项移到一边：

$$2y^{2}+3y+1=6 \;\Rightarrow\; 2y^{2}+3y-5=0$$

因式分解这个二次方程。首项系数是 $2$，所以拆开中间项：$2y^{2}+5y-2y-5$，分解为

$$(2y+5)(y-1)=0 \;\Rightarrow\; y=-\tfrac{5}{2} \ \text{或}\ y=1$$

把每个根代回 $x=y+1$：

$$y=1 \Rightarrow x=2, \qquad y=-\tfrac{5}{2} \Rightarrow x=-\tfrac{3}{2}$$

给方程编号：$(1)\;x+y+z=4$，$(2)\;2x+3y-z=-2$，$(3)\;3x-y+2z=13$。先消去 $z$。

把 $(1)$ 与 $(2)$ 相加，它们的 $z$ 项是 $+z$ 和 $-z$：

$$(1)+(2):\; 3x+4y=2 \quad (4)$$

再从另一对里消去 $z$。把 $(2)$ 乘以 $2$，以匹配 $(3)$ 里的 $+2z$，然后相加：

$$2\times(2):\; 4x+6y-2z=-4$$

$$[2\times(2)]+(3):\; 7x+5y=9 \quad (5)$$

用消元法解 $(4)$ 与 $(5)$。把 $(4)$ 乘以 $5$、$(5)$ 乘以 $4$，让 $y$ 项匹配：

$$15x+20y=10, \qquad 28x+20y=36$$

用第二式减第一式：

$$13x=26 \;\Rightarrow\; x=2$$

把 $x=2$ 代入 $(4)$，再由 $(1)$ 求 $z$：

$$3(2)+4y=2 \Rightarrow y=-1, \qquad z=4-x-y=4-2-(-1)=3$$

切线与曲线恰好相交于一点，所以把直线和曲线联立所得的方程必然有一个重根。令两个 $y$ 的表达式相等：

$$x^{2}+3=2x+c$$

整理成关于 $x$ 的二次方程，所有项移到一边：

$$x^{2}-2x+(3-c)=0$$

要有一个重根，判别式 $b^{2}-4ac$ 必须为零。这里 $a=1$，$b=-2$，$c_{\text{二次}}=3-c$：

$$(-2)^{2}-4(1)(3-c)=0 \;\Rightarrow\; 4-12+4c=0$$

解出 $c$：

$$4c=8 \;\Rightarrow\; c=2$$

把 $c=2$ 代回二次方程，求切点。它变成一个完全平方：

$$x^{2}-2x+1=0 \;\Rightarrow\; (x-1)^{2}=0 \;\Rightarrow\; x=1$$

由直线 $y=2x+c=2x+2$ 求 $y$：

$$y=2(1)+2=4$$

设长为 $x$ 米，宽为 $y$ 米。周长的一半给出两边之和，面积给出它们的积：

$$x+y=11, \qquad xy=24$$

已知和与积的一对数，正是二次方程 $t^{2}-(\text{和})t+(\text{积})=0$ 的两个根。代入数值：

$$t^{2}-11t+24=0$$

因式分解：

$$(t-3)(t-8)=0 \;\Rightarrow\; t=3 \ \text{或}\ t=8$$

两个根 $3$ 与 $8$ 分别是宽和长（顺序待定）。由于长比宽大：

$$\text{长}=8, \qquad \text{宽}=3$$

设这两个数为 $x$ 与 $y$。第一个条件直接给出它们的和，第二个条件给出关于 $\frac{1}{x}$ 与 $\frac{1}{y}$ 的方程：

$$x+y=5, \qquad \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$$

把第二个方程左边的两个分数通分为公分母 $xy$：

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$$

把 $x+y=5$ 代入这个合并后的分数，并令它等于 $\frac{5}{6}$：

$$\frac{5}{xy}=\frac{5}{6} \;\Rightarrow\; xy=6$$

现在 $x$ 与 $y$ 就是和为 $5$、积为 $6$ 的二次方程的两个根：

$$t^{2}-5t+6=0 \;\Rightarrow\; (t-2)(t-3)=0 \;\Rightarrow\; t=2 \ \text{或}\ t=3$$

周长给出一个关于 $x$ 与 $y$ 的线性方程，而直角处的毕氏定理给出第二个非线性方程：

$$x+y+10=24 \;\Rightarrow\; x+y=14, \qquad x^{2}+y^{2}=10^{2}=100$$

直接把 $y=14-x$ 代入也可行，但用恒等式 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ 先求出乘积 $xy$ 更快：

$$14^{2}=100+2xy \;\Rightarrow\; 196-100=2xy$$

解出 $xy$：

$$2xy=96 \;\Rightarrow\; xy=48$$

现在 $x$ 与 $y$ 就是和为 $14$、积为 $48$ 的二次方程的两个根：

$$t^{2}-14t+48=0 \;\Rightarrow\; (t-6)(t-8)=0 \;\Rightarrow\; t=6 \ \text{或}\ t=8$$

由于 $x>y$，把较大的根分配给 $x$：

$$x=8, \qquad y=6$$

设一个苹果、一个橙、一个梨的价格分别为 RM$a$、RM$o$、RM$p$。三次购买给出三个方程，将它们编号：

$$(1)\; 2a+o+3p=22, \quad (2)\; a+3o+2p=21, \quad (3)\; 3a+2o+p=17$$

$p$ 在方程 $(3)$ 中的系数为 $1$，所以把它解出为主项，并从 $(1)$ 与 $(2)$ 中消去它：

$$p=17-3a-2o$$

代入 $(1)$：

$$2a+o+3(17-3a-2o)=22 \;\Rightarrow\; 7a+5o=29 \quad (4)$$

代入 $(2)$：

$$a+3o+2(17-3a-2o)=21 \;\Rightarrow\; 5a+o=13 \quad (5)$$

把 $(5)$ 中的 $o$ 解出为主项，代入 $(4)$：

$$o=13-5a, \qquad 7a+5(13-5a)=29 \;\Rightarrow\; -18a=-36 \;\Rightarrow\; a=2$$

代回求出 $o$ 与 $p$：

$$o=13-5(2)=3, \qquad p=17-3(2)-2(3)=5$$

两个不同的交点意味着把直线与曲线联立所得的方程有两个不同的实根，因此判别式必须为正而不是零。令两个 $y$ 的表达式相等：

$$x+k=x^{2}-3x+7$$

整理成关于 $x$ 的二次方程，所有项移到一边：

$$x^{2}-4x+(7-k)=0$$

要有两个不同的实根，需 $b^{2}-4ac>0$。这里 $a=1$，$b=-4$，$c=7-k$：

$$(-4)^{2}-4(1)(7-k)>0$$

化简这个不等式：

$$16-28+4k>0 \;\Rightarrow\; 4k>12 \;\Rightarrow\; k>3$$